二階非線性拋物方程的B樣條有限元法

摘要： 首先， 用二次B樣條有限元法求解Fisher-Kolmogorov（FK）方程， 證明半離散格式與全離散格式解的穩(wěn)定性與收斂性; 其次， 用Crank-Nicolson方法離散時間變量， 得到近似解的收斂階為O（（Δt）2+h3）; 最后， 用數(shù)值算例驗證了理論分析結(jié)果及B樣條有限元法的有效性.

關(guān)鍵詞： Fisher-Kolmogorov方程; 二次B樣條有限元法; 穩(wěn)定性; 收斂性

中圖分類號： O241.82" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0878-08

B-Spline Finite Element Method of Second OrderNonlinear Parabolic Equation

QIN Dandan1， WANG Daming1， HUANG Wenzhu2

（1. Department of Foundation， Aviation University of Air Force， Changchun 130022， China;

2. School of Biology and Engineering， Guizhou Medical University， Guiyang 550025， China）

Abstract： Firstly， we uesd the quadratic B-spline finite element method to solve the Fisher-Kolmogorov （FK） equation， and proved the stab

ility and convergence of solutions for the semi-discrete scheme and the fully discrete scheme. Secondly， the time variable was discretized by using the Crank-Nicolson method a

nd the convergence order of the approximate solution was O（（Δt）2+h3）. Finally， the numerical example verified theoretical analysis results and the effectiveness of the B-spline finite element method.

Keywords： Fisher-Kolmogorov equation; quadratic B-spline finite element method; stability; convergence

B樣條是具有緊支集的分段多項式函數(shù)， 由于其只有一種類型的基函數(shù)， 因此有限元剛度矩陣對稱稀疏且規(guī)模小于Lagrange和Hermite型有限元， 從而節(jié)省存儲空間， 提高計算速度. 此外， B樣條的光滑性優(yōu)于Lagrange和Hermite型函數(shù). 基于上述因素， B樣條常被選為有限元基函數(shù)［1-4］.

本文討論Fisher-Kolmogorov（FK）方程［5-6］的二次B樣條有限元法， FK方程研究了生物種群擴散與適應間的相互關(guān)系， 形如：

ut-Δu+u3-u=0，" （x，t）∈Ω×（0，T］.

文獻［7］和文獻［8］將四階導數(shù)項加入FK方程得到了擴展的Fisher-Kolmogorov（EFK）方程.

1 半離散格式

考慮FK方程的初邊值問題：

ut-uxx+u3-u=0，（x，t）∈（0，1）×（0，T），u（0，t）=u（1，t）=0，t∈（0，T），

u（x，0）=u0（x），x∈（0，1）.（1）

記I=［0，1］， Du=ux， 則問題（1）的變分形式是： 求u=u（·，t）∈H10（I）（0≤t≤T） ， 滿足

（ut，v）+（Du，Dv）+（u3-u，v）=0，v∈H10（I），u（x，0）=u0（x），x∈I.（2）

整數(shù)節(jié)點的二次B樣條函數(shù)表達式為

B2（x）=12x2，x∈［0，1］，-x2+3x-32，x∈［1，2］，

12（x-3）2，x∈［2，3］，0，其他.

取均勻剖分0=x0lt;x1lt;…lt;xL=1， 在左右端點外分別引入虛擬節(jié)點x-2，x-1和xL+1，xL+2. 令φi（x）=B2x-xih

， 得到以{xi}為節(jié)點的B樣條. 為處理零邊值條件， 用線性變換修正基函數(shù)得到{2φ-2（x），φ-1（x）-φ-2（x），φ0（x），…，φ

L-3（x），φL-2（x）-φL-1（x），2φL-1（x）}， 修正后的函數(shù)為有限元空間Uh的基函數(shù)， 仍記為{φi（x）}. 問題（1）的近似解uh（x，t）∈Uh表示為

uh（x，t）=∑L-2i=-1μi（t）φi（x），

其中μi（t）是時間變量的函數(shù). uh∈C（1）且uh（0，t）=uh（1，t）=0， 所以UhH10（I）.

