兩自由度電液振動臺隨機波形復(fù)現(xiàn)控制*

王志超,關(guān)廣豐,熊 偉,王海濤

(大連海事大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院,大連 116026)

0 引言

電液振動臺廣泛用于大型結(jié)構(gòu)件的振動環(huán)境模擬試驗,可以在實驗室內(nèi)復(fù)現(xiàn)實際工況下產(chǎn)品所受的振動環(huán)境和環(huán)境效應(yīng),鑒定產(chǎn)品的環(huán)境適應(yīng)性[1]。許多產(chǎn)品在工作環(huán)境中受到的振動形式以隨機振動為主,所以研究振動臺時域隨機波形復(fù)現(xiàn)具有重要意義。

在波形復(fù)現(xiàn)控制系統(tǒng)中,兩自由度電液振動臺控制系統(tǒng)由伺服控制系統(tǒng)和振動控制系統(tǒng)兩部分組成。伺服控制系統(tǒng)利用極點配置原理通過三狀態(tài)控制等方法,拓展系統(tǒng)頻寬,提高系統(tǒng)穩(wěn)定性[2]。但僅應(yīng)用伺服控制時,受到系統(tǒng)頻寬及非線性特性的影響,系統(tǒng)的響應(yīng)信號與參考信號會有較大的偏差[3]。為了更好的復(fù)現(xiàn)參考信號,要在系統(tǒng)內(nèi)環(huán)伺服控制的基礎(chǔ)上外環(huán)設(shè)計振動控制系統(tǒng)。

振動控制系統(tǒng)主要對伺服驅(qū)動信號迭代,進一步減小系統(tǒng)響應(yīng)誤差。UNDERWOOD等[4-5]詳細介紹了振動控制的理論基礎(chǔ)和核心算法,并通過電液振動臺進行實驗驗證。MOTEN等[6]提出基于自適應(yīng)逆控制和迭代學(xué)習(xí)控制的復(fù)合控制算法,用于振動臺時域波形復(fù)現(xiàn)實驗。EKSTEEN等[7]提出基于非線性逆模型的迭代學(xué)習(xí)控制器用于波形復(fù)現(xiàn)算法。NAJAFI等[8]在進行地震臺模擬實驗時,外環(huán)通過離線迭代控制對系統(tǒng)驅(qū)動信號不斷修正來提高加速度信號時域跟蹤效果。陳廣初等[9]在多輸入多輸出隨機振動實驗中引入牛頓迭代算法對驅(qū)動信號迭代,使信號功率譜密度達到控制要求。ZHANG等[10]引入Underwood提出的自適應(yīng)迭代控制方法用于振動臺臺陣系統(tǒng)的隨機波形復(fù)現(xiàn)實驗。GUAN等[11]引入擬牛頓算法中的Broyden算法和DFP算法,考慮系統(tǒng)耦合時變影響,實時更新系統(tǒng)阻抗矩陣。其中,通過DFP算法可以較好的實現(xiàn)兩自由度振動臺系統(tǒng)的隨機波形復(fù)現(xiàn),但由于迭代中采用固定步長以及算法本身收斂性的限制,隨機波形復(fù)現(xiàn)精度還有待提高。

目前對于電液振動臺時域波形復(fù)現(xiàn)的研究已取得很多成果,但仍存在一些不足。當(dāng)時域上采用自適應(yīng)逆控制等方法時系統(tǒng)辨識難以消除頻響函數(shù)存在的抖動特性;而采用頻域自適應(yīng)算法迭代過程多為離線迭代,無法實時更新系統(tǒng)頻響函數(shù),并且頻域迭代步長一般取定值,而實際過程中步長會隨迭代的進行發(fā)生變化。另外,上述擬牛頓算法本身不能嚴格保證迭代中海森矩陣的正定性,使算法的收斂性受到影響。

為解決上述擬牛頓算法中海森矩陣迭代時出現(xiàn)奇異矩陣而影響收斂精度的問題,引入PSB擬牛頓算法進行海森矩陣的迭代。PSB算法在Broyden算法的基礎(chǔ)上進行矩陣變換,使海森矩陣具有對稱正定的性質(zhì),保證了迭代過程的強收斂特性[12]。針對頻域迭代步長變化的特性,引入自適應(yīng)變步長算法,進一步加快迭代收斂過程。本文首先給出兩自由度電液振動臺基本結(jié)構(gòu),介紹振動控制系統(tǒng)基本組成,簡要分析傳統(tǒng)控制算法的不足,然后給出PSB算法的基本原理,并推導(dǎo)出以PSB算法為基礎(chǔ)的頻域驅(qū)動譜迭代公式,結(jié)合自適應(yīng)變步長公式,設(shè)計隨機波形復(fù)現(xiàn)控制器?；趦勺杂啥入娨赫駝优_,進行控制系統(tǒng)仿真及實驗,驗證該控制算法的有效性。

