從思考的起點(diǎn)走向發(fā)展

摘 要：新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要重視單元整體教學(xué)，優(yōu)化習(xí)題設(shè)計(jì).在核心素養(yǎng)視角下，單元作業(yè)能促進(jìn)知識(shí)的連結(jié)和思考的深入.對(duì)于二年級(jí)《數(shù)學(xué)廣角——搭配（一）》的單元作業(yè)設(shè)計(jì)，厘清學(xué)生思考起點(diǎn)，促使產(chǎn)生增量思維，多元賦能思維發(fā)展，使思考從起點(diǎn)走向發(fā)展.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧鳂I(yè)設(shè)計(jì)；思維能力；分類思想

近年來，作業(yè)設(shè)計(jì)往往存在功能單一、結(jié)構(gòu)分配不合理、沒有差異性設(shè)計(jì)等問題.新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教師要重視單元整體教學(xué)，優(yōu)化習(xí)題設(shè)計(jì)，這也提示我們不僅要做有效的課堂，也要做有效的練習(xí).小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，單元作業(yè)是學(xué)生鞏固知識(shí)的一種重要手段，單元作業(yè)可以是對(duì)本單元的系統(tǒng)梳理，可以是一份試卷、一組題目，也可以是一項(xiàng)實(shí)踐性作業(yè).在核心素養(yǎng)視角下，單元作業(yè)能促進(jìn)知識(shí)的連結(jié)和思考的深入.探究單元作業(yè)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)一份具有整體性、結(jié)構(gòu)性和應(yīng)用性的練習(xí)，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，使思考從起點(diǎn)走向發(fā)展.接下來以人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)》中《數(shù)學(xué)廣角——搭配（一）》（以下簡(jiǎn)稱《搭配》）作業(yè)設(shè)計(jì)為例展開闡述.

1 厘清起點(diǎn)，精準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)問題

制定精準(zhǔn)合理的考查目標(biāo)是提高單元作業(yè)有效性的關(guān)鍵.本份單元作業(yè)到底能考查學(xué)生哪些知識(shí)和能力.單元作業(yè)能給學(xué)生些什么.作業(yè)怎樣設(shè)計(jì)才能體現(xiàn)多效作用.這一切都要先厘清思考的起始點(diǎn)在哪里.

1.1 研讀教材，體會(huì)編排意圖

教材是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，研讀教材的指導(dǎo)思想和編排意圖，可以讓單元作業(yè)的考察更準(zhǔn)確.在人教版數(shù)學(xué)課本中，教材分兩次安排了排列與組合的內(nèi)容，第一次是在人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第八單元，第二次是在人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第八單元.

經(jīng)過對(duì)教材內(nèi)容及課堂作業(yè)本題目的對(duì)比，這兩次的教學(xué)內(nèi)容似乎并沒有明確的界限，二年級(jí)的搭配個(gè)數(shù)也有4個(gè)、5個(gè)物品的，搭配方法也是相同的，那二年級(jí)的側(cè)重點(diǎn)究竟在哪里呢？筆者認(rèn)為二年級(jí)的側(cè)重點(diǎn)可能在方法的初步滲透上，逐步培養(yǎng)學(xué)生有序、全面的思考意識(shí)，初步體驗(yàn)其形式之美和思考之順.

1.2 課前測(cè)試，探查思考起點(diǎn)

二年級(jí)的學(xué)生在生活中已經(jīng)有豐富的“搭配”經(jīng)驗(yàn)，如在日常生活中衣物的搭配、足球比賽場(chǎng)次的設(shè)定等，在加法題目練習(xí)中，也滲透過搭配的意識(shí).那學(xué)生對(duì)“搭配”了解多少？能否有序“搭配”？筆者對(duì)自己班級(jí)做了一份課前測(cè)試，測(cè)試情況見表1.

通過前測(cè)的數(shù)據(jù)，可以看出，近一半同學(xué)具有有序搭配的思考能力.但有序并完整搭配的學(xué)生中，沒有可以用兩種方法做出來的，所以對(duì)排列的熟練應(yīng)用和思考的靈活性也是要突破的重點(diǎn).無序但完整搭配的同學(xué)有6位，學(xué)生雖然對(duì)“搭配”具備一定的經(jīng)驗(yàn)，但并不太了解它背后的規(guī)律，這些同學(xué)多種方法混在一起，思維沒有厘清，可以預(yù)見，當(dāng)排序的基數(shù)變大時(shí)，這部分同學(xué)很可能出現(xiàn)遺漏.還有學(xué)生誤以兩兩組合來解決排列問題的，這類同學(xué)提示我們，弄清楚排列的順序?qū)Y(jié)果有無影響這一知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生《搭配》單元的學(xué)習(xí)也意義重大.