問題（2）的B樣條有限元半離散格式是： 求uh=uh（·，t）∈Uh（0lt;t≤T）， 滿足

（uh，t，vh）+（Duh，Dvh）+（u3h-uh，vh）=0，vh∈Uh，

（uh（x，0），vh）=（u0h（x），vh），vh∈Uh.（3）

引入雙線性投影算子Rh： H10→Uh， 滿足

a（u-Rh u，vh）=（D（u-Rh u），Dvh）=0，" vh∈Uh，（4）

則式（4）的解Rhu唯一確定. 假設弱形式（2）的解u∈H3（I）， 則有如下估計［9］：

‖u-Rhu‖+h‖u-Rhu‖1≤Ch3‖u‖3.（5）

本文分別用‖·‖，‖·‖1，‖·‖3，‖·‖L4表示L2，H1，H3，L4范數(shù).

定理1 對于u0h∈H10（I）∩L4（I）， 半離散問題（3）存在唯一解uh∈Uh， 滿足

‖uh‖1≤C‖u0h‖1，" 0≤t≤T，（6）

其中正常數(shù)C與T有關(guān)， 與空間步長h無關(guān).

證明： 在半離散問題（3）中， 取vh=uh得

12ddt‖uh‖2+‖Duh‖2+‖uh‖4L4≤‖uh‖2.（7）

顯然， ddt‖uh‖2≤2‖uh‖2， 求解后有ddt（e-2t‖uh‖2）≤0，

說明e-2t‖uh‖2單調(diào)遞減， 因此有‖uh‖2≤e2t‖u0h‖2≤e2T‖u0h‖2（0≤t≤T）， 即在L2模下半離散問題的解有界：

‖uh‖2≤C‖u0h‖2，" 0≤t≤T.（8）

對式（7）關(guān)于時間變量t積分得

‖uh‖2-‖u0h‖2+2∫t0‖Duh‖2dt≤2∫t0‖uh‖2dt.

又由式（8）知

∫t0‖Duh‖2dt≤C‖u0h‖2.（9）

在式（3）中， 令vh=uh，t， 則

‖uh，t‖2+12ddt‖Duh‖2+（u3h-uh，uh，t）=0.（10）

定義能量函數(shù)

Eh（t）=12‖Duh‖2+14（（1-uh2）2，1）.（11）

對Eh（t）關(guān)于時間變量t求導， 得

ddtEh（t）=（Duh，Duh，t）+（u3h-uh，uh，t）.

由式（10）可推出ddtEh（t）=-‖uh，t‖2. 可見， Eh（t）單調(diào)遞減， 即Eh（t）≤Eh（0）. 由定義式（11）知

12‖Duh‖2+14‖uh‖4L4-12‖u

h‖2≤12‖Du0h‖2+14‖u0h‖4L4-12‖u0h‖2.

再由式（8）可得

12‖Duh‖2+14‖uh‖4L4+12‖u0h‖2

≤12‖Du0h‖2+14‖u0h‖4L4+C2‖u0h‖2，

整理后得

‖Duh‖2 ≤‖Du0h‖2+12‖u0h‖4L4+C‖u0h‖2.

從而得到了近似解的H1半模有界性：

‖Duh‖2≤C‖Du0h‖2，" 0≤t≤T，（12）

這里正常數(shù)C與空間步長無關(guān). 由式（8）和式（12）知式（6）成立. 證畢.

定理2 設u和uh分別是弱形式（2）和半離散問題（3）的解， 并且有u0∈H3（I）， u，ut∈L2（0，T;H3（I）），

則當0≤t≤T時， 數(shù)值解的L2模有如下誤差估計：

‖u-uh‖≤‖u0-u0h‖+Ch3‖u0‖23+∫t0（‖u‖23+‖ut‖23）dτ1/2，（13）

其中正常數(shù)C與步長h無關(guān).

證明： 記θ（t）=Rhu-uh， ρ（t）=u-Rhu， 則u-uh=θ（t）+ρ（t）， 只估計‖θ（t）‖. 由式（2）～（4）得

（θt，vh）+（Dθ，Dvh）=-（u3-u3h，vh）+（u-uh，vh）-（ρt，vh）.（14）

在式（14）中， 取vh=θ， 則

12ddt‖θ‖2+‖Dθ‖2≤-（u3-u3h，θ）+（θ+ρ，θ）+（ρt，θ）.

