基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)研究

摘 要：基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的作用.介紹學(xué)習(xí)進(jìn)階的內(nèi)涵、組成要素及其層級(jí)分類(lèi)，解讀教材中有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的要求，分析教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生學(xué)情，構(gòu)造直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)進(jìn)階，進(jìn)行直線與圓的位置關(guān)系的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)進(jìn)階；教學(xué)過(guò)程；進(jìn)階維度

初中階段學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)直線與圓的位置關(guān)系并對(duì)直線與圓的位置關(guān)系有了定性的認(rèn)識(shí)，而在高中階段的學(xué)習(xí)中，還要求學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系有定量的認(rèn)識(shí).基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，依據(jù)學(xué)生認(rèn)知情況、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建學(xué)習(xí)進(jìn)階，層層遞進(jìn)，從而使學(xué)生達(dá)到預(yù)期的思維水平，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與技能的提升.本文以直線與圓的位置關(guān)系為例，說(shuō)明如何開(kāi)展基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的直線與圓的位置關(guān)系的教學(xué)過(guò)程研究.

1 學(xué)習(xí)進(jìn)階

1.1 學(xué)習(xí)進(jìn)階理論

1.1.1 學(xué)習(xí)進(jìn)階的內(nèi)涵

學(xué)習(xí)進(jìn)階的概念是指在一段特定的時(shí)間范圍內(nèi)，學(xué)生在學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中學(xué)習(xí)內(nèi)容由淺入深、循序漸進(jìn)，思維不斷地實(shí)現(xiàn)進(jìn)階的過(guò)程，以此來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其數(shù)學(xué)思維變得連續(xù)有條理，符合學(xué)生的認(rèn)知水平和規(guī)律.［1］因此，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)更有層級(jí)性、針對(duì)性和邏輯性，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)進(jìn)階的學(xué)習(xí)過(guò)程，達(dá)到期望的學(xué)習(xí)水平，以此來(lái)提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.1.2 學(xué)習(xí)進(jìn)階的組成要素

第一，進(jìn)階起點(diǎn)，是在學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平的基礎(chǔ)上劃分得到的起點(diǎn)，是學(xué)習(xí)進(jìn)階研究的第一步.

第二，進(jìn)階層級(jí)，即中間水平，位于起點(diǎn)和終點(diǎn)之間，一般包含多個(gè)層級(jí)，是進(jìn)階起點(diǎn)通向終點(diǎn)的不可或缺的進(jìn)階階段，每一個(gè)層級(jí)都有其存在的重要意義，學(xué)生在每一個(gè)層級(jí)的學(xué)習(xí)水平和要求不同，按照層級(jí)依次來(lái)反應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平.

第三，進(jìn)階終點(diǎn)，亦稱(chēng)學(xué)習(xí)表現(xiàn)，指在學(xué)習(xí)進(jìn)階起點(diǎn)的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)一系列的學(xué)習(xí)以后所具備的學(xué)習(xí)表現(xiàn).進(jìn)階終點(diǎn)的確定是由課程標(biāo)準(zhǔn)以及對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)期望兩部分構(gòu)成的.

本文以高中的視角研究初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接，探討學(xué)生從初、高中兩個(gè)學(xué)段學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)應(yīng)遵循的路徑和方法.

1.1.3 學(xué)習(xí)進(jìn)階層級(jí)的分類(lèi)

近年來(lái)，學(xué)習(xí)進(jìn)階理論被越來(lái)越多的教育工作者應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中去，也取得了良好的教學(xué)效果.根據(jù)郭玉英教授們提出的科學(xué)概念理解發(fā)展的層級(jí)模型，利用層次復(fù)雜性、知識(shí)集成等分類(lèi)理論將學(xué)習(xí)進(jìn)階劃分為以下五個(gè)層級(jí)（見(jiàn)表1）.［2］

1.2 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)研究思路

通過(guò)參考并整理相關(guān)文獻(xiàn)，將學(xué)習(xí)進(jìn)階應(yīng)用于初高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中［3］，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論進(jìn)行教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，如圖1所示.

2 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)案例

2.1 前期分析

2.1.1 選定進(jìn)階內(nèi)容

直線與圓的位置關(guān)系是平面幾何中較為重要的章節(jié)之一，其應(yīng)用比較廣泛.初中“直線與圓的位置關(guān)系”這部分課程內(nèi)容出現(xiàn)在人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》；高中“直線與圓的位置關(guān)系”這部分課程內(nèi)容出現(xiàn)在人教A版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》.在高中此內(nèi)容的學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了直線與圓的三種位置關(guān)系并能夠定性描述出直線與圓的位置關(guān)系.高中階段將從定量計(jì)算的角度進(jìn)一步判斷直線與圓不同的位置關(guān)系，并且這一章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的提高也具有重要作用.

