高中函數(shù)教學(xué)中逆向思維能力培養(yǎng)的策略研究

摘 要：本文先梳理國內(nèi)相關(guān)文獻，研究數(shù)學(xué)逆向思維的背景；然后，對兩所高中的學(xué)生和教師進行了問卷調(diào)查和試卷測試；最后，根據(jù)調(diào)查結(jié)果和理論研究，提出高中函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的策略，并得出：學(xué)生對逆向思維了解不足、教師對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)不夠重視、課堂教學(xué)中對逆向思維的滲透不足等結(jié)論.

關(guān)鍵詞：高中函數(shù)；逆向思維；能力培養(yǎng)；邏輯能力

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育注重知識，學(xué)生通過死記硬背和題海戰(zhàn)術(shù)應(yīng)對問題，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)思想方法理解不足.在新課標的背景下，學(xué)生要學(xué)會運用數(shù)學(xué)思維，發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)習(xí)與生活中的問題.［1］因此，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力刻不容緩，而其中的逆向思維是較為容易被忽略的.逆向思維在數(shù)學(xué)方法中常有體現(xiàn)，如反證法、反例法和分析法等.它對函數(shù)、概率與統(tǒng)計、立體幾何等數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)具有重要作用.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力非常重要.

1 高中函數(shù)教學(xué)中逆向思維能力培養(yǎng)的策略研究的背景

在不斷深化的教育理論和豐富的教育內(nèi)容中，數(shù)學(xué)邏輯思維仍是數(shù)學(xué)教學(xué)重點，數(shù)學(xué)逆向思維也備受關(guān)注.近年來，專家學(xué)者對數(shù)學(xué)逆向思維進行了研究，并提出了相關(guān)建議.其中，在2008年時，喻平曾發(fā)表文章并提出逆向思維可以解決不少通過正向思維無法解決的難題.此后周春荔的《數(shù)學(xué)思維概論》里面也提出，正反轉(zhuǎn)化常存在于數(shù)學(xué)知識中，常見的有函數(shù)和反函數(shù)，在解決數(shù)學(xué)問題時逆向思維起到了很大的幫助.另外，馬忠林的《數(shù)學(xué)教學(xué)論》，在該書中將數(shù)學(xué)定理、公式進行了靈活運用.由此可見，隨著教育的發(fā)展，高中函數(shù)教學(xué)中逆向思維能力培養(yǎng)也越來越受關(guān)注，同時也越來越多地被應(yīng)用在教學(xué)中.

2 高中函數(shù)教學(xué)中逆向思維能力培養(yǎng)的策略研究的問題

針對我市兩所高中四個理科班的學(xué)生（190名）及50名教師進行了簡短的問卷調(diào)查.教師方面涉及對逆向思維教學(xué)的重視度、對學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)程度以及與學(xué)生逆向思維的交流頻度.學(xué)生方面則主要考查逆向思維的掌握和反思.

2.1 教師對逆向思維教學(xué)不夠重視

當(dāng)學(xué)生處于高中時代時，他們開始了解逆向思維，但將其應(yīng)用于解題上的比例不高.根據(jù)調(diào)查（見表1），約30.68%的學(xué)生在高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用逆向思維.這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，除了學(xué)生自身的原因外，也與教師對逆向思維教學(xué)的重視程度有關(guān).調(diào)查顯示，只有40%的數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維解題能力.為了提高學(xué)生的逆向思維解題能力，教師需要意識到其重要性并采取相應(yīng)的教學(xué)策略.

2.2 教師對學(xué)生逆向思維能力培養(yǎng)滲透不足

教師因經(jīng)驗和素養(yǎng)不同，在課堂上對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)程度也不同.高中數(shù)學(xué)更抽象且課程豐富，教師多用“填鴨式”教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生偏向機械記憶公式，解題時思維受限.教師逆向思維教學(xué)經(jīng)驗不足，學(xué)生難以運用逆向思維解題，創(chuàng)新性不足.當(dāng)前問題是如何在教授函數(shù)板塊知識時提升學(xué)生的逆向思維能力.