由Sobolev空間嵌入定理知， H1（I）L∞（I）， 則u∞≤C‖u‖1， uh∞≤C‖uh‖1. 由ε-不等式知

-（u3-u3h，θ）=-（（u2+uuh+uh2）θ，θ+ρ）≤u2+uuh+uh2∞·‖θ‖·‖θ+ρ‖≤C‖θ‖（‖θ+ρ‖）≤C（‖θ‖2+‖ρ‖2）.（15）

此外， 易得

（θ+ρ，θ）≤C（‖θ‖2+‖ρ‖2），" （ρt，θ）≤C（‖ρt‖2+‖θ‖2）.（16）

由式（15），（16）可知

12ddt‖θ‖2+‖Dθ‖2≤C（‖θ‖2+‖ρ‖2+‖ρt‖2）.

根據(jù)連續(xù)的Gronwall定理知

‖θ‖2≤C‖θ（0）‖2+∫t0（‖ρ‖2+‖ρt‖2）dτ.（17）

由三角不等式得

‖θ（0）‖=‖u0-u0h+Rhu0-u0‖≤‖u0-u0h‖+‖ρ（0）‖，（18）

所以當0≤t≤T時， 聯(lián)立式（5），（17），（18）知式（13）成立. 證畢.

定理3 設u是變分形式（2）的解， uh是半離散問題（3）的解， u0∈H3（I）， u，ut∈L2（0，T;H3（I））， 則近似解的誤差估計如下：

u-uh1≤u0-u0h1+Ch2‖u0

‖23+h2∫t0（‖u‖23+‖ut‖23）dτ1/2，（19）

這里正常數(shù)C與步長h無關(guān).

證明： 在式（14）中， 選取vh=θt， 則

‖θt‖2+（Dθ，Dθt）=-（u3-u3h，θt）+（u-uh，θt）-（ρt，θt）.

結(jié)合導數(shù)運算性質(zhì)和Cauchy不等式， 可得

‖θt‖2+12ddt‖Dθ‖2≤

2‖u3-u3h‖2+2‖u-uh‖2+2‖ρt‖2+38‖θt‖2.

由Sobolev空間嵌入定理知

‖u3-u3h‖=‖（u2+uuh+u2h）（u-uh）‖≤（u2∞+u∞uh∞+uh2∞）‖u-uh‖≤C（‖θ‖+‖ρ‖），

進而得

‖θt‖2+12ddt‖Dθ‖2≤C（‖θ‖2+‖ρ‖2+‖ρt‖2）+38‖θt‖2.（20）

對式（20）積分后有

‖Dθ‖2≤‖Dθ（0）‖2+C∫t0（‖θ‖2+‖ρ‖2+‖ρt‖2）dτ.（21）

再由三角不等式可得

‖Dθ（0）‖≤‖Du0-Du0h‖+‖DRhu0-Du0‖.（22）

聯(lián)立式（21）和式（22）， 得到近似解的誤差估計式（19）. 證畢.

2 全離散格式

問題（2）的Crank-Nicolson全離散格式為： 求unh=uh（x，tn）∈Uh （n=1，2，…，N）， 滿足

（tunh，vh）+Dunh+Dun-1h2，Dvh+H（unh）-H（un-1h）

unh-un-1h，vh=0，（23）

其中N為時間剖分數(shù)， Δt=T/N， tn=nΔt，" tunh=（unh-un-1h）/Δt，

H（unh）=14（1-unh2）2.（24）

定理4 設u0h∈H10（I）∩L4（I）， 則全離散問題（23）存在唯一解unh， 且滿足

‖unh‖1≤C‖u0h‖1，" 0≤t≤T，（25）

其中C是依賴于T的正常數(shù).