2.1.2 課程標(biāo)準(zhǔn)分析

初中階段采用的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是2022年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》［5］，高中階段采用的則是2017年版2020年修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》［6］.將課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比（見(jiàn)表2）.

2.1.3 教學(xué)內(nèi)容分析

同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)可分為許多學(xué)段進(jìn)行學(xué)習(xí)，將學(xué)習(xí)進(jìn)階理論應(yīng)用于“直線與圓的位置關(guān)系”的進(jìn)階研究，以此構(gòu)建不同學(xué)段的知識(shí)體系.通過(guò)對(duì)初、高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的對(duì)比分析可以得出其核心知識(shí)在于“判斷直線與圓的位置關(guān)系”（見(jiàn)表3）.

對(duì)比兩個(gè)學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容后發(fā)現(xiàn)，主要有以下幾方面的特點(diǎn).

（1）中心內(nèi)容不變.

在初中和高中教學(xué)內(nèi)容中，直線與圓的位置關(guān)系這一章節(jié)的中心內(nèi)容都以判斷直線與圓位置關(guān)系的方法為主要內(nèi)容.

（2）章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)越來(lái)越豐富.

在初中知識(shí)的基礎(chǔ)上，高中關(guān)于直線與圓位置關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容增加了運(yùn)用代數(shù)法來(lái)判斷直線與圓位置關(guān)系的重點(diǎn)知識(shí).

（3）思維水平不斷提升.

在獲得知識(shí)的過(guò)程中，掌握了判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，是由幾何向代數(shù)的進(jìn)階，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠得到一定程度的提升.

2.2 設(shè)計(jì)進(jìn)階活動(dòng)

2.2.1 確定進(jìn)階維度

在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)進(jìn)階的具體實(shí)施中，需要進(jìn)行進(jìn)階維度的確定.［4］初中階段“直線與圓的位置關(guān)系”中包括“判斷直線與圓的位置關(guān)系”“切線的性質(zhì)定理”兩點(diǎn)內(nèi)容；高中階段“直線與圓的位置關(guān)系”中包括“判斷直線與圓的位置關(guān)系”“弦長(zhǎng)的計(jì)算”兩點(diǎn)內(nèi)容.為了便于統(tǒng)一分析，將相關(guān)進(jìn)階維度確定為“判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法”這一維度.基于上述對(duì)初、高中課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容的描述，進(jìn)行進(jìn)階設(shè)計(jì).

2.2.2 構(gòu)建學(xué)習(xí)進(jìn)階

本文參考郭玉英等人建構(gòu)的科學(xué)概念理解的發(fā)展層級(jí)模型，將判斷直線與圓的位置關(guān)系方法的學(xué)習(xí)進(jìn)階劃分為五個(gè)層級(jí)水平，即經(jīng)驗(yàn)層級(jí)、映射層級(jí)、關(guān)聯(lián)層級(jí)、系統(tǒng)層級(jí)、整合層級(jí)，并對(duì)每個(gè)層級(jí)水平的學(xué)生預(yù)期學(xué)習(xí)表現(xiàn)加以描述.

（1）經(jīng)驗(yàn)層級(jí)，指學(xué)生認(rèn)知里零碎化的知識(shí)、事實(shí)經(jīng)驗(yàn)等.學(xué)生回憶在初中階段學(xué)習(xí)的直線與圓位置關(guān)系的相關(guān)概念，知道直線與圓的三種位置關(guān)系，能夠?qū)⒅本€與圓的三種位置關(guān)系以及對(duì)應(yīng)的幾何圖形聯(lián)系起來(lái).

（2）映射層級(jí)，指學(xué)生能建構(gòu)事物的具體特征與抽象術(shù)語(yǔ)之間的映射關(guān)系.在本階段要求學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)，能初步感知直線與圓的位置關(guān)系的研究方法.

（3）關(guān)聯(lián)層級(jí)，指將已知的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)與概念建立聯(lián)系.學(xué)生能夠根據(jù)之前所學(xué)習(xí)的直線的方程、圓的方程，類(lèi)比用方程研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系的方法，利用直線和圓的方程，通過(guò)定量計(jì)算研究直線與圓的位置關(guān)系.

（4）系統(tǒng)層級(jí)，指能夠掌握各概念的特點(diǎn)，建立起一系列的聯(lián)系.在本階段學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)比判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，自主地說(shuō)出兩種方法的聯(lián)系.

（5）整合層級(jí)，指將不同的概念建立起聯(lián)系，促成一套完整的知識(shí)體系.

學(xué)生能夠根據(jù)具體題目靈活地選擇并運(yùn)用判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法來(lái)解決實(shí)際題目.

