例說函數(shù)凹凸性的應(yīng)用技巧

對于函數(shù)的凹凸性，教材中沒有給出明確的定義，只是以練習(xí)題的形式點到為止.然而在平時的訓(xùn)練和高考試題中，函數(shù)的凹凸性卻有著廣泛的應(yīng)用.對此，筆者就函數(shù)凹凸性的應(yīng)用技巧進行了深入的探討.下面主要談一談如何運用函數(shù)的凹凸性求函數(shù)的極值和求解函數(shù)的圖象問題.

一、求函數(shù)的極值

對于求函數(shù) f （ ） x 的極值問題，我們習(xí)慣性地對函數(shù)求導(dǎo)，再求出 f′ （ ） x ≥0和 f′ （ ） x ≤0時的x的取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極大值和極小值.而運用函數(shù)的凹凸性能快速地解答此類問題.由 f′ （ ） x =0，可以求出函數(shù)的疑似極值點 x 0 ，若 f ″（ x 0 ）gt; 0 ，由函數(shù)的連續(xù)性可知，在 （ ） x 0 -?，x 0 +? （?gt;0 ） 內(nèi)均有 f ″ （ ） x gt; 0 ，此時函數(shù)是凸函數(shù)， f′ （ ） x 單調(diào)遞增，所以當(dāng) x∈ （ ） x 0 -?，x 0 時，f′ （ ） x lt; 0 ，當(dāng) x∈ （） x 0 ， x 0 +? 時， f′ （ ） x gt;0，故在x= x 0 處函數(shù)取極小值，當(dāng) f ″（ x 0 ）lt;0 時，x= x 0 處函數(shù)取極大值.同理，若f ″（ x 0 ）lt;0 ，由函數(shù)的連續(xù)性可知，在 （） x 0 -?， x 0 +? （?gt;0 ）內(nèi)均有 f ″ （ ） x lt; 0 ，此時函數(shù)是凹函數(shù).值得注意的是，當(dāng)f ″（ x 0 ） = 0 時，函數(shù)在x= x 0 處不一定能取到極值.