1.3 定位考點(diǎn)，找準(zhǔn)思考方向

單元作業(yè)設(shè)計(jì)是檢驗(yàn)本單元教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成的重要因素.單元作業(yè)設(shè)計(jì)要遵循思維螺旋上升原則，將考查目標(biāo)分為由淺入深的不同等級(jí)，并從低階目標(biāo)不斷向高階目標(biāo)進(jìn)階，進(jìn)而有效梳理知識(shí)脈絡(luò)、引導(dǎo)學(xué)生掌握重難點(diǎn)（如圖1）．

2 循思漸進(jìn)，搭建思維階梯

從學(xué)生的作業(yè)來看，對(duì)于最基礎(chǔ)的題目，大部分同學(xué)已經(jīng)能夠有序、全面地搭配，當(dāng)然其中有一部分同學(xué)是機(jī)械記憶，勉強(qiáng)可以寫出所有情況.但題目稍稍變化，很多同學(xué)就不知所措，有一些開始無序搭配，甚至有一些分不清楚是排列問題還是組合問題.由此，筆者深入思考學(xué)生思維斷層點(diǎn)，找準(zhǔn)學(xué)生搭配問題的銜接點(diǎn)，搭建思維發(fā)展的階梯.

2.1 溝通聯(lián)系，在比較中辨析不同

二年級(jí)學(xué)生對(duì)于排列問題和組合問題的認(rèn)知處于較淺層次，而排列問題和組合問題又有著密不可分的關(guān)系，這導(dǎo)致部分學(xué)生在做練習(xí)時(shí)，存在搞不清楚到底是排列還是組合問題的狀況.根據(jù)深度學(xué)習(xí)理念，在教學(xué)《搭配》單元時(shí)，可以將知識(shí)聯(lián)系起來，打破排列、組合間的壁壘，在對(duì)比溝通中求同存異才能感悟概念本質(zhì)，理解它們的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生認(rèn)清知識(shí)本質(zhì)（如圖2）.

例1 用2、6、8三張數(shù)字卡片擺成兩位數(shù)，有（ ）種可能，其中最大的是（ ），最小的是（ ）.

例2 用2、6、8三張數(shù)字卡片選取兩個(gè)數(shù)求積，有（ ）種可能，其中最大的是（ ），最小的是（ ）.

對(duì)此，教師在設(shè)計(jì)《搭配》單元作業(yè)時(shí)完成對(duì)排列、組合問題本質(zhì)的抽象表達(dá)后，還可以通過題目橫向?qū)Ρ龋罨瘜W(xué)生對(duì)搭配的理解，通過將排列與搭配聯(lián)系起來，幫助學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分兩者.因此，教師可以把下面各題一起呈現(xiàn)，讓學(xué)生分成兩類，說說會(huì)怎么分，這樣分的理由.在比較辨析中促進(jìn)學(xué)生理解，以原有知識(shí)助力理解新知，在排列、組合之間建立明確的聯(lián)系，并以此為紐帶，緊密串聯(lián)起一個(gè)單元的知識(shí)及題目.

例3 如圖2，張老師有三袋不同的糖果，要選出其中的兩袋分給小明和小紅各一袋，有多少種不同的分法？

例4 如圖3，商店有三種不同的糖果，可麗麗帶的錢只夠買其中的任意兩種，你知道麗麗有幾種選擇嗎？

例5 如圖4，三個(gè)小朋友約好一起去玩游戲，他們先玩了老鷹抓小雞，有幾種排法？

例6 如圖5，幾個(gè)人玩累了后，坐下玩五子棋，每?jī)扇艘痪?，一共玩了幾局?/p>

例7 如圖6，軍軍從家到體育館要經(jīng)過學(xué)校，從家到體育館一共有（ ）條不同的路線.

例8 如圖7，下面有3個(gè)點(diǎn)，連接其中任意兩個(gè)點(diǎn)就能形成一條線段.畫一畫.一共可以形成多少條線段？再增加一個(gè)點(diǎn)，會(huì)增加哪些線段？

2.2 思維可視，在積累中建構(gòu)模型

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，知識(shí)與技能的理解和掌握是重要的，而充分體會(huì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、抽象、概括的過程，對(duì)學(xué)生長(zhǎng)久發(fā)展抽象思維能力更有意義.

所以在完成題目時(shí)，可以要求學(xué)生盡量把思考過程動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出來，將直觀形象與抽象推理有機(jī)融合，即時(shí)生成豐富的教學(xué)素材，同時(shí)清楚地展現(xiàn)了學(xué)生的思考過程.而同學(xué)們的表征必定不會(huì)完全相同，有簡(jiǎn)約清晰的，也會(huì)有煩瑣冗雜的.可以先用學(xué)生自己的方式畫出示意圖，再引導(dǎo)學(xué)生看懂別人的想法，體會(huì)不同表征方式從繁至簡(jiǎn)，從具體到抽象的演變過程，體會(huì)不同題目適用不同的表征方式，不同的表征方式所蘊(yùn)含的不同思維價(jià)值，在腦海中初步建構(gòu)搭配模型的雛形.

