一道拋物線中三角形的面積題的解法探析

拋物線中三角形的面積問題的難度一般較大，題目通常要求求拋物線內(nèi)部三角形的面積或取值范圍. 解答這類問題，需先根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，求得三角形底邊的長和高線長，或兩鄰邊長及其夾角；再根據(jù)三角形的面積公式求三角形的面積.那么，如何求拋物線中三角形的面積？下面我們一起進(jìn)行探討.

題目

仔細(xì)分析題意可知，直線AB與拋物線相交，且過拋物線的焦點(diǎn)，則AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，且 |AF| 為焦點(diǎn)弦，那么建立關(guān)于焦點(diǎn)弦的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.據(jù)此求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及其關(guān)系，或AB的方程，便可快速求得三角形的底邊長和高線長.

一、定義法

對于過拋物線焦點(diǎn)的問題，往往可以直接根據(jù)拋物線的定義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可以快速確定焦點(diǎn)弦的長度，據(jù)此求得弦的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形的底邊長和高線長.

解法1

解答本題，需根據(jù)拋物線的定義，得出焦點(diǎn)弦 |AF| = x1 + 1 = 3 ，據(jù)此求得 x1 、y1 、y2 .再將△AOB 拆分為△AOF 、△FOB ，求得兩個三角形的面積之和，即可求得△AOB 的面積.

解法2.

我們根據(jù)拋物線的定義得出焦點(diǎn)弦|AF|=2+3 cosθ=3、|BF|=m=2+m cos（π-θ），便可用sinθ表示出三角形的面積，從而求得問題的答案.

二、建立極坐標(biāo)系

極坐標(biāo)系是指在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系.在解答拋物線中三角形的面積問題時(shí)，可先以平面直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)或某一點(diǎn)為極點(diǎn)；再從極點(diǎn)出發(fā)引一條射線，將其作為極軸，建立極坐標(biāo)系；然后通過極坐標(biāo)運(yùn)算求得三角形的邊長、高線長.

解：

以F為極點(diǎn)、Fx為極軸建立極坐標(biāo)系，求得拋物線的極坐標(biāo)方程，即可快速求得焦點(diǎn)弦的表達(dá)式，也就能順利求得三角形的面積.

三、利用直線的參數(shù)方程

我們知道，若直線l過點(diǎn)P0（a，b），且傾斜角為θ，則直線l的參數(shù)方程為y（x）b（a）t（t）sin（cos）θ（θ），，其中|t|表示直線上的任意點(diǎn)P與P0之間的距離.我們根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可以快速確定直線上兩點(diǎn)間的距離.那么在求解拋物線中三角形的面積問題時(shí)，便可根據(jù)直線的參數(shù)方程快速求得三角形的邊長與高線長，從而輕松地求得三角形的面積.

解：

利用直線的參數(shù)方程解答圓錐曲線問題，關(guān)鍵要根據(jù)直線的參數(shù)方程中t的幾何意義來確定直線上兩點(diǎn)間的距離.運(yùn)用直線的參數(shù)方程解題可以大大減少運(yùn)算量，但是要注意把握參數(shù)與原自變量之間的關(guān)系.

四、向量法

向量法也是解答解析幾何問題的重要方法.在運(yùn)用向量法解題時(shí)，要先給圖形中的線段賦予方向，將題目中的幾何關(guān)系用向量表示出來；然后通過向量運(yùn)算來求得各條線段的長、線段之間的夾角，就可以直接利用三角形的面積公式S=求得三角形的面積.

解：

求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，就能得到 OA 、 OB 的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得 OA 、 OB 的夾角，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式 S = 1 2 × |ab| × sin a，b求得 ΔAOB 的面積.

五、排除法

對于選擇題，為了能夠加快解題的速度，往往可以利用排除法來解題.排除不滿足題意的選項(xiàng)，就能找到正確的答案.這樣就可以避免繁瑣的運(yùn)算，提升解題的效率.

解：

我們從一些特殊的情況入手，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)來求得 SΔAOF ，便可根據(jù)圖形中 B 點(diǎn)的位置，確定 SΔAOB gt; SΔAOF ，進(jìn)而排除ABD三個選項(xiàng).

可見，解答拋物線中三角形的面積問題的方法很多，我們從不同的知識點(diǎn)，如向量、直線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)、拋物線的定義等入手，可以尋找到不同的解題思路.但無論運(yùn)用哪種方法解題，同學(xué)們都要有目標(biāo)意識，根據(jù)所求目標(biāo)去尋找所需的條件和依據(jù)，這樣才能有效地提升解題的效率.