融合坐標(biāo)系誤差模型的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定*

陳 琳,乜聘廣,蒙成琦,潘海鴻

(廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,南寧 530004)

0 引言

工業(yè)機(jī)器人由于動作迅速、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)已經(jīng)應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)的各個領(lǐng)域。由于受絕對定位精度低的影響,工業(yè)機(jī)器人主要應(yīng)用于搬運(yùn)、噴涂、點(diǎn)焊和裝配等只對重復(fù)定位精度有較高要求的領(lǐng)域[1-2]。為使其可以應(yīng)用于更加廣泛的領(lǐng)域(精密加工、航空航天等),對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)標(biāo)定來提高其絕對定位精度是非常必要的[3-5]。

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定一般分為運(yùn)動學(xué)建模、誤差測量、參數(shù)辨識與誤差補(bǔ)償4個步驟[6]。運(yùn)動學(xué)建模是描述機(jī)器人運(yùn)動和進(jìn)行運(yùn)動學(xué)標(biāo)定的根本,由于機(jī)器人幾何參數(shù)誤差對于機(jī)器人絕對定位精度的影響比例達(dá)到80%[7-8],因此機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)建模大部分都是針對于機(jī)器人關(guān)節(jié)連桿幾何參數(shù)誤差建立的[9-10]。

D-H(denavit-hartenberg)參數(shù)模型是目前應(yīng)用最為廣泛機(jī)器人建模方法,但是D-H模型并不能完整的描述機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)。比如當(dāng)2個平行的旋轉(zhuǎn)軸軸線出現(xiàn)稍許變動,DH 參數(shù)就將產(chǎn)生巨大變化,影響建模。為了彌補(bǔ)D-H模型的缺點(diǎn),一些學(xué)者引入了繞y軸旋轉(zhuǎn)量β建立MD-H模型;還有一些學(xué)者提出新的運(yùn)動學(xué)模型。OKAMURA等[15]借助旋量理論與李代數(shù)提出了指數(shù)積模型;ZHUANG等[16]提出了滿足“完整性”和 “參數(shù)連續(xù)性”的CPC模型進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定;白云飛等[17]基于6參數(shù)模型進(jìn)行誤差建模并根據(jù)制造公差確定誤差參數(shù)范圍進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識,但是并未考慮工具坐標(biāo)系對位置準(zhǔn)確度的影響。

為完整的描述機(jī)器人的結(jié)構(gòu)誤差參數(shù),提高機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定后的位置準(zhǔn)確度,提出一種融合多坐標(biāo)系的誤差模型實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定。在埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機(jī)器人上搭建實(shí)驗(yàn)平臺,驗(yàn)證融合多坐標(biāo)系誤差模型的有效性和準(zhǔn)確性。

1 機(jī)器人誤差模型

1.1 機(jī)器人建模

圖1為建模得到的機(jī)器人坐標(biāo)系模型。

圖1 機(jī)器人坐標(biāo)系系統(tǒng)

根據(jù)D-H參數(shù)模型的描述,相鄰桿件坐標(biāo)系之間的變換矩陣公式為:

(1)

(2)

式中:

n11=cBicCi-sAisBisCin12=-cAisCi
n13=cCisBi+cBisAisCin14=Xi
n21=cBisCi+cCisAisBin22=cAicCi
n23=sBisCi-cBicCisAin24=Yi
n31=-cAisBin32=sAi
n33=cAicBin34=Zi

式(1)與式(2)的參數(shù)對應(yīng)關(guān)系:

(3)

1.2 基于6參數(shù)模型機(jī)器人幾何誤差模型

由機(jī)器人微分運(yùn)動可知,機(jī)器人連桿上某一坐標(biāo)系微分運(yùn)動為D=[dTδT]T,其中d=[dxdydz],δ=[δxδyδz],寫成矩陣的形式為:

(4)

式中:I3為三階單位矩陣,[δ]是向量δ的反對稱矩陣,d為微分位移量,δ為微分旋轉(zhuǎn)量。

對于機(jī)器人同一桿件(視為剛體)的兩個坐標(biāo)系{i-1}、{i},取坐標(biāo)系{i-1}為參考坐標(biāo)系,當(dāng)坐標(biāo)系{i-1}存在微分誤差i-1D時,假設(shè)坐標(biāo)系{i-1}與坐標(biāo)系{i}之間的齊次變換微分矩陣為dT,則坐標(biāo)系{i-1}與坐標(biāo)系{i}之間的變換矩陣T與齊次變換微分矩陣為dT的關(guān)系為:

dT=[D-I4]·T=Δ·T

(5)

