應(yīng)用主頻帶約束高精度 Radon 變換的多次波壓制方法

摘要： Radon 變換是地震資料處理中常用的一種算法，通過(guò)特定路徑求和實(shí)現(xiàn)地震數(shù)據(jù)插值、多次波壓制和波場(chǎng)分離。然而，由于采集數(shù)據(jù)和算法限制，變換域的分辨率較低，提高Radon 域分辨率一直是研究的熱點(diǎn)。最常用的提高分辨率方法是多次迭代重加權(quán)算法，通過(guò)迭代更新權(quán)重，將加權(quán)值聚焦到地震數(shù)據(jù)曲率上，但很難將加權(quán)值聚焦到真實(shí)曲率位置。文中提出了一種優(yōu)化提高變換域分辨率的新方法，即在地震數(shù)據(jù)的主頻帶內(nèi)求取一個(gè)加權(quán)矩陣，并將加權(quán)值聚焦至真實(shí)地震曲率位置。首先，計(jì)算地震數(shù)據(jù)的主頻，并以主頻為中心頻率，向低頻和高頻方向各取一個(gè)范圍作為約束頻帶； 對(duì)主頻帶內(nèi)的地震數(shù)據(jù)采用低頻約束策略，從低頻到高頻迭代計(jì)算加權(quán)矩陣； 從主頻帶的最后一個(gè)加權(quán)矩陣得到最終的加權(quán)矩陣，并應(yīng)用于所有其他頻率的計(jì)算。主頻帶數(shù)據(jù)的信噪比高、振幅強(qiáng)，因此，該方法更加穩(wěn)定，得到的加權(quán)矩陣可以顯著增強(qiáng)變換域的分辨率。此外，與其他迭代方法相比，它避免了每個(gè)頻率加權(quán)矩陣的迭代過(guò)程，計(jì)算效率更高。合成數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果證明了該方法的在多次波壓制方面的有效性和優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞： Radon 變換，多次波壓制，高分辨率，主頻帶，約束，效率

中圖分類(lèi)號(hào)：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 06. 011

0 引言

Radon 變換是一種廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)CT 圖像重建和地震數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)方法，在地震同相軸識(shí)別、多次波壓制、地震數(shù)據(jù)重建、速度分析和波場(chǎng)分離等方面有著廣泛的應(yīng)用。在地震資料處理領(lǐng)域，Radon變換可分為線性變換、拋物線變換和雙曲線變換。

20 世紀(jì) 70 年代，美國(guó)斯坦福大學(xué)地球物理小組對(duì)Radon 變換進(jìn)行深入研究，并取得了重大進(jìn)展，為其在地球物理領(lǐng)域的應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。

Hampson[1]將線性Radon 變換改進(jìn)為拋物線Radon變換，并應(yīng)用于多次波壓制。經(jīng)過(guò)正常時(shí)差校正后，一次波被校正為平直的同相軸，而多次波則由雙曲線校正為拋物線，可用拋物線方程描述。由于變換域內(nèi)多次波和一次波曲率不同，可以在變換域通過(guò)切除實(shí)現(xiàn)二者的分離。

Beylkin[2]討論了基于最小二乘理論的Radon 變換。然而，由于地震數(shù)據(jù)采集的空間和時(shí)間有限，變換后的Radon 域的聚焦點(diǎn)經(jīng)常出現(xiàn)發(fā)散假象，極大地影響了多次波壓制的效果。因此，研發(fā)高分辨率 Radon變換可以改善同相軸的可分離性、消除發(fā)散假象。

提高 Radon 域的分辨率的途徑可以大致分為如下三類(lèi)。第一類(lèi)算法是在時(shí)間域通過(guò)大尺度求逆運(yùn)算提高分辨率。時(shí)域方法具有一定的優(yōu)勢(shì)，比如在數(shù)據(jù)和模型上都能處理時(shí)變問(wèn)題，在消除混疊假象方面效果顯著，通常能獲得分辨率更高的結(jié)果。Thorson 等[3]給出了一種采用隨機(jī)反演的高分辨率時(shí)域Radon 變換算法，同時(shí)增強(qiáng)了時(shí)間和曲率方向的稀疏性。Stoffa 等[4]提出了一種基于平面波分解、利用相似加權(quán)導(dǎo)出的窗濾波器，可以有效消除混疊假象，提高分辨率。Yilmaz 等[5]采用時(shí)域離散平面波分解技術(shù)計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的斜率，迭代估計(jì)地震數(shù)據(jù)中的傾角范圍，并應(yīng)用到變換中，有效消除了混疊假象。

