數(shù)學(xué)建模與概率論教學(xué)的深度融合探研

王艷兵

摘要：數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本規(guī)律具有重要意義。數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合，是當(dāng)前概率論的重要發(fā)展趨勢(shì)，具有興趣引領(lǐng)、拓展學(xué)習(xí)、綜合發(fā)展價(jià)值，既可以提升概率論教學(xué)質(zhì)量，也可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力。文章基于數(shù)學(xué)建模的概念界定，分析數(shù)學(xué)建模與概率論的融合價(jià)值，指出立足核心知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生建模思維、利用建模思想豐富概率論課堂、延伸數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新概率論作業(yè)的數(shù)學(xué)建模與概率論深度融合策略，旨在為相關(guān)研究與實(shí)踐提供一些啟示。

關(guān)鍵詞：高校；數(shù)學(xué)建模；概率論教學(xué)；深度融合；數(shù)學(xué)思維；建模思維

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2023）34-0117-04

在傳統(tǒng)的“概率論”課程教學(xué)中，部分教師缺乏創(chuàng)新精神，導(dǎo)致教學(xué)存在一定的滯后性，使學(xué)生不能形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，更難以實(shí)現(xiàn)拓展學(xué)習(xí)和綜合發(fā)展。新一輪課程改革給“概率論”課程教學(xué)帶來了新的生機(jī)，教師應(yīng)借助教育改革“春風(fēng)”，積極探索優(yōu)化教學(xué)效果的有效策略，以使“概率論”課程教學(xué)煥發(fā)新活力。數(shù)學(xué)建模是新一輪數(shù)學(xué)教學(xué)改革后，被廣泛推薦的教學(xué)模式。概率論教師可以在實(shí)際教學(xué)中，將數(shù)學(xué)建模與概率論教學(xué)融合起來，以發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的積極作用，使學(xué)生在“概率論”課程學(xué)習(xí)中充分受益，有效提高知識(shí)理解與運(yùn)用、問題分析與解決等能力。

從內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)建模是指圍繞實(shí)際存在的數(shù)學(xué)問題建立模型，通過模型求解過程和結(jié)果解決實(shí)際問題[1]。從過程上看，數(shù)學(xué)建模包括模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析和模型檢驗(yàn)等六個(gè)步驟。從內(nèi)涵上看，數(shù)學(xué)建模屬于數(shù)學(xué)的思想方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法解決問題的一種手段。數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本規(guī)律具有重要意義，通過數(shù)學(xué)建模經(jīng)歷探究性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)實(shí)踐過程，既是提升概率論教學(xué)質(zhì)量的重要途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵一環(huán)。

1.興趣激發(fā)價(jià)值

興趣是影響學(xué)生概率論學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵因素，而數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣具有激發(fā)價(jià)值。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法靈活解決數(shù)學(xué)問題的手段，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題變得形象化，還能增加現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)實(shí)踐之間的聯(lián)系，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的刻板印象，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)生活化意識(shí)，促使學(xué)生學(xué)會(huì)以形象的方式分析、解決數(shù)學(xué)問題。這樣，概率論教學(xué)就能更加順利地展開。

2.拓展學(xué)習(xí)價(jià)值

數(shù)學(xué)建模就是立足實(shí)際問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的解決數(shù)學(xué)問題的方法。這意味著，當(dāng)問題不固定時(shí)，數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用方法不唯一，構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型也具有較大差異性。這樣，學(xué)生不僅能感受數(shù)學(xué)問題的多元性和復(fù)雜性，還能理解數(shù)學(xué)思想和方法的多元性，數(shù)學(xué)模型的變化性。這對(duì)打破學(xué)生思維定式、拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思考空間起著重要作用[2]。

3.綜合發(fā)展價(jià)值

概率論以學(xué)生的綜合發(fā)展為根本追求，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)情感。一方面，數(shù)學(xué)建模以在實(shí)際問題中抽象出來的數(shù)學(xué)模型為核心，能夠在解決問題的目標(biāo)導(dǎo)向下，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)技能進(jìn)行有效培養(yǎng)[3]。另一方面，基于數(shù)學(xué)建模的問題解決效果，通常優(yōu)于其他形式的問題解決效果，有利于學(xué)生掌握概率論知識(shí)，形成積極的數(shù)學(xué)情感。這說明，數(shù)學(xué)建模與概率論的結(jié)合可以促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展，實(shí)現(xiàn)概率論教學(xué)的根本追求。

