高考數(shù)學(xué)命題系統(tǒng)的構(gòu)建與運(yùn)用

何小亞 張艷虹 羅靜 陳友芳

1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 2.韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(512005)3.華南師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)與社會(huì)研究院(510006)

一、引言

中國教育部于2016 年9 月13 日正式發(fā)布了《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架[1].這一框架明確了各個(gè)學(xué)科教育的最終目標(biāo)是學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng),即: 學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中,逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.

中國教育部考試中心于2020 年1 月6 日正式發(fā)布《中國高考評(píng)價(jià)體系》和《中國高考評(píng)價(jià)體系說明》.這一評(píng)價(jià)體系最大的創(chuàng)新表現(xiàn)在: 一是充分發(fā)揮高考“指揮棒”的作用,引領(lǐng)基礎(chǔ)教育踐行“立德樹人”的素質(zhì)教育; 二是由傳統(tǒng)的“知識(shí)立意”“能力立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的綜合評(píng)價(jià)理念的轉(zhuǎn)變;三是由基于“考查內(nèi)容”的一維評(píng)價(jià)模式向“考查內(nèi)容、考查要求、考查載體”三位一體評(píng)價(jià)模式的轉(zhuǎn)變[2].那么,如何具體落實(shí)上述三個(gè)創(chuàng)新是各個(gè)學(xué)科必須解決的問題.華南師范大學(xué)的陳友芳教授就政治學(xué)科的測(cè)評(píng)做出了開拓性的探索[3-7].教育部考試中心的任子朝研究員及其團(tuán)隊(duì)則就數(shù)學(xué)學(xué)科的高考測(cè)評(píng)做了基礎(chǔ)性和開創(chuàng)性的研究[8-13].

于涵等人(2018)提出:“新一輪高考改革提出了必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值四層考核目標(biāo),使高考的考試目標(biāo)更加豐富、更加科學(xué).高考數(shù)學(xué)科在考查過程中要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.”[14]

在“一核四層四翼”評(píng)價(jià)模型中,“學(xué)科素養(yǎng)”的考查,要求學(xué)生能夠在不同情境下綜合利用所學(xué)知識(shí)和技能處理復(fù)雜任務(wù),具有扎實(shí)的學(xué)科觀念和寬闊的學(xué)科視野,并體現(xiàn)出自身的實(shí)踐能力、創(chuàng)新精神等內(nèi)化的綜合學(xué)科素養(yǎng).

筆者認(rèn)為,學(xué)科素養(yǎng)是指滿足學(xué)生自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必備的學(xué)科方面的品格和能力,是學(xué)科的知識(shí)、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體.

任子朝、陳昂、趙軒(2018)指出:“數(shù)學(xué)科高考要研究和確定核心素養(yǎng)的考核目標(biāo).對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測(cè)量要以知識(shí)為基礎(chǔ),以數(shù)學(xué)思想方法為引領(lǐng),以情境為載體,注重綜合性和層次性.”[12]

筆者認(rèn)為,通過高考評(píng)價(jià)來選拔學(xué)生,滿足高校的需要和國家的需要,這件事必須上通核心素養(yǎng),實(shí)現(xiàn)“立德樹人”的核心價(jià)值要求;下達(dá)一線教學(xué),解決教育教學(xué)中存在的問題,實(shí)現(xiàn)引領(lǐng)教學(xué)的目的.要實(shí)現(xiàn)這一“立德樹人、服務(wù)選才、導(dǎo)向教學(xué)”的目標(biāo),需要構(gòu)建具備科學(xué)性、操作性、有效性以及能測(cè)量的學(xué)科高考命題系統(tǒng).

2022 年11 月12 日,筆者對(duì)某市某區(qū)13 份數(shù)學(xué)高考命題多維細(xì)目表做了評(píng)價(jià),發(fā)現(xiàn)存在著以下共同的硬傷: (1)用六條高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析”作為測(cè)量的關(guān)鍵能力,不具備科學(xué)性和操作性; (2)數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)的內(nèi)涵、外延不清楚,操作時(shí)出現(xiàn)與關(guān)鍵能力重疊交叉;(3)必備知識(shí)的能力層次不符合劃分的標(biāo)準(zhǔn);(4)未能區(qū)分高考中能考察的核心素養(yǎng)與學(xué)科教育中的核心素養(yǎng);(5)未能對(duì)“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”“理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化”做出科學(xué)性和操作性的細(xì)分;(6)缺乏分析數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)的專業(yè)標(biāo)準(zhǔn).