式中:I4為4階單位矩陣,Δ為矩陣算子,即一個坐標(biāo)系的微分變化量可由微分算子乘以該坐標(biāo)系得到[18]。式中的微分算子Δ是相對于固定坐標(biāo)系的,故將其記為Δ0,相對于當(dāng)前坐標(biāo)系的微分算子即為Δi,根據(jù)剛體的微分運(yùn)動學(xué)式(5)可寫為:

dT=Δ0·T=T·Δi

(6)

故:

Δi=T-1·Δ0·T

(7)

由6參數(shù)模型變換矩陣與相應(yīng)的運(yùn)動學(xué)公式即可推得6參數(shù)模型下的坐標(biāo)系{i}的微分誤差矩陣:

(8)

式中:

m21=-m12=sinAi·δBi+δCi
m13=-m31=-ZisinCiδAi+cosAicosCi·δBi
m23=-m32=cosCi·δAi-cosAi·cosCi·δCi
m14=δXi+Y·δCi-ZisinCi·δAi+
(YisinAi-Zi·cosAicosCi)·δBi
m2,4=δYi+ZicosCi·δAi+(-XisinAi-Zi·cosAisinCi)·δBi
m34=δZi+(Yi·cosAi·sinCi+Xi·cosAi·cosCi)·δBi+
(-YicosCi-XisinCi)·δAi

式中:δXi,δYi,δZi,δAi,δBi,δCi分別是6參數(shù)模型中參數(shù)Xi,Yi,Zi,Ai,Bi,Ci的誤差量。將式中的微分平移量di和微分旋轉(zhuǎn)量δi與6參數(shù)模型的幾何參數(shù)誤差量的映射關(guān)系寫為矩陣形式:

(9)

定義式(9)中的轉(zhuǎn)換矩陣為Hi,且ΔRi,6參數(shù)=[δXi,δYi,δZi,δAi,δBi,δCi]T,ei=[dxi,dyi,dzi,δxi,δyi,δzi]T,則式(8)寫為:

ei=HiΔRi,6參數(shù)

(10)

對于6自由度工業(yè)機(jī)器人來說,需要將6個關(guān)節(jié)的誤差傳遞到末端,因此引入關(guān)節(jié)i到機(jī)器人末端法蘭的齊次變換矩陣:

(11)

根據(jù)微分運(yùn)動中兩坐標(biāo)系的誤差矩陣建立機(jī)器人末端位姿的誤差模型:

(12)

式中:M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7、M8、M9均為3×n矩陣,ΔX=[ΔX1…X6]T,ΔY,ΔZ,ΔA,ΔB,ΔC與ΔX的含義類似。

1.3 工具坐標(biāo)系誤差模型

在對機(jī)器人進(jìn)行幾何參數(shù)標(biāo)定時,需要在機(jī)器人第6關(guān)節(jié)處安裝靶標(biāo)(工具點(diǎn))。由于安裝誤差,測量過程中會將此誤差引入到模型中,導(dǎo)致辨識精度降低。

圖2為工具坐標(biāo)系誤差簡圖,其中{R6}為機(jī)器人第6關(guān)節(jié)坐標(biāo)系,{TOOL}為工具點(diǎn)坐標(biāo)系。P點(diǎn)為坐標(biāo)系{TOOL}在坐標(biāo)系{R6}的理論位置,P′點(diǎn)為實(shí)際位置。忽略工具點(diǎn)的姿態(tài)變化,P點(diǎn)與P′點(diǎn)之間的微分誤差矩陣為:

圖2 工具坐標(biāo)系誤差簡圖

(13)

式中:[δXR6,δYR6,δZR6]T為工具坐標(biāo)系位置誤差向量。

因?yàn)樵诖?lián)型6自由度機(jī)器人每個桿件的誤差是線性疊加的,不考慮機(jī)器人姿態(tài)的影響,融合多坐標(biāo)系的誤差模型為:

(14)

式中:I3為三階單位矩陣。

式(14)可簡寫為:

e總=J·δ

(15)