三、數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合策略

下面，筆者以高教版概率論教材為參考，應(yīng)用案例分析法，探究數(shù)學(xué)建模與概率論深度融合的具體策略。高教版概率論教材內(nèi)容豐富，符合數(shù)學(xué)建模與概率論深度融合的基本要求。在實(shí)際教學(xué)中，教師首先可以立足核心知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生建模思維，其次可以利用建模思想豐富概率論課堂，最后可以延伸數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新概率論作業(yè)。

1.立足核心知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生建模思維

數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合，要求學(xué)生具有建模思維基礎(chǔ)，學(xué)生只有具備了一定的數(shù)學(xué)建模思維，才能在數(shù)學(xué)建模與概率論的融合中，緊跟教師指導(dǎo)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。因此，在實(shí)際教學(xué)工作中，教師必須重視對(duì)學(xué)生建模思維的培養(yǎng)。具體可以從以下幾方面入手。

（1）通過數(shù)學(xué)概念培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。數(shù)學(xué)概念是整個(gè)概率論的基礎(chǔ)，學(xué)生理解核心知識(shí)、生成建模思維，均以掌握數(shù)學(xué)概念為前提。在數(shù)學(xué)概念的探究過程中，教師應(yīng)預(yù)先梳理教材，建立系統(tǒng)化的概念認(rèn)知，充分把握其模型特征，再?gòu)亩鄠€(gè)角度挖掘建模思維的融合點(diǎn)[4]。具體來說，一方面，教師要積極改變概率論概念教學(xué)方法，運(yùn)用生活實(shí)例講解數(shù)學(xué)概念，以使學(xué)生在生活化的概念理解中形成建模思維，從而為學(xué)生日后通過數(shù)學(xué)建模解決生活實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。另一方面，教師要積極轉(zhuǎn)變教學(xué)思維，以“章主題”為線索整理數(shù)學(xué)概念，通過整體教學(xué)促使學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念模型，以幫助學(xué)生形成建模思維。以“統(tǒng)計(jì)量及其分布”教學(xué)為例，本章重點(diǎn)概念包括“總體”“個(gè)體”“樣本”“樣本數(shù)據(jù)”“經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)”“抽樣分布”“均值”等，對(duì)本章重點(diǎn)概念進(jìn)行整理，搭建由“小”到“大”的概念知識(shí)體系，是建立“統(tǒng)計(jì)量及其分布”數(shù)學(xué)概念模型、培養(yǎng)學(xué)生建模思維的重要過程。教師要在備課階段，對(duì)本章數(shù)學(xué)概念進(jìn)行整體分析，預(yù)先建立“數(shù)學(xué)概念圖”。課上，教師每完成一個(gè)概念講解，都要指導(dǎo)學(xué)生分析概念間的邏輯聯(lián)系，構(gòu)建概念圖譜。隨著教師指導(dǎo)的深入，以及學(xué)生概念積累的增加，學(xué)生會(huì)逐漸完成邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍顖D譜，使其呈現(xiàn)“統(tǒng)計(jì)量及其分布”全部概念，細(xì)化“總體”“個(gè)體”“樣本”之間的聯(lián)系，經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的形成過程，提升建模思維。另外，“統(tǒng)計(jì)”是與生活息息相關(guān)的一項(xiàng)數(shù)學(xué)活動(dòng)，生活中很多時(shí)候都需要通過統(tǒng)計(jì)揭示事物本質(zhì)。教師可以在上述教學(xué)活動(dòng)基礎(chǔ)上，利用生活中的統(tǒng)計(jì)元素豐富教學(xué)，如區(qū)域共享單車投放規(guī)律的統(tǒng)計(jì)、停車場(chǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)等。借助生活中的統(tǒng)計(jì)案例，教師可以為學(xué)生提供對(duì)應(yīng)本章數(shù)學(xué)概念的生活化數(shù)學(xué)模型，然后引導(dǎo)學(xué)生在生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念。學(xué)生基于生活實(shí)例挖掘數(shù)學(xué)概念的過程，也屬于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，有助于自身形成建模思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合。