2.3 歸類關(guān)聯(lián)，在重構(gòu)中由表及里

分類思想在組合問題中有所體現(xiàn)，在排列問題中，也十分需要分類思想，比如常用的固定十位法，固定十位其實(shí)就是將十位的情況進(jìn)行分類，排列問題也是在有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)下再進(jìn)行搭配的.分類在前，搭配在后，重新建構(gòu)對(duì)搭配的認(rèn)知，讓復(fù)雜的搭配問題簡(jiǎn)單化.

筆者認(rèn)為《搭配》單元有對(duì)情況分類和對(duì)物品分類這兩種常見分類方法.例如，人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)》中練習(xí)二十四的一道題目就是對(duì)情況分類進(jìn)行.

如圖8，從下面3枚硬幣中取硬幣，一共可以取出多少種不同的錢數(shù)？

這種題目需要先對(duì)情況進(jìn)行分類，即按1枚、2枚、3枚三類情況分類，然后再進(jìn)行搭配，最后幫助學(xué)生感受分類研討的好處，體會(huì)分類研討在日常生活中的應(yīng)用.

對(duì)搭配的物品先進(jìn)行分類，筆者準(zhǔn)備了如下練習(xí).

如圖9，二（1）班要組織元旦節(jié)目，王老師打算從下面同學(xué)中選男、女節(jié)目主持人各一名，你認(rèn)為一共有多少種不同的選法？（用序號(hào)把選法表示出來）

本題變換了簡(jiǎn)單的衣服搭褲子、主食配飲料等直接用連一連解決的組合問題，需要先按題目要求進(jìn)行分類，再組合.本題不但考查學(xué)生的思維的全面性、嚴(yán)密性，而且為解決更復(fù)雜的類似問題提供了思路.

3 延伸思維，培養(yǎng)思考意識(shí)

3.1 變中相通，讓“新知識(shí)”生長(zhǎng)“新高度”

在教學(xué)幣值問題時(shí)，相似的方法總會(huì)讓我想到數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長(zhǎng)方形等題目，在課上順便講一講，一部分學(xué)生也很快就發(fā)現(xiàn)了其中的相似點(diǎn).但幣值問題和上述問題又有不同，一個(gè)是離散的模型，一個(gè)是連續(xù)的模型.比如在數(shù)線段時(shí)（如圖11），有甲、乙、丙三段線段，雖然也是分為以下三類：①由一段基礎(chǔ)線段組成；②由兩段基礎(chǔ)線段組成；③由三段基礎(chǔ)線段組成，但由兩段基礎(chǔ)線段組成時(shí)，只能是兩個(gè)連在一起的線段，像幣值問題中的甲+丙這種離散的情況，在連續(xù)的事物中，找不到實(shí)際的意義.

教學(xué)搭配問題，能解決數(shù)量更多的搭配問題，能寫的越來越快、正確率高，僅僅這些就是增量思維嗎？有沒有更值得深究的內(nèi)容呢？筆者認(rèn)為，能凸顯數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生增加思考深度和遷移、比較能力，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，或許可以成為搭配單元的增量思維.

3.2 類化融通，讓“凝滯處”走向“巧思處”

經(jīng)過抽象、分類，學(xué)生對(duì)搭配問題已經(jīng)有深刻的理解，但如果停步不前，學(xué)生對(duì)搭配的理解只會(huì)凝滯于淺層思考.筆者認(rèn)為，可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用腦海中初步形成的搭配模型解決其他數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生“既見樹木，又見森林”.比如可以請(qǐng)學(xué)生嘗試編題（如圖11），將課內(nèi)延伸到生活，想一想生活中哪些問題中也有搭配問題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.

在日常生活中，足球乒乓球等比賽場(chǎng)次的設(shè)定、密碼箱的密碼、買文具、電話號(hào)碼、紙牌游戲……其中都有搭配的身影，請(qǐng)你嘗試自己編一道搭配的題目

3.3 由點(diǎn)及面，讓“知識(shí)點(diǎn)”逐步“系統(tǒng)化”

零散的知識(shí)點(diǎn)，沒有形成知識(shí)體系，容易導(dǎo)致思考問題片面化.思維的延伸可以幫助學(xué)生構(gòu)建起知識(shí)的框架，構(gòu)建自己的知識(shí)體系.可以讓學(xué)生做一份本單元的思維導(dǎo)圖，自主梳理搭配知識(shí).在三年級(jí)的第二次搭配學(xué)習(xí)中，可以抓住新舊知識(shí)之間的連接點(diǎn)，把新學(xué)的知識(shí)融入原有的認(rèn)知系統(tǒng)中，保證知識(shí)前后的連貫性.

4 結(jié)語

學(xué)習(xí)之路漫漫，《搭配》單元只是其中的一塊小磚石，但依舊可以感受有序思考的力量、分類思想的便捷，讓學(xué)生從思考的起點(diǎn)走向發(fā)展，用光照亮前路.

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