證明： 由式（24）可得非線性項的等價變形

H（unh）-H（un-1h）unh-un-1h=" 14（unh+un-1h）（unh2+un-1h2）-12（unh+un-1h）=" 14（（unh）3+unh2un-1h

+unhun-1h2+（un-1h）3）-12（unh+un-1h）.（26）

先在式（23）中， 取vh=unh+un-1h， 有

1Δt（‖unh‖2-‖un-1h‖2）+" 12‖Dunh+Dun-1h‖2

+14（（unh+un-1h）2，unh2+un-

1h2）=" 12‖unh+un-1h‖2，

進一步有

1Δt（‖unh‖2-‖un-1h‖2）≤12‖unh+un-1h‖2≤‖unh‖2+‖un-1h‖2.

整理后得遞推關(guān)系式：

‖unh‖2≤1+Δt1-Δt‖un-1h‖2

≤…≤1+Δt1-Δtn‖u0h‖2.

如果Δt足夠小且nΔt≤T， 則全離散問題的解在L2模下有界：

‖unh‖2≤exp2T1-Δt‖u0h‖2≤C‖u0h‖2.（27）

在式（23）中， 令vh=tunh， 可得

‖tunh‖2+12Δt（（Dunh2-Dun-1h2），1）+1Δt（H（unh）-H（un-1h），1）=0.

易見

12Dunh2+H（unh），1≤12Dun-1h2+H（un-1h），1.（28）

聯(lián)合式（24），（27），（28）知

‖Dunh‖≤C‖Du0h‖.（29）

從而由式（27）和式（29）可得全離散問題解的穩(wěn)定性式（25）. 證畢.

定理5 設un是問題（2）的解， unh是全離散問題（23）的解， u（0）∈H3（I）， ut∈L2（0，T;L4（I））∩L2（0，T;H3（I）），

uttt∈L2（0，T;L2（I））， 則全離散問題解的誤差估計如下：

‖un-unh‖≤" C（‖u0-u0h‖+h3‖u0‖3+（（Δt）2+h

3）×" ∫tn0（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）1/2dt），（30）

其中C與時間步長Δt和空間步長h無關(guān).

證明： 在問題（2）中， 分別取t=tn-1和t=tn可得

unt+un-1t2，vh+Dun+Dun-12，Dvh

+（un）3+（un-1）3-un-un-12，vh=0.（31）

為方便， 引入記號

F（un，un-1，unh，un-1h）=（un）3+（un-1）3-un-un-12-H（unh）-

H（un-1h）unh-un-1h.（32）

聯(lián)立式（31），（32），（23）得

unt+un-1t2-tunh，vh+Dun+Dun-1-Dunh-Dun-1h2，Dvh+（F（un，un-1，unh，un-1h），vh）=0.

記ρn=un-Rhun， θn=Rhun-unh， 則‖un-unh‖≤‖ρn‖+‖θn‖. 利用式（4）可得

（tθn，vh）+12（Dθn+Dθn-1，Dvh）=（rn，vh）-（F（un，un-1，unh，un-1h），vh），（33）

其中rn=tRhu（tn）-tun+t un-unt+un-1t2. 在式（33）中取vh=θn+θn-1， 由ε-不等式可知

1Δt（‖θn‖2-‖θn-1‖2）+12‖Dθn+Dθn-1‖2

≤" 12‖θn+θn-1‖2+‖rn‖2+" ‖F(xiàn)（un，un-1，unh，un-1h）‖2.（34）

首先， 估計‖F(xiàn)（un，un-1，unh，un-1h）‖2. 直接計算得

‖F(xiàn)（un，un-1，unh，un-1h）‖=" 12（（un）3+（un-1）3）-14（un+un-1）（un2+un-12）+" 14（un+un-1）（un2+u

n-12）-14（unh+un-1h）（unh2+un-1h2）

-" 12（un+un-1）+12（unh+un-1h）.

