指向?qū)W力提升的“?！绷φn堂建構(gòu)策略研究

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“指向?qū)W力提升的小學(xué)數(shù)學(xué)單元學(xué)歷案設(shè)計(jì)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKZX23-026）.

摘" 要：盡管在小學(xué)數(shù)學(xué)中不提倡出現(xiàn)“數(shù)學(xué)模型”這一詞，但在教學(xué)過(guò)程中，卻多處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用，如果教師能高屋建瓴地、創(chuàng)造性地帶領(lǐng)孩子經(jīng)歷有效、完整、嚴(yán)密的建模過(guò)程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)將有較大益處.本文嘗試從“悟模：符號(hào)化表達(dá)，領(lǐng)悟模型內(nèi)涵”“建模：邏輯化思考，發(fā)展模型意識(shí)”“拓模：意義式關(guān)聯(lián)，拓展模型外延”3個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)建模策略進(jìn)行創(chuàng)新，希望能提高建?；顒?dòng)的綜合成效，促進(jìn)學(xué)生學(xué)力提升.

關(guān)鍵詞：田忌賽馬；模型意識(shí)；對(duì)策；數(shù)學(xué)建模

發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)，能有效提高學(xué)生解決真實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.但是，對(duì)模型意識(shí)的研究，更多地集中在初高中及大學(xué)階段，在小學(xué)階段，很少有機(jī)會(huì)去經(jīng)歷有效、完整且嚴(yán)密的建模過(guò)程，學(xué)生的建模水平處于“低學(xué)力”狀態(tài).根據(jù)“皮亞杰認(rèn)知發(fā)展四階段”，不難發(fā)現(xiàn)四年級(jí)的孩子恰好處于第三階段，即具體運(yùn)算階段.這個(gè)階段的孩子，思維活動(dòng)需要依托具體的情境或內(nèi)容，還不能很好地進(jìn)行抽象邏輯思維.這就需要教師有全局觀，多維度分析教材，創(chuàng)新導(dǎo)學(xué)的方式方法，從而提高建模活動(dòng)的綜合成效，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)力的提升.

《田忌賽馬》是小學(xué)數(shù)學(xué)人教版四年級(jí)上冊(cè)第八單元“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”中的第三個(gè)例題，屬于數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐與應(yīng)用領(lǐng)域的內(nèi)容，以傳遞數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和情感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣為目的.這一單元，共有三個(gè)例題，另外兩個(gè)分別是“沏茶問(wèn)題”和“烙餅問(wèn)題”，三個(gè)例題指向“優(yōu)化思想”的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中感悟優(yōu)化的價(jià)值，初步領(lǐng)會(huì)運(yùn)籌思想的核心及其在實(shí)際生活中的應(yīng)用.學(xué)生要有發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的眼光、會(huì)用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)信息；能使用“枚舉法”有邏輯地思考，理解“最優(yōu)策略”，體驗(yàn)策略的重要性；了解不同問(wèn)題模型獲勝的對(duì)策，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，會(huì)用“優(yōu)化”的數(shù)學(xué)思想解決真實(shí)的、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.下面聚焦《田忌賽馬》一課，從“悟模：符號(hào)化表達(dá)，領(lǐng)悟模型內(nèi)涵”“建模：邏輯化思考，發(fā)展模型意識(shí)”“拓模：意義式關(guān)聯(lián)，拓展模型外延”3個(gè)方面討論“?！绷φn堂建構(gòu)的策略.

1" 悟模：符號(hào)化表達(dá)，領(lǐng)悟模型內(nèi)涵

“悟?！杯h(huán)節(jié)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“提煉信息，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述”.日常學(xué)習(xí)中，只要留意觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)如今的問(wèn)題情境，信息的呈現(xiàn)形式是豐富多樣的，且日益新穎，除了文字式、圖畫(huà)式，還可能是表格式、對(duì)話式.在這樣復(fù)雜的問(wèn)題情境中，學(xué)生使用符號(hào)來(lái)表征數(shù)學(xué)信息就顯得特別重要了.因?yàn)楫?dāng)學(xué)生能夠在復(fù)雜的問(wèn)題情境中觀察分析，用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)和整理信息時(shí)，他們對(duì)于其中的數(shù)量關(guān)系及問(wèn)題模型就會(huì)領(lǐng)悟得更加到位.