結(jié)合以上分析，對(duì)每一層級(jí)水平的學(xué)生預(yù)期學(xué)習(xí)表現(xiàn)再加以解釋說(shuō)明［7］，構(gòu)建直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)進(jìn)階框架（見(jiàn)表4）.

2.3 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的直線與圓的位置關(guān)系的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

根據(jù)整理出的直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)進(jìn)階框架，以“判斷直線與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容為例，結(jié)合學(xué)習(xí)進(jìn)階教學(xué)研究思路，優(yōu)化出基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)模型，并設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程.

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課.

教師通過(guò)課件展示圖片：“海上生明月，天涯共此時(shí)”.并提出如下問(wèn)題讓學(xué)生加以思考.

問(wèn)題1 初中學(xué)過(guò)的平面幾何中，直線與圓的位置關(guān)系有幾類(lèi)？

學(xué)生之間交流討論，并說(shuō)出自己的想法.

【設(shè)計(jì)意圖】教師利用復(fù)習(xí)引出本節(jié)課題，引導(dǎo)學(xué)生思考并回憶舊知，利用學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，通過(guò)自己的思考，啟發(fā)學(xué)生回顧由圖形獲取判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

環(huán)節(jié)2：回憶舊知，夯實(shí)基礎(chǔ).

教師展示課件.

（1）請(qǐng)判斷直線x+y-2=0與圓x2+y2=1的位置關(guān)系.

（2）請(qǐng)判斷直線x+y-1=0與圓x2+y2=1的位置關(guān)系.

（3）請(qǐng)判斷直線x+y-2=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系.

結(jié)合題目，教師提出如下問(wèn)題.

問(wèn)題1 在初中，怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？

問(wèn)題2 根據(jù)上述定義，如何利用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】回憶初中階段所學(xué)習(xí)的判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考是否存在判斷直線與圓位置關(guān)系的其他方法，得出直線與圓的位置關(guān)系的幾何特征和種類(lèi)，激發(fā)出學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知.［8］

環(huán)節(jié)3：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)，探究新知.

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與圓方程的相關(guān)知識(shí).

提出問(wèn)題：在兩直線的位置關(guān)系中，如何找它們的交點(diǎn)？

學(xué)生思考后回答：聯(lián)立兩直線的方程，通過(guò)方程組實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷兩直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：在直線與圓的位置關(guān)系判定中，是否可以聯(lián)立圓與直線的方程，通過(guò)方程組實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷它們的位置關(guān)系？

學(xué)生合作交流并探究后，共同完成表5.

【設(shè)計(jì)意圖】從認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析，本章節(jié)與初中“直線與圓的位置關(guān)系”有著相似的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此在本環(huán)節(jié)，不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)舊知的鞏固與強(qiáng)化，也為新知的探究指明了方向.［9］另外，引導(dǎo)學(xué)生從初中判斷直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)出發(fā)，探究得出從代數(shù)角度判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，符合關(guān)聯(lián)層級(jí)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，這一過(guò)程有助于教學(xué)的順利進(jìn)行，也有助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善.

環(huán)節(jié)4：深化知識(shí)，突出本質(zhì).

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生利用類(lèi)比、歸納的思想，總結(jié)前面三個(gè)環(huán)節(jié)中所涉及的判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，形成一個(gè)完整的知識(shí)體系.

小組間合作交流后共同完成如下的表6.

【設(shè)計(jì)意圖】利用表6將判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法抽象提煉，使學(xué)生對(duì)于如何使用幾何法和方程法求解該問(wèn)題有了更加清晰的認(rèn)識(shí)，能夠辨析它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生達(dá)到系統(tǒng)層級(jí)的預(yù)期學(xué)習(xí)表現(xiàn).

環(huán)節(jié)5：整體把握，應(yīng)用舉例.

為加深學(xué)生對(duì)于本節(jié)課學(xué)習(xí)的“直線與圓的位置關(guān)系”的理解掌握程度，需要對(duì)結(jié)論進(jìn)行應(yīng)用.

出示例題，讓學(xué)生思考后作出分析并解答.

如圖2，已知直線l：3x+4y+2=0和圓C：x2+y2-2x=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；如果不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.

學(xué)生分析解題思路，利用不同的方法完成解答.

方法一：判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，就是看由直線l的方程與圓C的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解.

方法二：可以依據(jù)圓心C到直線l的距離d與半徑r進(jìn)行大小比較，從而判斷出直線l與圓C的位置關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生是否真正從初中階段的“幾何方法”來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)階到高中的“代數(shù)方法”.

以上以層次復(fù)雜性、知識(shí)集成等分類(lèi)理論為基礎(chǔ)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)和人教A版教材，構(gòu)造直線與圓位置關(guān)系的學(xué)習(xí)進(jìn)階，明確每一階段的學(xué)習(xí)層級(jí)及學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生整體地把握知識(shí).

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