（2）通過教材例題培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。教材例題是概率論至關(guān)重要的教學(xué)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)建模與概率論深度融合的切入點(diǎn)。為促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)等，高教版概率論教材編排了大量例題，通過例題說明數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)等具體應(yīng)用過程，由此形成了數(shù)學(xué)模型，使例題分析成為概率論教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。教師應(yīng)當(dāng)立足此環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生建模思維，以使課程教學(xué)目標(biāo)能夠有效達(dá)成。值得注意的是，高教版概率論教材例題豐富，但并非所有例題都能直接應(yīng)用在數(shù)學(xué)建模教學(xué)方面。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)調(diào)整例題選擇方法，優(yōu)化例題講解過程[5]。以“邊際密度函數(shù)”為例，為使學(xué)生構(gòu)建邊際密度函數(shù)的計(jì)算模型，注意非零區(qū)域，不能簡(jiǎn)單地把積分上下限取為正無窮或者負(fù)無窮，且已知聯(lián)合分布可以求得邊際分布，反之則不能唯一確定，教材特別設(shè)計(jì)了一些例題。部分例題中，該模型的體現(xiàn)尤為明顯，也有部分習(xí)題中，需要深入分析才能厘清該模型結(jié)構(gòu)。教師可根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)選擇例題，如針對(duì)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、具有一定建模思維的學(xué)生，教師可選擇第二類例題，指導(dǎo)學(xué)生合作總結(jié)其數(shù)學(xué)模型。而針對(duì)學(xué)生能力偏弱、缺乏建模思維的學(xué)生，教師可選擇第一類習(xí)題，以直截了當(dāng)?shù)姆绞酱龠M(jìn)其發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，形成建模思維。例題講解完畢后，教師可以讓學(xué)生復(fù)述探究過程，用自己的語(yǔ)言總結(jié)相關(guān)數(shù)學(xué)模型。學(xué)生親身經(jīng)歷了探究和思考過程，在復(fù)述中又進(jìn)行了總結(jié)性學(xué)習(xí)，因此學(xué)習(xí)效果必然理想。

（3）通過習(xí)題任務(wù)培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。習(xí)題任務(wù)訓(xùn)練是概率論公認(rèn)的難點(diǎn)，也是學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思維的必要手段。教師要基于數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合，在習(xí)題任務(wù)中培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。在此期間，教師可以采取分層教學(xué)方法，根據(jù)學(xué)生差異設(shè)計(jì)遞進(jìn)式習(xí)題任務(wù)，以滿足不同學(xué)生的習(xí)題訓(xùn)練需求和建模思維發(fā)展需要[6]。對(duì)比例題分析教學(xué)，習(xí)題任務(wù)訓(xùn)練的難度更大，學(xué)生更容易在學(xué)習(xí)過程中遇到阻礙。教師應(yīng)未雨綢繆，制定“阻礙預(yù)案”。例如，教師可以幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)小組，發(fā)揮小組優(yōu)勢(shì)，促進(jìn)學(xué)生思維互動(dòng)，提升學(xué)生建模思維。在選擇習(xí)題任務(wù)時(shí)，教師可將教材視為習(xí)題資源庫(kù)，然后著眼于生活引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)訓(xùn)練。高教版概率論教材編排了習(xí)題欄目，并將習(xí)題努力分布在不同章節(jié)，如第三章“多維隨機(jī)變量及其分布”教材內(nèi)容，包含“多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布”“邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性”“多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布”等五個(gè)小節(jié)，每節(jié)都設(shè)計(jì)了對(duì)應(yīng)核心內(nèi)容的習(xí)題欄目，如習(xí)題3.1、習(xí)題3.2等。教師可以“由面到線”“由線到點(diǎn)”“由點(diǎn)拓展”，完善實(shí)際教學(xué)習(xí)題設(shè)計(jì)，為學(xué)生布置合理習(xí)題任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生建模思維。在“多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布”教學(xué)中，教師可基于習(xí)題3.3的具體內(nèi)容布置習(xí)題任務(wù)。首先，教師可根據(jù)難度將習(xí)題劃分低、中、高三個(gè)等級(jí)，梳理“由簡(jiǎn)到難”的習(xí)題任務(wù)實(shí)施線索。其次，教師在三個(gè)等級(jí)的習(xí)題資源中，各選擇2道具有代表性的習(xí)題，要求學(xué)生根據(jù)能力差異領(lǐng)取對(duì)應(yīng)任務(wù)，展開小組探究，構(gòu)建解題模型。最后，教師可根據(jù)“多維隨機(jī)變量函數(shù)”在生活中的應(yīng)用情況，以習(xí)題為基礎(chǔ)，補(bǔ)充生活化習(xí)題資源，并鼓勵(lì)學(xué)生遷移運(yùn)用教材習(xí)題解題模型完成生活化習(xí)題任務(wù)，以促使學(xué)生逐漸養(yǎng)成在數(shù)學(xué)習(xí)題中提煉數(shù)學(xué)模型的良好習(xí)慣。