例如“田忌賽馬”這節(jié)課，“6匹馬的戰(zhàn)力值對(duì)比”就需要靠學(xué)生自己去挖掘，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)、用符號(hào)去表達(dá)獲取的有效信息.田忌賽馬的故事如果一分為二來(lái)看：第一個(gè)環(huán)節(jié)是田忌與齊王賽馬的第一回合.齊王屢戰(zhàn)屢勝，其中反映出來(lái)的信息是，齊王各檔賽馬都比田忌的戰(zhàn)力強(qiáng)；第二回合是孫臏的助陣，使得田忌反敗為勝.可見(jiàn)，田忌的上等馬的戰(zhàn)力值超越齊王的中等馬，田忌的中等馬的戰(zhàn)力值超越齊王的下等馬.因此，六匹馬的戰(zhàn)力躍然紙上：齊王上等馬＞田忌上等馬＞齊王中等馬＞田忌中等馬＞齊王下等馬＞田忌下等馬.以上的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有直接告知學(xué)生，需要學(xué)生從字里行間去領(lǐng)悟.因此，教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象，用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行刻畫(huà)，嘗試挖掘故事中隱含的數(shù)學(xué)信息，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題后，再?gòu)臄?shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考.

第一次比賽

齊王田忌獲勝者

第一局上等馬上等馬齊王

第二局中等馬中等馬齊王

第三局下等馬下等馬齊王

第二次比賽

齊王田忌獲勝者

第一局上等馬下等馬齊王

第二局中等馬上等馬田忌

第三局下等馬中等馬田忌

案例分析

【教學(xué)片段1】

師：“看完這兩場(chǎng)比賽，你知道了些什么？能否具體分析一下齊王和田忌賽馬的戰(zhàn)力值呢？”.

生1：第一次比賽，齊王三局全勝，說(shuō)明整體來(lái)看，田忌的馬比不過(guò)齊王的馬，田忌的馬戰(zhàn)力會(huì)弱一些.

生2：也就是說(shuō)，齊王各檔次的馬都略勝一籌.如果齊王三個(gè)檔次馬的戰(zhàn)力用字母A1、A2、A3表示，田忌三個(gè)檔次馬的戰(zhàn)力用B1、B2、B3表示，則有A1＞B1，A2＞B2，A3＞B3.

生3：我同意你的觀點(diǎn).第二次比賽，田忌反敗為勝，說(shuō)明齊王中等馬的戰(zhàn)力比不過(guò)田忌上等馬的戰(zhàn)力，齊王下等馬的戰(zhàn)力比不過(guò)田忌中等馬的戰(zhàn)力.這樣的話，我們可以把六匹馬的戰(zhàn)力值進(jìn)行排序：A1＞B1＞A2＞B2＞A3＞B3.

生4：我也覺(jué)得是這樣，因?yàn)槿绻锛傻鸟R太弱的話，最好的馬都比不過(guò)齊王最弱的馬，那就不用比了，他連反超的機(jī)會(huì)都沒(méi)有呢！

該片段中，通過(guò)教師有意識(shí)的刨根問(wèn)底，學(xué)生將數(shù)量關(guān)系提煉出來(lái)，抽象出更為一般的模式表達(dá)，實(shí)現(xiàn)了從實(shí)際問(wèn)題情境中提煉數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程.有了這樣的引導(dǎo)，學(xué)生在后續(xù)研究有幾種對(duì)陣方式時(shí)，就會(huì)自覺(jué)地使用簡(jiǎn)潔的符號(hào)來(lái)描述，而不是冗長(zhǎng)的文字.這樣的處理方式，不僅能提高學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀中尋找數(shù)量關(guān)系的能力，還能引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)信息符號(hào)化的過(guò)程，親身感受到符號(hào)化表達(dá)的簡(jiǎn)潔與優(yōu)勢(shì).不過(guò)，學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展單靠一節(jié)課、一個(gè)單元肯定不夠，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，有計(jì)劃、有步驟地層層遞進(jìn)，將素養(yǎng)培育貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.