為解決上述問題,筆者運(yùn)用質(zhì)性研究方法,就數(shù)學(xué)學(xué)科的高考命題研究以下五個(gè)問題: (1)高考數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵、外延是什么? (2)數(shù)學(xué)必備知識(shí)系統(tǒng)由哪些知識(shí)模塊和知識(shí)組塊構(gòu)成? (3)高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論框架是什么? (4)有效地分析數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)的評(píng)價(jià)模型是什么,運(yùn)用效果如何? (5)數(shù)學(xué)試題命制的創(chuàng)新策略有哪些?

二、研究結(jié)果

(一)高考數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的具體化,是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后所形成的、具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的關(guān)鍵成就,是數(shù)學(xué)育人價(jià)值的集中體現(xiàn),它是重要的、關(guān)鍵的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

何小亞(2015) 梳理全球各個(gè)國家的數(shù)學(xué)素養(yǎng)后提出:“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指滿足學(xué)生自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力,是數(shù)學(xué)的知識(shí)、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體.其構(gòu)成要素包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀.”[15]

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)體在面對(duì)純數(shù)學(xué)問題情境或?qū)嶋H問題情境時(shí),能夠綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)能力、思維方法和探究技能去發(fā)現(xiàn)提出問題與分析解決問題的綜合品質(zhì), 是知識(shí)和能力、觀念與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合.綜合文獻(xiàn)[8,15-16]的研究結(jié)論,筆者認(rèn)為,高考數(shù)學(xué)素養(yǎng)是考生面對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)情境時(shí),能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、能力和思想方法,正確合理地理解問題、分析問題和解決問題的綜合品格.它是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累和構(gòu)建起來的,是知識(shí)、能力、思想方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合.高考數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)必備知識(shí)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(二)數(shù)學(xué)必備知識(shí)系統(tǒng)的構(gòu)建

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》[17],確定數(shù)學(xué)必備知識(shí)系統(tǒng)由18 個(gè)知識(shí)模塊和68 個(gè)知識(shí)組塊構(gòu)成;每個(gè)知識(shí)組塊由若干概念、原理、事實(shí)等知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成;一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是一個(gè)概念或者一個(gè)原理或者一個(gè)事實(shí).

數(shù)學(xué)必備知識(shí)的認(rèn)知要求分為心理意義和操作運(yùn)用兩類.[18]數(shù)學(xué)必備知識(shí)的心理意義有兩個(gè)層次,了解: 能回憶出知識(shí)的言語信息;能辨認(rèn)出知識(shí)的常見例證;會(huì)舉例說明知識(shí)的相關(guān)屬性.理解: 能把握知識(shí)的本質(zhì)屬性;能與相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系;能區(qū)別知識(shí)的例證與反例.數(shù)學(xué)必備知識(shí)的操作運(yùn)用有兩個(gè)層次,掌握: 在理解的基礎(chǔ)上,能直接把知識(shí)運(yùn)用于新的情境.綜合運(yùn)用: 能綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題.

以必備知識(shí)中的知識(shí)組塊或者是其中的概念、原理知識(shí)點(diǎn)為列的內(nèi)容,以了解、理解、掌握、綜合運(yùn)用為行的內(nèi)容,就可以得到數(shù)學(xué)必備知識(shí)考察要求雙向細(xì)目表.利用此雙向細(xì)目表,可以為試卷的命制提供考查知識(shí)點(diǎn)和層次要求的依據(jù),達(dá)到明確測(cè)驗(yàn)?zāi)繕?biāo),合理分配內(nèi)容及其份量,提高命制試卷的效率和質(zhì)量.多年的高考命題經(jīng)驗(yàn)表明,如上修訂過后的雙向細(xì)目表仍然解決不了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查目標(biāo)和試題的難度判斷問題,需要構(gòu)建更科學(xué)、更具體、更具操作性的高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)系統(tǒng)以及數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)模型.

(三)高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)系統(tǒng)的構(gòu)建

綜合文獻(xiàn)[8,15-16]的研究結(jié)論,結(jié)合可操作性和能考查測(cè)量的要求,確定高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)思想.關(guān)鍵能力主要包括: 數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、空間觀念、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)創(chuàng)新(見表2).數(shù)學(xué)思想主要包括: 化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、特殊與一般、隨機(jī)與推斷(見表3).綜上得到高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架(見表4).

