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    如何從不同角度解答一道不等式恒成立問題

    2024-01-01 00:00:00周蓉蓉
    關(guān)鍵詞:主元結(jié)合法最值

    不等式恒成立問題的常見命題形式有:(1)由恒 成立的不等式求參數(shù)的取值范圍;(2)證明不等式恒 成立.不等式恒成立問題具有較強(qiáng)的綜合性.這類問題 通常會(huì)綜合考查同學(xué)們對(duì)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式、方程等 知識(shí)的應(yīng)用情況.下面就一道不等式恒成立問題,談一 談解答此類問題的方法.

    題目:當(dāng)xgt;0時(shí),[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0恒成立,求a的取值范圍.

    方法一:轉(zhuǎn)化法

    運(yùn)用轉(zhuǎn)化法求解不等式恒成立問題主要有兩種思路:一是根據(jù)題意和不等式的特征,找到使不等式恒成立的情形,據(jù)此建立不等式,將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解;二是將不等式化為f(x)lt;a、f(x)gt;a、f(x)lt;g(x)、f(x)gt;g(x)的形式,使f(x)maxlt;a、f(x)mingt;a、f(x)maxlt;g(x)min、f(x)mingt;g(x)max,即可確保不等式成立,這就將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.同學(xué)們需根據(jù)題意將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.

    解:

    我們將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組,通過解不等式組求得a的取值.而不等式的解集為x-≤a≤1+、1+≤a≤x-,需分別根據(jù)y=x-、y = 1 + 的單調(diào)性確定函數(shù)在(0,2] 上的最值,才能確 定 a 的取值.

    方法二:主元法

    主元法是解答含參不等式問題的重要方法.一般 地,我們將變量x 、y 、z 等視為主元,將 a 、b 、c 等視為 參數(shù).但有些問題較為復(fù)雜,采用常規(guī)方法很難獲得問題 的答案,此時(shí)不妨轉(zhuǎn)換思路,將參數(shù)或者某個(gè)式子視為 主元進(jìn)行研究,將不等式化問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新主元的函 數(shù)或不等式問題,根據(jù)函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.

    解:

    我們先把 ax 視為主元,將不等式變形,并將問題 轉(zhuǎn)化為關(guān)于主元 ax 的二次不等式問題;然后通過因 式分解求得不等式的解集;再根據(jù) y =x -" 、y = 1 + 的單調(diào)性確定函數(shù)在(0,2] 上的最值,就能確定 a 的取 值.一般地,變更主元后,不等式或函數(shù)式可化為簡單 的一次或者二次的式子,這樣就能達(dá)到化繁為簡的目的.

    方法三:分類討論法

    對(duì)于較為復(fù)雜的含參不等式恒成立問題,可以從參數(shù)入手,采用分類討論法求解.先根據(jù)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類,然后在不同的范圍內(nèi)分別進(jìn)行討論.這樣就能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為多個(gè)子問題,通過求解子問題來求得原問題的答案.這在一定程度上降低了問題的難度,但是解題過程中的計(jì)算量會(huì)增大.

    解:①當(dāng)a-1=0,即a=1時(shí),[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0可化為-(x2-x-1)≥0,而xgt;0,則該式不成立.

    ②當(dāng)a-1≠0時(shí),不等式可變形為(a-1)?x-?

    x-而(a-)x+,x(-)a a(+)-2(a)0(0)(),

    則(?)可化為(a-1)x-x-≥0.

    設(shè)f(x)=(a-1)x-x-,

    則二次函數(shù)f(x)有1個(gè)正零點(diǎn)x1=,

    要使在xgt;0時(shí)恒有f(x)≥0,需使函數(shù)的開口向上,且2個(gè)零點(diǎn)重合,

    則í??(ì?)a(a)-1 1(1),a(0)+,解得a=.

    又因?yàn)楫?dāng)a=且xgt;0時(shí),有[(a-1)x-1](x2-ax-1)=(x-2)2(2x+1)≥0,

    所以a=.

    使用分類討論法解題,關(guān)鍵是確定分類討論的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn).一般地,可以將對(duì)不等式的符號(hào)有影響的量或者代數(shù)式作為分類討論的對(duì)象,將其分為大于、等于、小于0三種情況來進(jìn)行討論.

    方法四:數(shù)形結(jié)合法

    數(shù)形結(jié)合法是解答高中數(shù)學(xué)問題常用的方法.對(duì)于不等式恒成立問題,需先將不等式進(jìn)行變形,使其左右兩邊的式子為直線的方程、圓錐曲線的方程、二次函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、冪函數(shù)式、對(duì)數(shù)函數(shù)式等;然后畫出相應(yīng)的圖象,討論兩條曲線或直線的位置關(guān)系,確保不等式恒成立即可.

    解法1.

    解法2

    在使用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí),要將關(guān)鍵的點(diǎn)和線在圖形中展現(xiàn)出來,這樣便于快速找到使不等式恒成立的情形.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法,能將復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化、直觀化.

    可見,解答不等式恒成立問題有多種不同的方法.但無論運(yùn)用哪種方法,都需注意:(1)明確不等式的特征、結(jié)構(gòu),對(duì)其進(jìn)行合理的變形、構(gòu)造;(2)對(duì)參數(shù)進(jìn)行合理的討論、分類;(3)靈活利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程的性質(zhì)解題.

    (作者單位:江蘇省石莊高級(jí)中學(xué))

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