2" 建模：邏輯化思考，發(fā)展模型意識(shí)

邏輯思維，是一種思維規(guī)律，一種高級(jí)的思考方式，直接關(guān)系學(xué)生學(xué)習(xí)效率.好的邏輯就像一根看不見(jiàn)的線，學(xué)生具備邏輯思維之后可以更有條理地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)表達(dá)能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，孩子們思考或描述一個(gè)問(wèn)題，可以有多種方法，教師要能引導(dǎo)學(xué)生借助某些方法，進(jìn)行邏輯化思考、清晰化表達(dá)，從而可以幫助他們透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，更好地發(fā)展模型意識(shí).

本環(huán)節(jié)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生“提煉方法，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型”的思維習(xí)慣，以“田忌只能用這種策略取得勝利嗎”這個(gè)問(wèn)題為引領(lǐng)，啟發(fā)孩子們?cè)谧灾鲗W(xué)習(xí)、協(xié)同學(xué)習(xí)、整體學(xué)習(xí)這樣的三學(xué)模式中展開(kāi)討論，用自己喜歡的方式表示對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解.那么如何把話講明白，讓邏輯成為一種自覺(jué)呢？

【教學(xué)片段2】

生1：我是這樣想的，如果齊王三個(gè)檔次馬的戰(zhàn)力分別用字母A1、A2、A3表示，田忌三個(gè)檔次馬的戰(zhàn)力分別用B1、B2、B3表示，那么就有這6種情況，其中只有這一種對(duì)陣方式，田忌才能贏.

生2：我是用列表格的方法，齊王的馬按照上、中、下的順序出戰(zhàn)，田忌如何應(yīng)戰(zhàn)？可以這樣想，先把第一列寫(xiě)好，田忌可以上上、中中、下下，分別是上中下、上下中、中上下、中下上、下中上、下上中，共6種應(yīng)對(duì)策略，依次驗(yàn)證后，確認(rèn)只有這一種可以三局兩勝，其他最多只勝1場(chǎng)，所以田忌只能用第6種策略才能獲勝.

第一局第二局第三局獲勝方

齊王上等馬中等馬下等馬

田忌1上中下齊王

田忌2上下中齊王

田忌3中上下齊王

田忌4中下上齊王

田忌5下中上齊王

田忌6下上中田忌

生3：有序思考！我聽(tīng)懂了！也就是說(shuō)田忌必須用最弱的馬去消耗齊王最強(qiáng)的馬，讓齊王這匹最強(qiáng)的馬浪費(fèi)掉，發(fā)揮不了作用！然后用上等馬贏齊王的中等馬，勝一局，再用中等馬贏齊王的下等馬，再勝一局！

生4：也就是最弱對(duì)最強(qiáng)，輸一局不要緊，保證另外兩局一定要贏就可以了，輸一贏二，最終還是贏.

其實(shí)，無(wú)論是枚舉法還是圖示法，我們可以看到，孩子們已經(jīng)能夠借助一些方法，有邏輯地思考問(wèn)題、表達(dá)問(wèn)題了.本環(huán)節(jié)之所以重點(diǎn)突破枚舉法，原因在于它是小學(xué)階段比較常用的策略，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種方法，是最原始、有時(shí)也是最管用的一種方法.這時(shí)學(xué)生會(huì)達(dá)成共識(shí)，田忌可以采用的賽馬策略有6種，但其中僅有一種方法可獲勝.它突顯了數(shù)學(xué)思辨的條理性和嚴(yán)密性，使學(xué)習(xí)內(nèi)容脈絡(luò)清晰、一目了然.這樣的圖表不僅為學(xué)生提供了具體的思考路徑，而且清晰再現(xiàn)了其思路歷程.學(xué)生通過(guò)這種有序排列、列舉填表、相互對(duì)照，找到獲勝的策略，可深刻感悟有序思考的優(yōu)越性及對(duì)策論的重要性.此時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要想取得競(jìng)爭(zhēng)勝利，有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是找到最易突破的點(diǎn)位，二是運(yùn)用自己極具優(yōu)勢(shì)的武器.因此，有必要在課堂中揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生身臨其境，自覺(jué)主動(dòng)地去尋求數(shù)學(xué)基本方法.這樣，以后孩子們?cè)儆龅健半u兔同籠”“植樹(shù)問(wèn)題”等問(wèn)題情境時(shí)，就可以理清思路，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題模型更透徹、更具遷移性的理解.