表1 數(shù)學(xué)必備知識(shí)的模塊與組塊

表3 數(shù)學(xué)思想

表4 高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架

(四)數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的構(gòu)建與運(yùn)用

評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題、試卷的難度是考試測(cè)評(píng)的重要內(nèi)容.關(guān)于試題的難度,有兩個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn).一是相對(duì)難度,即從考生的角度,計(jì)算考生的平均分得分率.一般來說,小于0.4 是難題,大于0.7 是容易題,在0.4 和0.7 之間屬于中等題;二是絕對(duì)難度,即從試題本身、從數(shù)學(xué)解題思維的角度考慮.目前絕對(duì)難度的完全量化還做不到,但何小亞(2008)提出了一個(gè)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題難度的三維標(biāo)準(zhǔn): 一看知識(shí)點(diǎn)的多少,二看從已知到答案需要的步驟多少,三看步驟間跨度的大小[19]P21.前面兩個(gè)指標(biāo)是可以量化的,但第三個(gè)指標(biāo)只能定性分析,像輔助線的連接、函數(shù)的構(gòu)造、無法具體化只能憑想象進(jìn)行思維操作的對(duì)象、思路的選擇多但只有一條奏效、甚至是無功而返,都是跨度大的表現(xiàn).[20]根據(jù)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題難度的三維標(biāo)準(zhǔn)得出,數(shù)學(xué)試題評(píng)價(jià)模型由題型、賦分、知識(shí)點(diǎn)數(shù)、問題理解、解題步數(shù)、步間跨度和難易程度構(gòu)成(見表5).

表5 數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)模型

幾點(diǎn)說明

1.知識(shí)點(diǎn)數(shù): 一個(gè)概念或者一個(gè)原理(定理、性質(zhì)、推論、公式、法則)或者一個(gè)事實(shí)就叫做一個(gè)知識(shí)點(diǎn).需要給出知識(shí)點(diǎn)的總數(shù),并羅列出具體的知識(shí)點(diǎn).

2.問題理解: 即是問題空間(problem space)的建構(gòu).是解題者閱讀問題,明確題設(shè)和目標(biāo)的過程.問題理解受制于問題情境的復(fù)雜程度.情境簡單、題干簡短、概念清晰、題設(shè)和目標(biāo)明確為“易”;情境復(fù)雜、題干冗長、概念模糊、題設(shè)和目標(biāo)及其關(guān)系不明確為“難”;介于“難”“易”之間的為“中”.有時(shí)候需要畫圖或者畫示意圖或者只能憑借想象來幫助理解問題,這時(shí)候的問題理解不容易.

3.解題步數(shù): 由題設(shè)到結(jié)論的解題步驟總數(shù),即推理步驟總數(shù),也就是產(chǎn)生式總數(shù).一步推理就是一個(gè)產(chǎn)生式[21].

4.步間跨度: 在推理過程中由一個(gè)產(chǎn)生式轉(zhuǎn)向下一個(gè)產(chǎn)生式的流暢程度,可分為三級(jí): 流暢為“小”,不太流暢為“中”,不流暢為“大”.步間跨度大就是產(chǎn)生式之間的聯(lián)系困難,也就是難以想到.比如, ①理想化眼光(把實(shí)體簡化假設(shè)為幾何模式和代數(shù)模式); ②共性化眼光(對(duì)共同屬性的敏感、直覺與發(fā)現(xiàn)).例如,構(gòu)造函數(shù)模型比大小、利用單調(diào)性確認(rèn)值域、最值; ③數(shù)學(xué)思想, 比如, 化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般,等等; ④構(gòu)造基本圖形(比如,基本圖形的識(shí)別、想象、連輔助線而構(gòu)造基本圖形); ⑤選擇性障礙: 從多個(gè)目標(biāo)中選擇正確目標(biāo),這是一種符合乘法原理,幾何級(jí)數(shù)般放大難度的障礙.

5.難易程度: 由知識(shí)點(diǎn)數(shù)、問題理解、解題步數(shù)和步間跨度綜合考慮確定.運(yùn)用上述數(shù)學(xué)試題評(píng)價(jià)模型,筆者對(duì)2022年數(shù)學(xué)高考全國I 卷的8 道選擇題進(jìn)行分析.

A.{x|0 ≤x<2} B.

C.{x|3 ≤x<16} D.

解,所以,.

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 5——二次根式、不等式的性質(zhì)、乘法、除法、求交集;理解問題: 易;解題步數(shù): 4 個(gè)產(chǎn)生式;步間跨度: 小;難易程度: 易.

(2)若i(1-z)=1,則z+=( )

解由于,所以故z+=1+i+(1-i)=2.