2 運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識方法與補(bǔ)償方法

運(yùn)動學(xué)參數(shù)辨識是將測量的數(shù)據(jù)代入到誤差模型中求解誤差參數(shù)的過程。由式(15)建立的誤差模型可知,為獲得機(jī)器人幾何參數(shù)誤差必須對機(jī)器人末端進(jìn)行多組采樣,將采樣數(shù)據(jù)帶入誤差模型中構(gòu)造超定方程,通過線性最小二乘解作為幾何參數(shù)誤差的近似解。

由于機(jī)器人擴(kuò)展雅可比矩陣不是方陣,因此無法直接求解機(jī)器人擴(kuò)展雅可比矩陣的逆矩陣,這里采用矩陣奇異值分解(SVD)的方法分解機(jī)器人擴(kuò)展雅可比矩陣,即:

(16)

式中:V和Q都是正交矩陣,D=diag(σ1,σ2,…,σr),σ1,σ2,…,σr是J的非零奇異值。相應(yīng)的廣義逆矩為:

(17)

因此,將式(17)帶入式(15)中可得最小二乘解的表達(dá)式:

(18)

運(yùn)動學(xué)補(bǔ)償是將辨識出的參數(shù)誤差值補(bǔ)償?shù)綑C(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)中。因?yàn)閷C(jī)器人進(jìn)行全參數(shù)補(bǔ)償會改變機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)求解算法,故采用參數(shù)降維補(bǔ)償法。對D-H模型中的參數(shù)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析發(fā)現(xiàn)逆運(yùn)動學(xué)求解算法使用的參數(shù)有10個,分別是[θ1～θ6,a1～a3,d4]。由式(3)可得,當(dāng)θ發(fā)生微小變換時,參數(shù)a的誤差可近似等于參數(shù)X的誤差。由此參數(shù)[θ1～θ6,a1～a3,d4]對應(yīng)式(14)中的誤差參數(shù)為[δC1～δC6,δX1～δX3,δZ4],再加上工具坐標(biāo)系3個誤差參數(shù)[δXR6,δYR6,δZR6],所以式(14)化簡為:

(19)

采用最小二乘法對13個誤差參數(shù)辨識,將辨識出的參數(shù)誤差直接補(bǔ)償?shù)綑C(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和工具坐標(biāo)系中,完成機(jī)器人的誤差補(bǔ)償。如圖3所示。

圖3 辨識補(bǔ)償流程圖

3 機(jī)器人標(biāo)定與補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

采用美國API型激光跟蹤儀測量系統(tǒng)對埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定和補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。美國API激光跟蹤儀測量系統(tǒng)其測量精度為±10 μm,±3.5 μm/m,此精度遠(yuǎn)小于未經(jīng)標(biāo)定的機(jī)器人位置準(zhǔn)確度,因此其測量誤差在標(biāo)定過程中可以忽略不記。機(jī)器人標(biāo)定與補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)平臺如圖4所示。機(jī)器人DH參數(shù)如表1所示。

表1 埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機(jī)器人D-H參數(shù)

圖4 機(jī)器人標(biāo)定與補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)平臺

3.1 機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定與補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

為了減少測量噪聲對標(biāo)定誤差的影響,根據(jù)埃夫特ER6-C10機(jī)器人的實(shí)際臂展,在機(jī)器人常用的工作空間中選取邊長為800 mm的立方體,在立方體中隨機(jī)均勻的選取50個采樣點(diǎn),分別使用MD-H誤差參數(shù)模型[19]和融合多坐標(biāo)系的誤差模型進(jìn)行參數(shù)辨識,辨識結(jié)果分別如表2和表3所示。

表2 MD-H模型辨識的誤差參數(shù)

表3 融合多坐標(biāo)系的誤差模型辨識的誤差參數(shù)

根據(jù)辨識結(jié)果修正機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù),并在上述立方體中在選取20個采樣點(diǎn)進(jìn)行位置誤差測量。補(bǔ)償前的誤差如圖5所示,補(bǔ)償后誤差如圖6所示。