利用微積分基本公式和Hlder不等式可知

‖un-un-1‖2=∫tntn-1ut（t）dt2≤Δt∫tntn-1‖ut（t）‖2dt.（35）

由Sobolev空間嵌入定理和式（35）得

12（（un）3+（un-1）3）-14（un+un-1）（un2+un-12）

="""" 14‖（un）3-un2un-1-unun-12+（un-1）3‖

=14‖（un+un-1）（un-un-1）2‖≤"""" 14（un∞+un-1

∞）‖（un-un-1）2‖≤CΔt∫tntn-1‖ut（t）‖2dt.（36）

此外， 還可得

‖（un+un-1）（un2+un-12）-（unh+un-1h）（unh2+un-1h2）‖

=‖（un+un-1）（un2+un-12）-（unh+un-1h）（un2+un-12）

+（unh+un-1h）（un2+un-12）-（unh+un-1h）（unh2+un-1h

2）‖≤（un2∞+un-12∞）‖（un+un-1）-（unh+un-1h）‖

+（unh∞+un-1h∞）‖（un+unh）（un-unh）+（un-1+un-1h）（un-1-un-1h）‖

≤（un2∞+un-12∞）（‖θn+θn-1‖+‖ρn+ρn-1‖）

+（unh∞+un-1h∞）（un∞+unh∞+un-1

∞+un-1h∞）×（‖θn+θn-1‖+‖ρn+ρn-1‖）≤C（‖θn+θn-1‖+‖ρn+ρn-1‖）.（37）

根據(jù)三角不等式又有

‖（un+un-1）-（unh+un-1h）‖=‖θn+ρn+θn-1+ρn-1‖≤‖θn+θn-1‖+‖ρn+ρn-1‖.（38）

結(jié)合式（36）～（38）以及三角不等式可得

‖F(xiàn)（un，un-1，unh，un-1h）‖2≤C‖θn+θn-1‖2+‖ρn+ρn-1‖2+Δ

t∫tntn-1‖ut（t）‖2dt2≤C‖θn‖2+‖θn-1‖2+h6+（Δt）3∫

tntn-1‖ut（t）‖4dt.（39）

其次， 估計‖rn‖2. 記rn=rn1+rn2， 其中

rj1=tRhuj-tuj=1Δt∫tjtj-1（Rh-I）utdt，" rj2=tuj-ujt+uj-1t2.

由投影算子Rh的性質(zhì)知

‖rj1‖≤1ΔtCh3∫tjtj-1‖ut‖3dt

≤C（Δt）-1/2h3∫tjtj-1‖ut‖23dt1/2.

利用Taylor定理可推出

‖rj2‖≤CΔt∫tjtj-1‖uttt‖dt≤C（Δt）3/2∫tjtj-1‖uttt‖2dt1/2.

進而

∑nj=1‖rj‖2≤C（Δt）-1（（Δt）4+h6）∫tn0（‖ut‖23+‖uttt‖2）dt.（40）

結(jié)合式（34），（39），（40）， 可得

（‖θn‖2-‖θn-1‖2）+Δt2‖Dθn+Dθn-1‖2≤" C（Δt（‖θn‖+‖θn-1‖2+h6）

+（（Δt）4+h6）×" ∫tntn-1（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）dt）.（41）

當nΔt=tn≤T時， 關(guān)于正整數(shù)n求和得

‖θn‖2-‖θ0‖2+Δt2∑ni=1‖Dθi+Dθi-1‖2≤""" CΔt∑ni=1

（‖θi‖2+‖θi-1‖2）+Th6+（（Δt）4+h6）∫tn0（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）dt.

當Δt足夠小， 且CΔtlt;1-δ0（0lt;δ0lt;1）時， 有

‖θn‖2≤" 1+CΔt1-CΔt‖θ0‖2+C1-CΔt×

Δt∑n-1i=1‖θi‖2+（（Δt）4+h6）∫tn0（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）dt.

利用離散的Gronwall定理可知

‖θn‖≤C‖θ0‖+（（Δt）2+h3）∫tn0（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）1/2dt.

又由式（5）得到式（30）. 證畢.

定理6 設un是問題（2）的解， unh是全離散問題（23）的解， u0∈H3（I）， ut∈L2（0，T;L4（I））∩L2（0，T;H3（I）），

uttt∈L2（0，T;L2（I））， 則全離散問題的解有如下誤差估計：

un-unh1≤" C（u0-u0h1+h2‖u0‖3+（（Δt）2+h3

）×" ∫tn0（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）1/2dt），（42）

其中C與時間步長Δt和空間步長h無關(guān).