2.利用建模思想，豐富概率論課堂

教師應(yīng)利用數(shù)學(xué)建模思想，豐富概率論課堂。在學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思維，滿足數(shù)學(xué)建模與概率論深度融合的基本要求后，教師應(yīng)以課堂為主陣地，落實(shí)數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合。具體來說，教師可以立足概率論課堂“導(dǎo)入教學(xué)”與“解決問題”兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，提高課堂教學(xué)有效性。

（1）利用建模思想導(dǎo)入教學(xué)。以高教版數(shù)學(xué)教材為代表，概率論教材多以對(duì)知識(shí)內(nèi)容的直接編排為主，鮮少在章節(jié)或課時(shí)前設(shè)計(jì)知識(shí)導(dǎo)入欄目，導(dǎo)致一些教師缺少教學(xué)導(dǎo)入意識(shí)。在此情況下，教師在課堂單刀直入地講解知識(shí)，較難調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，自然影響數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合。教師可以轉(zhuǎn)換思路，利用建模思想導(dǎo)入教學(xué)[7]。在導(dǎo)入過程中，教師可以直接向?qū)W生布置趣味思考任務(wù)，也可以創(chuàng)設(shè)情境，將核心知識(shí)與數(shù)學(xué)游戲、日常生活聯(lián)系起來，以此激發(fā)學(xué)生想象力，使學(xué)生在聯(lián)想中感悟數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)習(xí)興趣。例如，“樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)”教學(xué)要求學(xué)生在“統(tǒng)計(jì)量及其分布”背景下，分別建立關(guān)于樣本分位數(shù)和中位數(shù)的數(shù)學(xué)模型。教師可基于兩個(gè)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)在差異，設(shè)計(jì)“找不同”數(shù)學(xué)游戲。課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師將蘊(yùn)含數(shù)學(xué)模型的“樣本分位數(shù)”與“樣本中位數(shù)”數(shù)學(xué)實(shí)踐案例直接展示給學(xué)生，引出“找不同”游戲：相信通過之前的學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)了解統(tǒng)計(jì)量及其分布的基礎(chǔ)內(nèi)容，而且在許多統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)中，同學(xué)們已經(jīng)掌握“什么是樣本中位數(shù)”。那么，如何理解“樣本分位數(shù)”呢？這里有兩份資料，請(qǐng)找出它們的不同，概括“樣本分位數(shù)”。兩份資料的對(duì)比，能滿足學(xué)生“找不同”游戲化學(xué)習(xí)需求，創(chuàng)造趣味學(xué)習(xí)情境，學(xué)生可基于對(duì)比分析所得，大膽猜測(cè)、小心求證，自主發(fā)現(xiàn)樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)的數(shù)學(xué)模型差異，體會(huì)模型思想。另外，通過把握數(shù)學(xué)模型差異，學(xué)生能夠精準(zhǔn)區(qū)分樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)，提高學(xué)習(xí)效率。

（2）利用建模思想解決問題。課堂導(dǎo)入成功、學(xué)生順利進(jìn)入主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用建模思想解決問題。概率論課堂豐富與否，解決問題效果起著決定性作用。而數(shù)學(xué)建模，是解決問題的有效策略。在開展課堂教學(xué)活動(dòng)期間，教師可以基于前期鋪墊設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生利用建模思想解決問題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模解決問題的探究過程，從而增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。除上文提到的習(xí)題任務(wù)外，學(xué)生自行開發(fā)問題也是利用建模思想解決問題的形式之一。在概率論教學(xué)中，學(xué)生基本實(shí)現(xiàn)了深層發(fā)展，具備數(shù)學(xué)問題的自主開發(fā)能力。教師可根據(jù)學(xué)生基本學(xué)情，鼓勵(lì)學(xué)生自主開發(fā)數(shù)學(xué)問題，并在開發(fā)問題期間運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想[8]。例如，在教學(xué)“三大抽樣分布”時(shí)，教師可以在完成基礎(chǔ)教學(xué)任務(wù)，并建立三種抽樣分布數(shù)學(xué)模型后，鼓勵(lì)學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)模型自主開發(fā)問題。學(xué)生成功開發(fā)問題后，教師可讓學(xué)生相互交換問題，這樣，學(xué)生主導(dǎo)問題開發(fā)，豐富概率論問題教學(xué)活動(dòng)，可促進(jìn)數(shù)學(xué)模型在問題中的應(yīng)用。學(xué)生先運(yùn)用數(shù)學(xué)模型開發(fā)問題，運(yùn)用模型思想，再加強(qiáng)模型思想的運(yùn)用，利用數(shù)學(xué)模型解決創(chuàng)意問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模實(shí)力，保障數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合。

3.延伸數(shù)學(xué)建模，創(chuàng)新概率論作業(yè)