圖5 補(bǔ)償前各測試點(diǎn)各方向誤差圖

對比標(biāo)定前的位置誤差,經(jīng)過MD-H辨識補(bǔ)償后的采樣點(diǎn)位置誤差均下降到0.8 mm以下,經(jīng)過融合多坐標(biāo)系的誤差模型辨識補(bǔ)償后的采樣點(diǎn)位置誤差均下降到0.3 mm以下,如圖6d所示,證明融合多坐標(biāo)系的誤差模型是有效的。

幾何參數(shù)誤差補(bǔ)償前后各個方向平均誤差對比如表4所示。

表4 幾何參數(shù)誤差補(bǔ)償前后各個方向平均誤差對比 (mm)

由表中數(shù)據(jù)可以看出MD-H法和融合多坐標(biāo)系均減少了機(jī)器人位置誤差。MD-H法將平均位置誤差由5.047 3 mm下降到0.474 7 mm,精度提高90.59%;融合多坐標(biāo)系將平均位置誤差由5.047 3 mm下降到0.210 7 mm,精度提高95.82%,證明融合多坐標(biāo)系的誤差模型是準(zhǔn)確的。

3.2 絕對定位精度檢測

根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)《GB/T12642-2013工業(yè)機(jī)器人性能規(guī)范及其試驗(yàn)方法》中對機(jī)器人位置準(zhǔn)確度檢測方法的規(guī)定。位置準(zhǔn)確度[20]表示指令位置和從同一方向接近該指令位置時的實(shí)到平均值之間的偏差。偏差值越小,機(jī)器人絕對定位精度越高。首先,在機(jī)器人工作空間正前方的一塊正方形區(qū)域內(nèi)選取5個測試點(diǎn),控制機(jī)器人按一定順序循環(huán)運(yùn)動。通過激光跟蹤儀測量每個點(diǎn)的實(shí)際位置,如此循環(huán)30次。幾何參數(shù)誤差補(bǔ)償前的位置準(zhǔn)確度(AP)檢驗(yàn)結(jié)果,如表5所示。

表5 幾何參數(shù)誤差補(bǔ)償前的位置準(zhǔn)確度 (mm)

完成MD-H誤差模型辨識補(bǔ)償后的位置準(zhǔn)確度檢驗(yàn)結(jié)果,如表6所示。

表6 MD-H誤差模型辨識補(bǔ)償后的位置準(zhǔn)確度 (mm)

完成融合多坐標(biāo)系的誤差模型辨識補(bǔ)償后的位置準(zhǔn)確度檢驗(yàn)結(jié)果,如表7所示。

表7 融合多坐標(biāo)系的誤差模型辨識補(bǔ)償后的位置準(zhǔn)確度 (mm)

由表5～表7可知,機(jī)器人末端位置準(zhǔn)確度經(jīng)過MD-H誤差參數(shù)模型辨識補(bǔ)償后由5.251 0 mm降低到0.306 9 mm,經(jīng)過融合多坐標(biāo)系誤差模型辨識補(bǔ)償后由5.251 0 mm降低到0.157 7 mm,兩者比較,位置準(zhǔn)確度提升了48.61%;由圖7可以看出融合多坐標(biāo)系的誤差模型辨識補(bǔ)償后的位置準(zhǔn)確度比MD-H法補(bǔ)償后的波動較小,說明融合多坐標(biāo)系的誤差模型辨識補(bǔ)償后的效果更好。

圖7 補(bǔ)償前后各測試點(diǎn)位置準(zhǔn)確度對比圖

4 結(jié)論

針對D-H模型不能完整的描述機(jī)器人結(jié)構(gòu)誤差的問題,提出使用6參數(shù)模型進(jìn)行機(jī)器人坐標(biāo)系及誤差模型的建立?？紤]工具坐標(biāo)系的誤差模型,融合到機(jī)器人誤差模型中,建立融合多坐標(biāo)系的誤差模型。分別使用MD-H法和融合多坐標(biāo)系的誤差模型對埃夫特ER6B-C10型6自由度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定和補(bǔ)償實(shí)驗(yàn),并對補(bǔ)償后的機(jī)器人進(jìn)行位置準(zhǔn)確度檢測。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明融合多坐標(biāo)系的誤差模型辨識補(bǔ)償后的機(jī)器人位置準(zhǔn)確度相比MD-H誤差模型辨識補(bǔ)償后提高了48.61%,證明了融合多坐標(biāo)系的誤差模型的補(bǔ)償效果優(yōu)于MD-H誤差模型。