證明： 在式（34）中取vh=tθn， 由ε-不等式可知

‖tθn‖2+" 12Δt（‖Dθn‖2-‖Dθn-1‖2）

≤" ‖rn‖2+‖F(xiàn)（Dun，Dun-1，Dunh，Dun-1h）‖2+12‖tθn‖2，

整理得

‖Dθn‖2-‖Dθn-1‖2≤2Δt（‖rn‖2+‖F(xiàn)（Dun，Dun-1，Dunh，Dun-1h）‖2）.

當nΔt=tn≤T時， 關(guān)于正整數(shù)n求和得

‖Dθn‖2-‖Dθ0‖2≤2Δt∑ni=1（‖rn‖2+‖F(xiàn)（Dun，Dun-1，Dunh，Dun-1h）‖2）.（43）

由式（39）知

∑ni=1‖F(xiàn)（un，un-1，unh，un-1h）‖2≤C∑ni=0

‖θi‖2+nh6+（Δt）3∫tnt0‖ut（t）‖4dt.（44）

結(jié)合式（40），（43），（44）， 可得

‖Dθn‖2-‖Dθ0‖2≤CΔt∑ni=0‖θi‖2+Th6

+（（Δt）4+h6）∫tn0（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）dt.

再利用離散的Gronwall定理得

‖Dθn‖≤C‖Dθ0‖+（（Δt）2+h3）∫tn0（‖ut‖4+‖ut‖23+‖uttt‖2）1/2dt.

又由式（5）得到式（42）. 證畢.

3 數(shù)值算例

為方便分析誤差與收斂階， 考慮如下非齊次微分方程的初邊值問題：

ut-uxx+u3-u=g（x，t），（x，t）∈［0，1］×（0，1），u（0，t）=u（1，t）=0，t∈（0，1），

u（x，0）=u0（x），x∈［0，1］.（45）

取u（x，t）=t2［1-cos（2πx）］為解析解. 表1列出了t=1時不同空間步長h對應的誤差和收斂階. 由表1可見， 當時間步長固定時， 近似解的L2模和H1模收斂精度分別是三階和二

階. 表2列出了t=1時不同時間步長Δt對應的誤差和收斂階. 由表2可見， 空間步長取定時， 近似解在L2和H1模下達到二階收斂.

表1 t=1時不同空間步長h對應的誤差和收斂階

Table 1 Error and convergence order corresponding to different spatial step sizes h when t=1

（Δt，h）‖u-uh‖收斂階‖u-uh‖1收斂階

（1/100 000，1/8）3.249 2×10-31.533 3×10-1

（1/100 000，1/16）3.631 7×10-43.161 43.672 1×10-22.062 0

（1/100 000，1/32）4.400 3×10-53.044 99.067 4×10-32.017 8

（1/100 000，1/64）5.456 2×10-63.011 62.259 4×10-32.004 7

表2 t=1時不同時間步長Δt對應的誤差和收斂階

Table 2 Error and convergence order corresponding to different time step sizes Δt when t=1

（Δt，h）‖u-uh‖收斂階‖u-uh‖1收斂階

（1/20，1/1 000）1.196 8×10-33.844 8×10-3

（1/40，1/1 000）2.995 8×10-41.998 29.623 8×10-41.998 2

（1/80，1/1 000）7.491 8×10-51.999 62.408 3×10-41.998 6

（1/160，1/1 000）1.873 1×10-51.999 96.087 5×10-51.984 1

綜上所述， B樣條有限元法是求解FK方程的有效方法， 二次B樣條Crank-Nicolson全離散格式達到最優(yōu)階收斂精度O（（Δt）2+h3）. 應用MATLAB編程計算數(shù)值

算例， 采用Picard迭代處理非線性項， 數(shù)值實驗結(jié)果表明， Picard迭代次數(shù)為6～10次可以保證格式的收斂精度， 極大提高了計算效率.

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（責任編輯： 趙立芹）