3" 拓模：意義式關(guān)聯(lián)，拓展模型外延

當(dāng)今社會(huì)，肉眼可見(jiàn)一些競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象和行為.其中的一些活動(dòng)具有如下的特點(diǎn)：對(duì)方可能采取的所有策略是已知的；某方先暴露策略，被另一方識(shí)得，競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果就可以預(yù)知，并且可以定量描述.通常我們把這類活動(dòng)稱為“對(duì)策”問(wèn)題，“田忌賽馬”就是其中一個(gè)比較典型的對(duì)策論例子.

“提煉思想，讓數(shù)學(xué)模型服務(wù)于生活”是本環(huán)節(jié)重點(diǎn)，使學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)實(shí)現(xiàn)由無(wú)意識(shí)的狀態(tài)向自覺(jué)地應(yīng)用的轉(zhuǎn)變.從本質(zhì)上看，模型意識(shí)追求從“解決一個(gè)問(wèn)題”到“解決一類問(wèn)題”的路徑和思路，因此，從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型后，建模不能終結(jié).教師要有打破思維定式的勇氣，敢于變換問(wèn)題情境，拓展模型外延，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的作用之廣泛，懂得“學(xué)以致用”.

【教學(xué)片段3】

師：老師真的很欣賞你們，不僅會(huì)玩，還能有策略地玩.下面讓我們回顧剛剛的這些游戲和項(xiàng)目，你有找到什么相同之處嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)這些游戲都有個(gè)共同點(diǎn)，那就是只要有策略地玩，就可能取得勝利.

生2：盡量讓對(duì)方先暴露，這樣我們就可以根據(jù)對(duì)方的情況，來(lái)決定自己怎么選擇最優(yōu)策略.

生3：像這樣的比賽，讓對(duì)方先出獲勝機(jī)率大.因?yàn)橹灰覀冇米钚〉呐迫ハ膶?duì)方最大的牌，或者用最弱的去浪費(fèi)對(duì)方最強(qiáng)的，其他能勝利要爭(zhēng)取勝利，盡量讓自己輸少贏多，就可以取得最終勝利！

生4：贊同！有時(shí)候，解決同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的策略，要考慮到所有情況，并從中尋找到最優(yōu)的方案.

生5：在和別人進(jìn)行PK時(shí)，要知己知彼，仔細(xì)分析自己與對(duì)方的優(yōu)勢(shì)，在所有可采用的策略中，選擇最優(yōu)策略.

師：是的，只要我們會(huì)用策略，會(huì)思考，即使實(shí)力比別人稍遜，但只要通過(guò)全盤考慮，也有可能整體取勝.

在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生適度提煉、歸納一些基本的、常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，拓展模型外延，提升學(xué)生的思維層次，是促進(jìn)學(xué)生學(xué)力提升的突破口.本環(huán)節(jié)，借助撲克牌，讓孩子們分別經(jīng)歷“實(shí)力懸殊，高下立見(jiàn)”“實(shí)力稍遜，以弱勝?gòu)?qiáng)”“實(shí)力均衡，智者為王”三種情況，分類討論中，學(xué)生充分理解了“田忌賽馬”和“撲克牌”游戲獲勝的關(guān)鍵點(diǎn)和突破口.活動(dòng)之前，教師有意識(shí)地提出兩個(gè)問(wèn)題：“若能獲勝，獲勝的關(guān)鍵是什么？”“若不能獲勝，又是哪里出了問(wèn)題，再比一次，你能贏嗎？”.引領(lǐng)學(xué)生在游戲之前要先進(jìn)行思考，帶著問(wèn)題展開(kāi)探究活動(dòng)，并在游戲的過(guò)程中滲透“數(shù)學(xué)思考”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“先謀后動(dòng)”的教育主旨.習(xí)得田忌反敗為勝的策略之后，同學(xué)們?cè)谝痪钟忠痪值膶?duì)陣中，自主摸索、感受對(duì)策問(wèn)題，不時(shí)能聽(tīng)到這樣的聲音：“啊，我明白了！原來(lái)只要我用自己最小的牌對(duì)你最大的牌，保證另外兩場(chǎng)獲勝，就一定能獲勝了！”“太有意思了，我知道怎么玩了！”“孫臏太聰明了，給了田忌這種策略，原來(lái)也能用在撲克牌比大小的游戲里！”.學(xué)生在這樣的親身實(shí)踐時(shí)，不知不覺(jué)中已將感性的原始生活經(jīng)驗(yàn)逐步提升為抽象的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而形成一定的對(duì)陣策略，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的提升.