作業(yè)具有鞏固教學(xué)功能，是概率論“增效”的常用手段。教師將數(shù)學(xué)建模滲透于概率論作業(yè)，同時(shí)監(jiān)督學(xué)生利用課余時(shí)間完成作業(yè)任務(wù)，一方面有助于學(xué)生在課后繼續(xù)進(jìn)行相關(guān)探究，另一方面有助于學(xué)生復(fù)習(xí)和吸收相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)。教師可以延伸數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合空間，適當(dāng)創(chuàng)新作業(yè)內(nèi)容。以“參數(shù)估計(jì)”教學(xué)為例，“點(diǎn)估計(jì)的幾種方法”“點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)”“最小方差無偏差估計(jì)”等內(nèi)容，都可以成為創(chuàng)新概率論作業(yè)的起點(diǎn)，融入數(shù)學(xué)模型。也就是說，教師可以在其教學(xué)中創(chuàng)新作業(yè)設(shè)計(jì)與應(yīng)用，延伸數(shù)學(xué)建模。而生活，是創(chuàng)新概率論作業(yè)的重要資源。教師可以立足于現(xiàn)實(shí)生活，分析參數(shù)估計(jì)與生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)聯(lián)系，從而提出“用點(diǎn)估計(jì)方法估計(jì)生活現(xiàn)象”這一開放性作業(yè)任務(wù)。教師可將作業(yè)通過網(wǎng)絡(luò)途徑推送給學(xué)生，使學(xué)生在課后自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以進(jìn)一步鍛煉學(xué)生基于數(shù)學(xué)建模的解題能力。學(xué)生由于個(gè)性因素影響，對(duì)不同生活現(xiàn)象的好奇程度存在差別，故而可以在作業(yè)任務(wù)中，根據(jù)自身興趣選擇點(diǎn)估計(jì)對(duì)象。在完成作業(yè)任務(wù)過程中，學(xué)生靈活構(gòu)建函數(shù)模型并解決實(shí)際問題，加強(qiáng)對(duì)真實(shí)情境的深度思考，提升數(shù)學(xué)建模思維。在作業(yè)檢驗(yàn)階段，教師可根據(jù)學(xué)生點(diǎn)估計(jì)對(duì)象差異分類點(diǎn)評(píng)學(xué)生作業(yè)。由于點(diǎn)估計(jì)對(duì)象不同，學(xué)生對(duì)點(diǎn)估計(jì)方法的具體應(yīng)用也應(yīng)存在一定區(qū)別。例如，在一些點(diǎn)估計(jì)對(duì)象中，學(xué)生運(yùn)用替換原理和矩法估計(jì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在另一些點(diǎn)估計(jì)對(duì)象中，學(xué)生構(gòu)建最大似然估計(jì)的數(shù)學(xué)模型。教師分類點(diǎn)評(píng)學(xué)生作業(yè)，有助于將學(xué)生構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型建立起對(duì)比關(guān)系，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生比較學(xué)習(xí)。比較期間，學(xué)生可以進(jìn)一步分析不同數(shù)學(xué)模型的優(yōu)缺點(diǎn)，從而拓寬數(shù)學(xué)建模思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合。

總之，根據(jù)實(shí)際問題建立和求解數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型結(jié)果解決問題，能夠降低概率論課程的抽象性，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生拓展學(xué)習(xí)和全面發(fā)展。因此，概率論課程教師要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用價(jià)值，積極總結(jié)數(shù)學(xué)建模與概率論的深度融合方法，有效將數(shù)學(xué)建模與概率論融合在一起，以提高概率論課程質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

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Exploration of the Deep Integration of Mathematical Modeling and Probability Theory Teaching

Wang Yanbing

（School of Linfen， Shanxi Normal University， Linfen 041099， China）

Abstract： Mathematical modeling is of great significance for students to discover the basic laws of mathematics. The deep integration of mathematical modeling and probability theory is an important trend in the current development of probability theory， which has the value of interest leading， expanding learning， and comprehensive development. It can not only improve the quality of probability theory teaching， but also cultivate students’ mathematical abilities. The article is based on the concept definition of mathematical modeling， analyzes the integration value of mathematical modeling and probability theory， points out that cultivating students’ modeling thinking based on core knowledge， enriching probability theory classrooms with modeling ideas， and extending the deep integration strategy of mathematical modeling and probability theory in mathematical modeling innovation probability theory homework， aiming to provide some inspiration for related research and practice.

Key words： universities； mathematical modeling； teaching probability theory； deep fusion； mathematical thinking； modeling thinking