先驗(yàn)巖石物性約束的地球物理正則化反演

摘要： 隨著勘探程度的深入，可用于正則化反演的先驗(yàn)信息越來(lái)越豐富和精確。在分析參數(shù)變換函數(shù)、模糊C均值聚類模型約束、交替方向乘子優(yōu)化等引入巖石先驗(yàn)物性約束方法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于反演單元物性互異原則的模型約束方法?；趩卧ギ愒瓌t的模型約束從地質(zhì)單元數(shù)量有限、每個(gè)離散反演單元只能屬于某一種巖性的本質(zhì)出發(fā)，通過(guò)限定離散反演單元的物性取值實(shí)現(xiàn)物性引入。將上述先驗(yàn)物性引入與經(jīng)典正則化反演相結(jié)合，構(gòu)建了統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)并通過(guò)高斯—牛頓法進(jìn)行優(yōu)化求解； 對(duì)四種方案實(shí)現(xiàn)巖石物性引入的作用機(jī)理和數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行了分析，提出了同時(shí)利用多種方案提高反演效果的組合策略； 對(duì)比了L1 和L2 范數(shù)最小結(jié)構(gòu)模型約束與先驗(yàn)巖石物性引入策略結(jié)合的反演效果。模型和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)反演結(jié)果均表明，充分利用巖石物性測(cè)量的先驗(yàn)信息可有效提高反演效果。

關(guān)鍵詞： 先驗(yàn)巖石物性，正則化反演，變換函數(shù)，模糊C 均值聚類，交替方向乘子算法

中圖分類號(hào)：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 06. 022

0 引言

地球物理勘探以地下巖礦石物性差異為基礎(chǔ)，包括密度、磁性、電性、彈性波速度、熱導(dǎo)率、放射性等。它們受巖石的礦物成分、孔隙與孔隙充填物、結(jié)構(gòu)與構(gòu)造、年代等綜合因素影響，相同的巖石可能表現(xiàn)出物性的差異，不同的巖石也可能具有相似的物性，給地球物理資料的解譯帶來(lái)了困難。利用精確的巖石物性信息進(jìn)行正則化反演，可提高地球物理反演穩(wěn)定性，同時(shí)在一定程度上改善反演效果。在地球物理正則化反演數(shù)據(jù)誤差函數(shù)中，通過(guò)引入觀測(cè)數(shù)據(jù)方差的信息，實(shí)現(xiàn)依托數(shù)據(jù)可靠程度的數(shù)據(jù)擬合，減少因過(guò)度擬合不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)而產(chǎn)生假異常的風(fēng)險(xiǎn)。相比數(shù)據(jù)先驗(yàn)信息的利用，反演中可利用的模型先驗(yàn)信息則更加豐富，包括物性分布的空間特征、取值范圍、多種物性間相互約束等。利用物性空間變化特征的模型約束應(yīng)用廣泛，如支持物性空間平滑變化的最平滑模型約束[1]、支持物性邊界陡變特征的總變分穩(wěn)定泛函[2]、最小支撐穩(wěn)定泛函[3]以及最小梯度支撐穩(wěn)定泛函[4]等約束，以及同時(shí)包含物性空間平滑和參考模型的最小結(jié)構(gòu)約束[5]。此外，聯(lián)合反演除了考慮單個(gè)物性的空間分布，往往通過(guò)加入如模型曲率[6]、交叉梯度[7]、Gramian 約束[8]、局部相關(guān)性[9]等結(jié)構(gòu)耦合信息，以及物性耦合信息[10]提高反演效果。

以結(jié)構(gòu)特征為主的模型約束廣泛應(yīng)用于地球物理反演，然而如何將地質(zhì)單元物性測(cè)量先驗(yàn)信息有效融入反演，仍有待深入研究。為確保反演參數(shù)的物理意義，地球物理反演中廣泛采用了反演空間與物性空間的函數(shù)變換技術(shù)，如非負(fù)變換[11]、邊界約束變換[12]等。通過(guò)變換函數(shù)也可在反演中實(shí)現(xiàn)先驗(yàn)巖石物性的利用，Zhdanov 等[13]提出了一種支持多個(gè)先驗(yàn)物性信息的變換函數(shù)，該函數(shù)成功應(yīng)用于重力、重力梯度數(shù)據(jù)反演[14] 和三維可控源電磁數(shù)據(jù)反演[15]。由模型與參考模型差異定義的模型約束[16]是最基本的先驗(yàn)物性引入方法，離散反演由于缺少關(guān)于先驗(yàn)信息的空間分布，因而實(shí)際工作中采用復(fù)雜的參考模型存在困難，往往采用均勻或?qū)訝钅Ｐ停铱紤]到該項(xiàng)的不準(zhǔn)確性，其在目標(biāo)函數(shù)約束中占比一般不大[17]。模糊Ｃ均值（Fuzzy C‐Means，F(xiàn)CM）聚類模型約束[18‐19]反演過(guò)程在參考聚類中心引導(dǎo)下，迭代生成的聚類中心向參考聚類中心逼近，同時(shí)通過(guò)聚類作用使反演物性體現(xiàn)巖石測(cè)量物性特征，為巖石先驗(yàn)物性信息的使用提供了新思路。相較模型與參考模型差定義的模型約束引入方法，該方法無(wú)需先驗(yàn)物性的空間分布信息，可以充分利用物性測(cè)量結(jié)果，還可根據(jù)物性測(cè)量的可信度調(diào)整引導(dǎo)項(xiàng)的權(quán)重； 另外，該約束不僅適用于單個(gè)物性參數(shù)反演，也適用于多個(gè)物性參數(shù)聯(lián)合反演[19]。此外，巖石物性信息的引入不僅體現(xiàn)在正則化目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)中，還可以在目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過(guò)程中實(shí)現(xiàn)。交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）提供了一種在目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程中引入巖石物性信息的方法[20‐22]，該方法成功應(yīng)用于不連續(xù)物性邊界模型的重力反演。

由于反問(wèn)題的不適定性，單純通過(guò)反演獲得的地球物理模型往往與實(shí)際情況相去甚遠(yuǎn)。隨著研究工作的深入，有關(guān)地質(zhì)單元物理性質(zhì)的資料越來(lái)越多、也越來(lái)越精確，在反演中引入物性測(cè)量先驗(yàn)信息具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文從目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建和優(yōu)化兩個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)利用巖石物性測(cè)量先驗(yàn)信息的正則化反問(wèn)題進(jìn)行探討，在分析基于變換函數(shù)、模糊C 均值聚類型約束以及交替方向乘子等方法基礎(chǔ)上，提出了一種基于反演單元物性互異原則引入先驗(yàn)巖石物性的模型約束方法；構(gòu)建了統(tǒng)一的包含巖石先驗(yàn)物性信息與傳統(tǒng)模型約束的反演目標(biāo)函數(shù)，并采用高斯—牛頓法優(yōu)化求解目標(biāo)函數(shù)；重點(diǎn)分析了引入先驗(yàn)物性的組合應(yīng)用策略，對(duì)比L1、L2 范數(shù)最小結(jié)構(gòu)模型約束與先驗(yàn)巖石物性引入策略相結(jié)合的反演效果。

1 巖石先驗(yàn)物性信息約束的正則化反演

1. 1 反演目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

在正則化反演目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造包含物性變換、傳統(tǒng)模型約束、巖石先驗(yàn)物性約束的反演目標(biāo)函數(shù)