在學(xué)生的認(rèn)知趨于成熟的時(shí)候，及時(shí)引領(lǐng)學(xué)生找?guī)最愑螒蚝晚?xiàng)目的相同點(diǎn)，進(jìn)行意義式關(guān)聯(lián).隨后，進(jìn)行相關(guān)成語(yǔ)的拓展，并由此聯(lián)想到體育競(jìng)賽、行業(yè)銷售、軍事指揮等不同領(lǐng)域中的競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象.孩子們得到的啟示是，就算自己整體實(shí)力不如別人，只要有相對(duì)的優(yōu)勢(shì)、策略應(yīng)用得當(dāng)，還是有可能取得勝利的.一個(gè)人是這樣，一個(gè)企業(yè)是這樣，再大到一個(gè)國(guó)家也是這樣.反過(guò)來(lái)，即使有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，只要采取的措施不當(dāng)也可能失敗，感受到策略應(yīng)用也要有一定的條件，從而更為全面、立體地認(rèn)識(shí)對(duì)策問(wèn)題.通過(guò)這樣的訓(xùn)練，學(xué)生今后面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，就能夠通過(guò)數(shù)學(xué)模型帶來(lái)的啟發(fā)，自覺(jué)調(diào)用先前經(jīng)驗(yàn)解決真實(shí)情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

數(shù)學(xué)建模的很多問(wèn)題來(lái)源于我們的現(xiàn)實(shí)生活，最終也回歸于現(xiàn)實(shí)生活.通過(guò)對(duì)“悟?！薄敖！薄巴啬！比齻€(gè)環(huán)節(jié)的創(chuàng)新策略設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從中獲得了對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)原理和方法更為深刻的感悟.作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們有義務(wù)在平時(shí)的教學(xué)中創(chuàng)設(shè)更多富有創(chuàng)新性的、與學(xué)生緊密相關(guān)的真實(shí)情境，讓學(xué)生在喜愛(ài)的生活原型中找尋“策略”足跡.隨著各方面競(jìng)爭(zhēng)的加強(qiáng)，隨著人們對(duì)科學(xué)決策和高效保質(zhì)的追求，人們必將智慧地去面對(duì)生活中的各項(xiàng)挑戰(zhàn)與機(jī)遇，不斷“打怪升級(jí)”.倘若在某些事件中，能智慧地利用“田忌賽馬”的原理幫助自己做出抉擇，或許會(huì)更加完整、全面地分析決策過(guò)程，以爭(zhēng)取更理想的結(jié)果.進(jìn)而主動(dòng)地去建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、尋找最優(yōu)策略、高效地解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)從“低學(xué)力”狀態(tài)向“高學(xué)力”狀態(tài)的躍升.

參考文獻(xiàn)

［1］ 陸文玥，劉志闊，段劍輝. “田忌賽馬”中的社會(huì)契約與創(chuàng)新激勵(lì)——非合作博弈視角［J］. 中國(guó)集體經(jīng)濟(jì)，2021（26）：96-97.

［2］ 孔忠偉. 如何借助“田忌賽馬”相關(guān)內(nèi)容建立概率思維［J］. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（5）：32-33.

［3］ 佘江華，沐昌茂. “田忌賽馬”的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2014（3）：14-15.

［4］ 王愛(ài)群，吳紅艷，邵啟平，盛平，余立云. “田忌賽馬”教學(xué)研究報(bào)告［J］. 湖南教育（下），2014（12）：25-28.

［5］ 程巨銀，陳炎. 重溫“田忌賽馬”滲透數(shù)學(xué)文化［J］. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（16）：45-25.

［6］ 孫曉強(qiáng)，主進(jìn)軍. “對(duì)策問(wèn)題”教學(xué)實(shí)踐與思考［J］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（23）：56-58.

［7］ 黃雅芳. 三引三扣 聚焦素養(yǎng)——?jiǎng)俜謇蠋煛短锛少愸R》教學(xué)賞析［J］. 新教師，2020（10）：77-78.