解答含參不等式恒成立問(wèn)題的幾個(gè)措施

含參不等式恒成立問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性.這類問(wèn)題的命題形式多樣，難度較大，常作為壓軸題的形式出現(xiàn)在各類試題中.對(duì)這類問(wèn)題，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去尋找解題的思路.下面結(jié)合實(shí)例，談一談解答這類問(wèn)題的幾個(gè)措施.

一、利用判別式法

對(duì)于含有參數(shù)的一元二次不等式問(wèn)題，可把不等式化成一元二次方程，根據(jù)對(duì)一切實(shí)數(shù)R不等式都恒成立，利用根的判別式來(lái)建立關(guān)于參數(shù)的不等式.一般地，對(duì)于二次函數(shù)f（x）=a2x+bx+c（a≠0，x∈R），（1）若f（x）gt;0對(duì)任意x∈R恒成立，則agt;0，Δlt;0；（2）若f（x）lt;0對(duì)任意x∈R恒成立，則alt;0，Δlt;0.

例1.已知不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4lt;0對(duì)任意x∈R恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

解：要使（a-2）x2+2（a-2）x-4lt;0對(duì)任意x∈R恒成立，

需使4（a）2（lt;））2（0）16（a-2）lt;0，或??（ì?）a2 0，

解得-2lt;a≤2.

所以a的取值范圍為-2lt;a≤2.

由于二次項(xiàng)的系數(shù)中含有參數(shù)，所以要考慮系數(shù)為0和不為0的情況.值得注意的是，如果二次不等式中x的取值范圍不是一切實(shí)數(shù)，或二次項(xiàng)的系數(shù)為0，則不能用判別式法來(lái)求解，需通過(guò)討論根的分布情況來(lái)解題.

二、采用函數(shù)最值法

通常，我們可以將含參不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.在某個(gè)定義域內(nèi)，（1）若f（x）gt;0恒成立，則可轉(zhuǎn)化為f（x）mingt;0；（2）若f（x）lt;0恒成立，則可轉(zhuǎn)化為f（x）maxlt;0；（3）若f（x）gt;g（x）恒成立，則可轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）mingt;0；（4）若f（x）lt;g（x）恒成立，則可轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）maxlt;0；（5）若f（x1）gt;g（x2）恒成立，則可轉(zhuǎn)化為f（x）mingt;g（x）max；（6）若f（x1）lt;g（x2）恒成立，則可轉(zhuǎn)化為f（x）maxlt;g（x）min.

例2.（2023年新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=a（ex+a）-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)agt;0時(shí)，f（x）gt;2 lna+

解：（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)agt;0時(shí)，f（x）在-∞，ln上單調(diào)遞減，在ln，+∞上單調(diào)遞增；（過(guò)程略）

（2）由（1）可知，當(dāng)agt;0時(shí)，f（x）min=f（ln）=a（+a）-ln=1+a2+lna.

要證f（x）gt;2 lna+，

需證1+a2+lnagt;2 lna+，

即證a2-lna-gt;0，

設(shè)g（a）=a2-lna-，agt;0，

則g′（a）=2a-，由g′（a）=2a-=0得a=，

當(dāng)a∈0，時(shí)，g′（a）lt;0，則g（a）單調(diào)遞減；

當(dāng)a∈，+∞時(shí)，g′（a）gt;0，則g（a）單調(diào)遞增，

所以g（a）≥g=-lngt;0，

所以a2-lna-gt;0，即f（x）gt;2 lna+.

運(yùn)用函數(shù)最值法解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f（x1）、g（x2）來(lái)說(shuō)，需分別求其最大值、最小值，構(gòu)建確保使不等式恒成立的不等式.

三、分離參數(shù)

對(duì)于某些含有參數(shù)的不等式，若能通過(guò)恒等變形把參數(shù)分離出來(lái)，則可以使用分離參數(shù)法來(lái)解題.即使得不等式的一邊只含有參數(shù)，另一邊只含有變量，然后運(yùn)用基本不等式、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的性質(zhì)等求含有變量的式子的最值，使得 g（a）gt; f （x）max ，則可確保 f （x）lt; g（a） （a 為參數(shù)）恒成立；（2）g（a）lt; f （x）min ，則可確保 f （x）gt; g（a） （a為參數(shù)）恒成立.

例3

解

不等式 ae x - 1 x gt; 0 中含所有參數(shù)，將其變形可得 a ≥ 1 xe x ，即可將參數(shù)分離出來(lái).再研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，只要確保 a ≥ ? è ? ? ? ÷ 1 xe x max ，即可求得a的取值范圍.

四、變更主元

有些含參不等式恒成立問(wèn)題中給出了一個(gè)參數(shù)的取值范圍，要求另一個(gè)參數(shù)或者變量的取值范圍，此時(shí)可采用變更主元法，將已告知范圍的參數(shù)視為主元、其他參變量視為輔元，構(gòu)造關(guān)于新主元的函數(shù)、方程、不等式，利用函數(shù)、方程、不等式的性質(zhì)來(lái)解題.

例4

解：

將a視為主元，并構(gòu)造函數(shù) g（a） ，即可將二次不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問(wèn)題，利用一次函數(shù)的性質(zhì)快速解題.

五、數(shù)形結(jié)合

函數(shù)和不等式有著密切的聯(lián)系.在解答含參不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，可先根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 f （x）gt; 0、f （x）lt; 0、f （x）gt; g（x）、f （x）lt; g（x） 等；然后畫出函數(shù)的圖象，尋找各個(gè)圖象的最值點(diǎn)，找出圖象之間的臨界點(diǎn)——切點(diǎn)、交點(diǎn)等，求得各點(diǎn)的坐標(biāo)以及最值，建立使不等式恒成立的式子即可解題.

例5

解

用“形”助“數(shù)”，利用圖象直觀地呈現(xiàn)出函數(shù)之間的關(guān)系和函數(shù)的性質(zhì)，可讓解題更高效.

總之，解答含參不等式恒成立問(wèn)題，可以從“數(shù)” 的角度去尋找解題的方法，如采用變更主元法、分離參數(shù)法、函數(shù)最值法、判別式法等；也可以從“形”的角度去尋找解題的思路，如數(shù)形結(jié)合.對(duì)于一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)需同時(shí)運(yùn)用兩種或兩種以上的方法，才能使問(wèn)題順利獲解.同學(xué)們需積累解題的經(jīng)驗(yàn)，以提升解題的效率.