然而，時(shí)域高分辨率方法計(jì)算效率較低，很快被Hampson[1]的頻率域快速、時(shí)不變拋物 Radon 變換所取代。但Hampson 的頻域最小二乘方法由于時(shí)空域地震數(shù)據(jù)有限，在變換域存在截?cái)嘈?yīng)，分辨率較低。為此，Sacchi 等[6]提出了一種基于貝葉斯框架的優(yōu)化反演算法、利用最大熵函數(shù)計(jì)算先驗(yàn)概率、采用以柯西范數(shù)為目標(biāo)函數(shù)約束項(xiàng)的非線性優(yōu)化方法，并假設(shè)殘差項(xiàng)和模型參數(shù)項(xiàng)分別服從高斯分布和柯西分布，利用迭代重加權(quán)最小二乘 （IRLS）法得到稀疏解。IRLS 法是頻率域上常用的高分辨率Radon 變換算法之一，屬于高分辨率算法的第二類(lèi)。Sacchi 等[6]的方法在處理稀疏采樣數(shù)據(jù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)空間混疊現(xiàn)象，從而大大降低分辨率，且計(jì)算成本比傳統(tǒng)的最小二乘法高。Cary[7]強(qiáng)調(diào)了時(shí)域算法在時(shí)間和曲率兩個(gè)方向都具有稀疏性的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)建議結(jié)合頻域算法改善Radon 變換的保幅性。Herrmann等[8]提出了一種利用低頻數(shù)據(jù)約束高頻拋物分解的非迭代高分辨率方法，避免了空間混疊，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了在空間域稀疏情況下的高分辨率結(jié)果。然而，該方法需先計(jì)算低頻結(jié)果，并以此作為權(quán)重約束高頻計(jì)算，計(jì)算量仍然較大。Chen 等[9]提出了一種利用峰值頻率求取加權(quán)矩陣的非迭代方法。然而，該方法的結(jié)果受所選頻率的影響較大，并且在變換域的分辨率不夠高。所有頻域方法在頻域計(jì)算的模型權(quán)重在時(shí)間域都耦合在一起，在不同時(shí)間對(duì)所有同相軸應(yīng)用相同的權(quán)重。因此，頻率域高分辨率算法的分辨率只在 Radon 參數(shù)，即曲率方向有所提高。此外，頻域高分辨率Radon 變換算法對(duì)反演過(guò)程正則化所需的超參數(shù)比較敏感，必須經(jīng)過(guò)大量的測(cè)試才能確定。如果每個(gè)頻率的超參數(shù)均是默認(rèn)的，即使有一個(gè)頻率的參數(shù)選擇不當(dāng)，也會(huì)影響整個(gè)Radon 域的結(jié)果，這使得該方法的實(shí)現(xiàn)同樣具有挑戰(zhàn)性。