1 兩自由度電液振動臺系統(tǒng)概述

兩自由度電液振動臺結(jié)構(gòu)如圖1所示,振動臺處在工作準備位置。4組閥控液壓缸并聯(lián)構(gòu)成驅(qū)動系統(tǒng),通過虎克鉸將振動臺上平臺與下基面連接。下基面固定在地面上,上平臺通過連接處的虎克鉸可以實現(xiàn)rx和ry兩個轉(zhuǎn)動自由度。振動臺主要參數(shù)如表1所示,在俯視圖中用符號d1、d2、d3表示液壓缸在下基面的位置,分別為0. 8m、0.7 m、0.4 m。其中,d1表示1號(3號)和2號(4號)液壓缸上鉸點中心的距離在Y軸上的投影;d2表示1號(2號)液壓缸上鉸點中心和虎克鉸中心的距離在X軸上的投影;d3表示3號(4號)液壓缸上鉸點中心和虎克鉸中心的距離在X軸上的投影。

表1 振動臺主要參數(shù)

(a) 三維模型 (b) 俯視圖圖1 二自由度電液振動臺工作準備位置結(jié)構(gòu)

2 隨機波形復(fù)現(xiàn)控制器設(shè)計

2.1 PSB廣義阻抗更新算法

圖2為波形復(fù)現(xiàn)振動控制策略基本原理流程框圖。圖中,兩自由度電液振動臺伺服控制器結(jié)構(gòu)可參考文獻[13]。振動控制算法主要包含初始阻抗辨識、阻抗矩陣迭代、驅(qū)動譜迭代三部分。控制系統(tǒng)的原理是通過系統(tǒng)的頻響函數(shù),對系統(tǒng)驅(qū)動信號進行多次循環(huán)迭代補償,使系統(tǒng)的響應(yīng)信號與參考信號誤差修正后在一定允許范圍內(nèi)。

圖2 隨機波形復(fù)現(xiàn)振動控制策略基本原理圖

設(shè)振動試驗參考信號為r(t),其頻譜為R(f);系統(tǒng)時域驅(qū)動信號為d(t),頻譜為D(f);時域響應(yīng)信號為c(t),頻譜為C(f);誤差信號譜為E(f),即E(f)=R(f)-C(f);系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣為L(f),阻抗矩陣為Z(f),則存在關(guān)系Z(f)=L-1(f)。

傳統(tǒng)波形復(fù)現(xiàn)控制算法驅(qū)動譜迭代公式為:

Dn+1(f)=Dn(f)+δnZ(f){R(f)-Cn(f)}

(1)

式中:δn為迭代步長,n為迭代次數(shù),Dn(f)為迭代第n次時的信號驅(qū)動譜,Cn(f)為迭代第n次時的信號響應(yīng)譜。

在傳統(tǒng)波形復(fù)現(xiàn)算法中,系統(tǒng)不更新阻抗矩陣Z(f)。而實際系統(tǒng)中阻抗矩陣具有時變特性,導(dǎo)致估計得到的阻抗矩陣與系統(tǒng)真實阻抗矩陣始終存在誤差。在驅(qū)動譜迭代過程中,誤差不斷累積放大,多次迭代后可能導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散。

采用PSB擬牛頓算法對阻抗矩陣進行更新,PSB算法迭代公式為[14]:

(2)

式中:上標T表示復(fù)向量的轉(zhuǎn)置,Bn及Bn+1分別表示采用PSB算法迭代第n次及第n+1次后的海森矩陣,Sn為每次驅(qū)動譜迭代增量,Yn為迭代梯度差。即存在關(guān)系:Sn(f)=Dn+1(f)-Dn(f)、Yn(f)=Cn+1(f)-Cn(f)。

考慮采用迭代海森矩陣Bn替換系統(tǒng)阻抗矩陣Z(f)進行實時更新。但在擬牛頓算法迭代過程中,每次迭代都要對海森矩陣求逆,求逆矩陣的過程帶來很大的運算量,降低算法迭代收斂速度。引入Sherman-Morrison-Woodbury公式[15]對式(2)變換,得到新的PSB算法迭代公式為:

(3)

(4)

式中:上標H表示復(fù)向量的共軛轉(zhuǎn)置。將廣義阻抗矩陣Pn(f)替換傳統(tǒng)迭代阻抗矩陣Z(f)可得到新的驅(qū)動譜迭代公式為:

Dn+1(f)=Dn(f)+δnPn(f){R(f)-Cn(f)}

(5)

式(5)中,應(yīng)用迭代公式(4)對廣義阻抗Pn(f)迭代。

2.2 自適應(yīng)變步長算法

文獻[16]中利用L2范數(shù)來描述多輸入多輸出控制系統(tǒng)的誤差信號譜?；陔S機波形復(fù)現(xiàn)算法,定義兩自由度電液振動臺隨機波形復(fù)現(xiàn)控制優(yōu)化問題的目標函數(shù)為:

(6)

為了得到最優(yōu)驅(qū)動譜D(f),需要尋找最優(yōu)迭代步長δn使F[D(f)]最小,且滿足迭代條件F[Dn+1(f)]≤F[Dn(f)]。假設(shè)控制系統(tǒng)為全純的,則存在關(guān)系:

Cn+1(f)-Cn(f)=L(f){Dn+1(f)-Dn(f)}

(7)

將式(5)代入式(7),可得:

Cn+1(f)-Cn(f)=δnL(f)Pn(f){R(f)-Cn(f)}

(8)

由式(8)可得控制響應(yīng)譜更新公式為:

Cn+1(f)=Cn(f)+δn{In+ΔLn(f)}En(f)

(9)

式中,En(f)=R(f)-Cn(f),ΔLn(f)為當(dāng)前迭代時阻抗矩陣估計誤差,In為單位矩陣。

若目標函數(shù)F[D(f)]為近似厄米特二次型且系統(tǒng)為全純的,將目標函數(shù)對δn求復(fù)微分,可得自適應(yīng)變步長公式為:

(10)

εn(f)={In+ΔLn(f)}En(f)

(11)

(12)

(13)

(14)

3 仿真分析

3.1 仿真設(shè)定

圖3為基于PSB自適應(yīng)變步長控制算法搭建的隨機波形復(fù)現(xiàn)仿真模型,與圖2振動控制策略原理圖各部分相對應(yīng)。其中,廣義阻抗迭代部分用來實現(xiàn)式(4)。通過式(13)實現(xiàn)自適應(yīng)變步長的更新,使驅(qū)動譜迭代分為定步長和自適應(yīng)變步長兩步迭代,分別實現(xiàn)式(12)和式(14)。

圖3 隨機波形復(fù)現(xiàn)控制算法仿真模型

基于MATLAB/Simulink進行DFP定步長隨機波形復(fù)現(xiàn)算法和PSB自適應(yīng)變步長隨機波形復(fù)現(xiàn)算法仿真。其中,通過H1法辨識得到系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣初值,求逆得到初始阻抗矩陣,再利用上述兩種算法進行廣義阻抗矩陣迭代分析。

仿真中設(shè)置隨機參考信號r(t)的最大峰值為1.2 rad/s2,頻帶為10～100 Hz,取定步長δ0值為0.7?？紤]到實際中振動臺系統(tǒng)耦合時變性,為了驗證波形復(fù)現(xiàn)算法的有效性,仿真程序中設(shè)置參數(shù)切換模塊,在第40次迭代時,通過調(diào)整伺服系統(tǒng)內(nèi)部增益模擬實際系統(tǒng)的頻率特性變化。

采用時域波形最大誤差評價波形復(fù)現(xiàn)精度,計算公式為:

(15)

3.2 仿真結(jié)果

分別給出基于DFP定步長算法和基于PSB自適應(yīng)變步長算法兩種情況下兩自由度振動臺的隨機波形復(fù)現(xiàn)曲線。

文獻[11]中對傳統(tǒng)波形復(fù)現(xiàn)算法進行仿真,結(jié)果表明,當(dāng)系統(tǒng)頻率特性突變后,系統(tǒng)迭代快速發(fā)散。圖4為頻率特性突變前后,兩個自由度隨機波形復(fù)現(xiàn)最大誤差走勢圖。在突變之前,兩種波形復(fù)現(xiàn)算法的迭代過程都逐漸收斂。其中,第25次迭代時,DFP定步長算法rx自由度Emax為43%,ry自由度Emax為38%;而PSB自適應(yīng)變步長算法rx自由度Emax為25%,ry自由度Emax為16%。PSB自適應(yīng)變步長算法波形復(fù)現(xiàn)誤差更小。系統(tǒng)增益耦合突變后,DFP定步長算法需經(jīng)過6個迭代周期,系統(tǒng)才收斂至穩(wěn)定;而PSB自適應(yīng)變步長算法經(jīng)過3個迭代周期,系統(tǒng)快速收斂達到穩(wěn)定狀態(tài)。PSB自適應(yīng)變步長算法收斂速度更快。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖4 波形復(fù)現(xiàn)最大誤差仿真結(jié)果

