例談兩類三角函數(shù)問(wèn)題的解法

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要模塊.三角函數(shù)問(wèn)題的命題形式很多，如求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、求三角函數(shù)的值等.下面主要談一談兩類三角函數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)以及解法.

一、求三角函數(shù)的解析式

求三角函數(shù)的解析式問(wèn)題主要有三種命題形式：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象求三角函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)特殊點(diǎn)求三角函數(shù)的解析式.這類問(wèn)題主要考查三角函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最值等.在解題時(shí)，需根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征或性質(zhì)，采用待定系數(shù)法分別求三角函數(shù)式中的參數(shù)A、ω、?的值，從而確定函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）、f（x）=A cos（ωx+?）、f（x）=Atan（ωx+?）的解析式.

例1.（2023年全國(guó)乙卷理，第6題）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）在區(qū)間，上單調(diào)遞增，直線x=和x=為函數(shù)y=f（x）的兩條對(duì)稱軸，則f（（-=（）.

A.-B.-C.D.

解：因?yàn)閒（x）在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以=-=，即T=π，

又ωgt;0，則ω==2，

當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最小值，

則2×+φ=2kπ-，解得φ=2kπ-（k∈Z），當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=sin（（2x-，

則f（（-=，故選D.

求三角函數(shù)的解析式，要先根據(jù)題意和函數(shù)的圖象尋找最值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、對(duì)稱軸、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心等，這樣就能快速確定函數(shù)的最小正周期T、振幅A；再將某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，即可求得φ.

二、求三角函數(shù)的值

三角函數(shù)求值問(wèn)題主要有三種類型：①給角求值.一般所給出的角都是非特殊角，需建立非特殊角與特殊角之間的聯(lián)系，通過(guò)角的變換，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù).②給值求值.通常需運(yùn)用二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角的和差公式等進(jìn)行三角恒等變換，將所求的角和函數(shù)式用已知的角和函數(shù)式表示出來(lái)，從而求得目標(biāo)式的值.③給值求角.這類問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為“給值求值”，解題的關(guān)鍵是“變角”，即把所求角用已知角及其關(guān)系式表示出來(lái)，結(jié)合已知的函數(shù)值求角，但要注意縮小角的取值范圍，以防止產(chǎn)生多解.

例2.若tanθ=-2，求sis（n）in（θ）（θ（1）cos（sin）θ（2）θ）.

解：因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1，

sinθ（sin2θ+cos2θ+2 sinθcosθ）

sinθ+cosθ

=sinθ（sinθ+cosθ）=sinsθ（in）cos（+c）2θ（os）θ）

=tan2θ+tanθ=2

1+tan2θ5.

我們需根據(jù)已知的函數(shù)值求目標(biāo)式的值，把待求的三角函數(shù)式化為含有已知三角函數(shù)值的式子.在變形函數(shù)式的過(guò)程中，需靈活運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1進(jìn)行“1”的代換，用同角的三角函數(shù)關(guān)系式tanθ=cos（sin）θ（θ）將弦化為切.

例3.若α∈（（0，，tan 2α=，求tanα的值.

解：tan 2α==，

因?yàn)閏osα≠0，所以12-ss（i）in（n）2α（α）=2-s（1）inα，

解得sinα=.

因?yàn)棣痢剩ǎ?，，所以cosα==，

所以tanα=.

我們需先根據(jù)二倍角公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式tanθ=cos（sin）θ（θ）將“切”化為“弦”，從而求得sinα的值；再根據(jù)誘導(dǎo)公式求tanα的值.

總之，解答三角函數(shù)問(wèn)題，不僅要靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式進(jìn)行恒等變形，還需熟悉并靈活運(yùn)用正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象.

（作者單位：江蘇省如皋中學(xué)）