2.3 教師與學(xué)生逆向思維交流不足

一線教師在教學(xué)過程中，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的知識技能，還要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的養(yǎng)成.通過調(diào)查（見表2），85%的教師了解逆向思維，61.67%的教師認為函數(shù)教學(xué)可以提升學(xué)生的逆向思維能力.然而，56.67%的教師雖然會培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，但教學(xué)方式不常見；46.67%的教師雖然知道要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，但尚未找到合適的教學(xué)切入點.

2.4 學(xué)生無法掌握逆向思維的解題方法

學(xué)生逆向思維情況可通過數(shù)據(jù)調(diào)查得出（見表2），超過70%的學(xué)生認為數(shù)學(xué)逆向思維體現(xiàn)在反證法和逆推證法中，少部分學(xué)生認為體現(xiàn)在演繹法和歸納法.但深入訪談發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不了解這些數(shù)學(xué)解題方法的意義.大多數(shù)高中生認為，提升逆向思維能力應(yīng)多學(xué)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù).71.43%的學(xué)生認為逆向思維能力差的原因是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不牢，44.29%的學(xué)生認為原因是課業(yè)過重導(dǎo)致沒有思考時間和精力.

2.5 學(xué)生對逆向思維缺乏反思總結(jié)

盡管許多學(xué)生在解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題時選擇反面角度的方式，但能成功運用的都是難度不大的題目.調(diào)查顯示（見表3），難度大的題目中，約40%的學(xué)生無法運用逆向思維.在數(shù)學(xué)課堂上，若高中生與他人觀點不同，70%的學(xué)生選擇遵從他人看法，僅27.14%的學(xué)生堅持己見.逆向思維需要打破定勢思維，但高中生習(xí)慣遵從教師，因此培養(yǎng)逆向思維較難.教師應(yīng)鼓勵學(xué)生表達想法、整理與反思，以打破固有思考方式，解決所有數(shù)學(xué)題目.

3 高中函數(shù)教學(xué)中逆向思維能力培養(yǎng)的策略研究對策

3.1 更新教師觀念，重視逆向思維理論知識

新課標改革后，教師的教學(xué)觀念需要緊緊跟隨.教師的教學(xué)方式應(yīng)該從過去的“填鴨式”變成以學(xué)生為主體的方式.當(dāng)下的教學(xué)過程中，教師的教學(xué)觀念應(yīng)緊跟時代，在教學(xué)過程中多鼓勵學(xué)生提出自己的觀念，而不是一味打壓學(xué)生的個性，造成“一言堂”的局面.當(dāng)出現(xiàn)較難的題目時，教師除了將典型的教學(xué)思維板書在黑板上外，還應(yīng)當(dāng)教授學(xué)生從多方面去思考問題.通過調(diào)查能夠得出，不少教師已經(jīng)意識到需要對學(xué)生的逆向思維能力進行培養(yǎng)，對如何培養(yǎng)卻沒有足夠的經(jīng)驗.依照思維發(fā)展理論來看，高中生的思維有著極強的概括性以及抽象性.［2］相較于初中階段，高中函數(shù)明顯抽象難懂了許多，可新手教師也要注意到高中時期是學(xué)生的思維發(fā)展關(guān)鍵期，在教學(xué)期間要發(fā)掘?qū)W生的主體性.

3.2 研讀學(xué)科教材，滲透逆向思維方法

盡管部分教師已轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)觀念，重視逆向解題思維的培養(yǎng)，但仍面臨教學(xué)理論不足和數(shù)學(xué)知識理解不深的問題，教師主要關(guān)注解題方法的提升，忽視數(shù)學(xué)定理和知識中的逆向思維.因此，教師需深入挖掘數(shù)學(xué)知識，聯(lián)系問題要素，找到并融入逆向思維，有意識地教授給學(xué)生.［3］例如，在講授函數(shù)極值時，高中數(shù)學(xué)教師要剖析極值與導(dǎo)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生探究導(dǎo)數(shù)為零的點與函數(shù)的極值點是否存在可逆關(guān)系？為讓學(xué)生學(xué)會逆向解題思維，教師可選擇反例法：f（x）=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為零，可是它并非極值點，因此，當(dāng)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)為0的點是極值點的必要不充分條件.再者，函數(shù)不可導(dǎo)的點也有可能是極值點，如f（x）=｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，但是當(dāng)xlt;0時，f′（x）=-1lt;0，當(dāng)x＞0時，f′（x）=1gt;0， f′（0）=0，因此x=0是f（x）的極小值點.在教學(xué)過程中，教師通常從左到右證明公式，學(xué)生也傾向于記憶此方向的公式.但在解題時，更注重從右到左的應(yīng)用.因此，為了使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)，教師應(yīng)滲透逆向思維.