第三類(lèi)高分辨率 Radon 方法是時(shí)頻域混合方法。該類(lèi)算法計(jì)算效率高、分辨率高。時(shí)頻混合域高分辨率算法在傳統(tǒng)的頻域最小二乘算法基礎(chǔ)上，增加一個(gè)額外的時(shí)域閾值收縮步驟。這一步驟有助于緩解截?cái)嘈?yīng)引起的邊緣能量泄漏，使變換域能量向聚焦點(diǎn)中心收斂，從而提高 Radon 變換的分辨率，如Lu[10]利用混合域算法提出的稀疏Radon 變換，在時(shí)域通過(guò)簡(jiǎn)單的收縮處理提升變換域的稀疏性，且在頻域?qū)崿F(xiàn)正、反Radon 變換，兼顧了時(shí)域和頻域算法的優(yōu)勢(shì)。Wang 等[11]在時(shí)頻混合域提出了魯棒時(shí)不變的 Radon 變換，并在時(shí)域?qū)?shù)據(jù)不擬合和 Radon 模型進(jìn)行雙L1 范數(shù)稀疏約束壓制異常值，在頻域進(jìn)行正、反變換，利用一維交替分裂Bregman算法對(duì)Radon 模型進(jìn)行閾值收縮。Li 等[12]提出了一種快速迭代收縮閾值算法，并將其應(yīng)用于自適應(yīng)多次波壓制。Liu 等[13]將基于L1 范數(shù)約束的高分辨率Radon 變換與形態(tài)成分分析方法相結(jié)合，對(duì)地震數(shù)據(jù)中的多次波和折射波進(jìn)行分離。Geng等[14‐15]利用 L1‐2 范數(shù)約束在時(shí)頻混合域提出了稀疏Radon 變換，該變換比 L1 范數(shù)約束具有更強(qiáng)的稀疏性，并采用三維拉格朗日乘子進(jìn)一步將該算法擴(kuò)展到三維空間。薛亞茹等[16] 將IRLS 和閾值收縮（ISTA）法相結(jié)合，給出了一種加權(quán)迭代軟閾值方法。與頻域高分辨率算法類(lèi)似，這種混合域高分辨率算法面臨時(shí)域收縮參數(shù)設(shè)置困難的問(wèn)題，收縮參數(shù)設(shè)置不合理會(huì)導(dǎo)致算法不收斂。張全等[17]將全局貪婪優(yōu)化算法同迭代閾值收縮結(jié)合，引入Radon 反問(wèn)題求解，提高了收斂速率，但需要設(shè)置迭代步長(zhǎng)和算法的重啟條件，復(fù)雜度較高。井洪亮等[18] 通過(guò)將傳統(tǒng)Radon 變換的離散曲率參數(shù)q 更改為耦合頻率的參數(shù)λ，變換到另外的λ?f 模型域，并設(shè)計(jì)三維體錐形濾波器對(duì)多次波進(jìn)行切除，減少了計(jì)算量，但濾波器形式復(fù)雜，對(duì)于近炮檢距處小時(shí)差的多次波壓制效果差。Li 等[19]提出了一種結(jié)合了頻率—慢度域Radon 算子的魯棒正交匹配追蹤算法，使用交替乘子法求解，用L1 ‐L1 范數(shù)稀疏約束增強(qiáng)了Radon 變換的群稀疏性，并應(yīng)用于混合震源數(shù)據(jù)分離和三維地震數(shù)據(jù)重建。

基于前人的研究，本文給出了一種利用主頻帶約束的高分辨率 Radon 變換算法。通過(guò)將單頻擴(kuò)展到一個(gè)主頻帶，可得到一個(gè)稀疏約束矩陣； 與單頻相比，該加權(quán)約束矩陣能更精確地描述地震數(shù)據(jù)的特征，將地震數(shù)據(jù)的能量聚焦于主要曲率參數(shù)。利用地震數(shù)據(jù)的主頻帶計(jì)算稀疏加權(quán)矩陣，并約束求解所有頻率，可以提高計(jì)算精度和效率。在該算法中，所有頻率的加權(quán)矩陣是相同的。在該主頻帶內(nèi)，采用Hermann 等[8]的高分辨率策略由低頻到高頻更新加權(quán)矩陣。主頻帶內(nèi)的數(shù)據(jù)振幅強(qiáng)、信噪比高，因此能對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行精準(zhǔn)描述。該算法參數(shù)設(shè)置也非常簡(jiǎn)單，可以快速生成算法所需的加權(quán)矩陣。與Chen 等[9]的峰值頻率約束的高分辨率方法相比，本方法更加穩(wěn)定，分辨率更高； 與 IRLS 算法相比，本方法具有較高的計(jì)算效率和較強(qiáng)的抗噪性。分別使用二維合成數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文算法的優(yōu)勢(shì)。