第60次迭代時,采用兩種算法均已再次收斂,分別給出其波形復(fù)現(xiàn)曲線。圖5為采用DFP定步長算法時兩個自由度的波形響應(yīng),其中rx自由度Emax為8.2%,ry自由度Emax為5%。圖6為采用PSB自適應(yīng)變步長算法時兩個自由度的波形響應(yīng),兩個自由度的Emax均小于3%。PSB自適應(yīng)變步長算法波形復(fù)現(xiàn)精度更高。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖5 DFP定步長算法波形復(fù)現(xiàn)仿真結(jié)果

4 實驗研究

應(yīng)用圖7所示的兩自由度電液振動臺實驗系統(tǒng)進行隨機波形復(fù)現(xiàn)實驗研究,在仿真基礎(chǔ)上進一步驗證控制算法的有效性。振動臺參數(shù)如表1所示。兩自由度電液振動臺系統(tǒng)由恒壓式變量泵供油。在每組液壓缸上均安裝傳感器測量系統(tǒng)位移、速度及加速度。振動臺控制系統(tǒng)軟件基于MATLAB/XPC平臺構(gòu)建?？刂葡到y(tǒng)算法執(zhí)行周期為1.2 ms。實驗中每4幀信號作為一次迭代進行。兩自由度加速度隨機波形信號應(yīng)用MATLAB預(yù)先生成,并作為參考信號輸入實驗系統(tǒng)。rx和ry兩個自由度的隨機波最大峰值分別為2.3 rad/s2和3.0 rad/s2,實驗頻帶為5～50 Hz。實驗中初始定步長δ0數(shù)值同樣設(shè)置為0.7。

圖7 兩自由度電液振動實驗臺

實驗時,分兩組進行實驗研究。第一組采用DFP定步長算法,第二組采用PSB自適應(yīng)變步長算法。為方便觀察分析實驗結(jié)果,選取一次迭代中的500個頻率點數(shù)據(jù)做出實驗曲線。

分別計算兩組實驗中每次迭代最大誤差并作出曲線,如圖8所示。實驗中在系統(tǒng)收斂穩(wěn)定后第15次迭代時調(diào)整系統(tǒng)總增益,可看出波形復(fù)現(xiàn)誤差會有一個突變,經(jīng)過2次迭代可再次收斂回來。與采用DFP定步長算法相比,采用PSB自適應(yīng)變步長算法隨機波形復(fù)現(xiàn)最大誤差明顯降低。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖8 波形復(fù)現(xiàn)最大誤差實驗結(jié)果

同時,給出系統(tǒng)收斂穩(wěn)定后第12次迭代時,兩組實驗的隨機波形復(fù)現(xiàn)曲線。圖9為采用DFP定步長算法的波形復(fù)現(xiàn)曲線,其中rx自由度Emax為26.5%,ry自由度Emax為24.2%。圖10為采用PSB自適應(yīng)變步長算法的波形復(fù)現(xiàn)曲線,其中rx自由度Emax為15.4%,ry自由度Emax為12.1%?？煽闯龅诙M實驗中,采用PSB自適應(yīng)變步長算法波形復(fù)現(xiàn)效果更好。

(a) rx自由度 (b) ry自由度圖9 DFP定步長算法波形復(fù)現(xiàn)實驗結(jié)果

5 結(jié)論

針對兩自由度電液振動臺受負載特性變化等因素影響時域隨機波形復(fù)現(xiàn)精度的問題,提出了基于PSB自適應(yīng)變步長的波形復(fù)現(xiàn)控制算法,對驅(qū)動譜廣義阻抗矩陣實時迭代更新。基于MATLAB/Simulink平臺搭建振動臺控制系統(tǒng)仿真模型,設(shè)計了PSB自適應(yīng)變步長算法控制器。實驗研究表明,采用PSB自適應(yīng)變步長算法進行兩自由度隨機波形復(fù)現(xiàn)時,rx自由度加速度時域最大誤差為15.4%,ry自由度加速度時域最大誤差為12.1%。與DFP定步長算法控制器比較,PSB自適應(yīng)變步長算法控制器具有更強的迭代收斂特性,能夠?qū)崿F(xiàn)兩自由度電液振動臺加速度隨機波形的高精度復(fù)現(xiàn)。

由于實際電液振動臺系統(tǒng)具有較強的非線性特性,導(dǎo)致實驗結(jié)果與基于線性模型的仿真結(jié)果相比存在一定的偏差,后續(xù)將繼續(xù)開展基于振動臺非線性模型的隨機振動控制方法研究。