3.3 營造平等師生關(guān)系，鼓勵學(xué)生交流互助

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)保持與學(xué)生平等的關(guān)系，營造輕松氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.尊重學(xué)生的理解差異，鼓勵交流、合作和分享解題思路，引導(dǎo)學(xué)生運用逆向思維解決問題.例如y=2x2+ax+bx2+1，已知函數(shù)的值域為［1，3］，求a，b的值.很多學(xué)生在看到這道題的時候，最初的解題思路是直接求導(dǎo)函數(shù)，之后再運用函數(shù)的單調(diào)性來得到最終的參數(shù)值.對于學(xué)生的這種解題思路，很多新手教師會對學(xué)生的這種思路直接否決，這樣就會大大降低學(xué)生的積極性.按照新課改的要求，學(xué)生是學(xué)習(xí)過程中的主體，所以教師需要鼓勵這些學(xué)生積極說出各自的想法.通過解決該題我們能夠得出，運用求導(dǎo)方式后還是沒有辦法對導(dǎo)數(shù)值的正負進行判斷，所以教師需要不斷鼓勵學(xué)生，讓其進行小組合作探究.

3.4 創(chuàng)設(shè)逆向教學(xué)情境，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

在人類幼年時期，逆向思維就已顯現(xiàn).以司馬光砸缸為例，說明逆向思維的存在.要將逆向思維能力融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需創(chuàng)設(shè)逆向教學(xué)情境，同時培養(yǎng)正向思維.［4］以高中生為例，他們已學(xué)過函數(shù)知識，教師可借助其原有認知結(jié)構(gòu)，更新學(xué)生對函數(shù)的理解.數(shù)學(xué)知識本身較為抽象難懂，如果僅依賴公式教學(xué)，學(xué)生可能會感到乏味.為了激發(fā)學(xué)生的積極性，教師可創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生通過探究數(shù)學(xué)歷史，掌握互逆轉(zhuǎn)化的能力.

3.5 反思解題過程，啟發(fā)學(xué)生一題多解

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師常用題海戰(zhàn)術(shù)來讓學(xué)生記憶解題思路.學(xué)生傾向于使用常規(guī)思維方式，導(dǎo)致思維惰性.特殊問題時，學(xué)生難以轉(zhuǎn)變思維方式.因此，學(xué)生需要掌握常規(guī)和逆向思維.教師的目標是培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力.解決函數(shù)問題時，由于其抽象性和難度，教師需注重培養(yǎng)學(xué)生的反思能力.例如，f（x）=2x2+（1-a）x-2gt;0對x∈（-∞，-1）恒成立，本題既可以采用分離變量的方式將題目轉(zhuǎn)化為agt;2x2+x-2x對x∈（-∞，-1）恒成立，也可以將其視為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題.再如，求函數(shù)y=a+bxa（agt;bgt;0）在［-1，1］上的值域，當(dāng)對這類習(xí)題進行授課時，教師應(yīng)當(dāng)更注重教授學(xué)生多運用數(shù)學(xué)思維解題，而不是讓學(xué)生一味機械化解題.教師在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的同時，也不能讓學(xué)生的正向思維能力被壓制.教師在教授解題方法時，應(yīng)講解多種典型的解題思路，讓學(xué)生學(xué)會對比各種解題方法，比較其中的優(yōu)點與缺點.［5］同時，教師需更注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，畢竟只學(xué)習(xí)正向思維沒有辦法將全部的數(shù)學(xué)問題順利解決，有時也需要運用逆向思維來解決.

4 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)教學(xué)是極為重要的一大板塊.和其他高中數(shù)學(xué)知識比較起來，函數(shù)知識顯得更加抽象.當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主流思想通常是正向思維思想，而逆向思維往往被忽視.逆向思維其實屬于創(chuàng)造性思維，在新課標改革后，教學(xué)目標要求提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，必然需要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.對任何一個教育者來說，要始終保持終身學(xué)習(xí)的思想，將培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的教學(xué)方式貫徹到底.

參考文獻

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