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 6——復(fù)數(shù)加法、乘法、除法、i2=-1、共軛復(fù)數(shù)、移項(xiàng);理解問題: 易;解題步數(shù): 9 個(gè)產(chǎn)生式(1 除,2 移,3交換,4 乘i,5 算i2,6 負(fù)負(fù)得正,7 代入,8 去括號(hào),9 合并);基本功扎實(shí),具備“追求簡單化”靈魂的解題者只需5 步心算,秒殺! 步間跨度: 小;難易程度: 小.

(3) 在?ABC中, 點(diǎn)D在邊AB上,BD= 2DA, 記,則

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

解.

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 4——向量的加法、減法、乘法、三角形法則;理解問題: 中,需要畫圖理解;解題步數(shù): 產(chǎn)生式6 個(gè);步間跨度: 中(第1 步和第2 步都是二選一);難易程度: 中.

(4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí), 相應(yīng)水面的面積為140.0 km2; 水位為海拔157.7m 時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0 km2, 將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫水位從海拔148.5m 上升到157.7m 時(shí),增加的水量約為( )

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

解

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 11——海拔高度、水面面積、棱臺(tái)、增加水量、棱臺(tái)體積公式、加、減、乘、除、乘方、開方; 理解問題: 難(背景復(fù)雜,需要畫圖理解);解題步數(shù): 產(chǎn)生式11 個(gè);步間跨度:大——第1 步問題理解困難,第2 步公式記憶不容易; 難易程度: 難.

(5)從2 至8 的7 個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選取2 個(gè)不同的數(shù),則這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為( )

解基本事件總數(shù)為,兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的基本事件為(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8)共14 個(gè),所以兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 8——整數(shù)、隨機(jī)、互質(zhì)、概率、組合數(shù)公式、加、乘、除法;理解問題: 中(隨機(jī)、互質(zhì)、概率);解題步數(shù): 產(chǎn)生式18 個(gè);步間跨度: 中——互質(zhì)數(shù)對(duì)的計(jì)數(shù)并不簡單;難易程度: 中.

解由題設(shè)知b= 2,由,及,k∈Z,求得.所以,

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 11——弦振動(dòng)函數(shù)、縱向平移、最小正周期、不等式、中心對(duì)稱、周期公式、零點(diǎn)是中心對(duì)稱點(diǎn)、加、減、乘、除;理解問題: 難(畫示意圖理解問題)解題步數(shù): 產(chǎn)生式17個(gè)(1+11+5);步間跨度: 大——零點(diǎn)是中心對(duì)稱、求b;難易程度: 難.

(7)設(shè)a=0.1e0.1,,c=-ln 0.9,則( )

A.a

解令a=xex,,c=-ln(1-x).

①lna- lnb=x+ lnx- (lnx- ln(1 -x));y=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],,所以y<0,所以lna-lnb<0,故b>a;

②a-c=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],

令k(x) = (1 +x)(1 -x)ex- 1, 所以k′(x) =(1-x2-2x)ex> 0, 所以k(x) >k(0) > 0,y′> 0.所以a-c>0,故a>c.

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 14——指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算、不等式、4 個(gè)求導(dǎo)公式、用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、加、減、乘、除、分式通分;理解問題: 易;解題步數(shù): 產(chǎn)生式43 個(gè)(13+13+17);步間跨度: 大——構(gòu)造前三個(gè)函數(shù)、構(gòu)造函數(shù)k(x);難易程度: 難.

(8)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l,其各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該球的體積為36π且,則該正四棱錐體積的取值范圍是( )

解根據(jù)題意易求球的半徑為R= 3.設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長為a(如圖所示),于是根據(jù)勾股定理可構(gòu)建如下方程組:

圖1

知識(shí)點(diǎn)數(shù): 18——正四棱錐概念、棱錐體積公式、球概念、球體積公式、勾股定理、二元二次方程組求解、換元法、兩個(gè)求導(dǎo)公式、用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、最大值、最小值、加、減、乘、除、乘方、開方;理解問題: 難(球心的位置有三種可能,畫圖困難);解題步數(shù): 產(chǎn)生式62 個(gè)(求半徑6+求體積式16+取值范圍40=2+3+7+4+8+7+8+1);步間跨度: 大——畫圖困難、選擇性障礙、換元構(gòu)造函數(shù);難易程度: 難.

這8 道選擇題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)情況見表6

表6 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查表

(五)數(shù)學(xué)試題命制的創(chuàng)新策略

結(jié)合多年的數(shù)學(xué)高考命題或命題組長工作經(jīng)驗(yàn),要想命制出從未問世的中上難度以上的數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題,首先,命題者必須具備數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維“十字訣”: 假(假設(shè))、列(列舉)、比(比較)、替(替代)、除(突破常規(guī)想法),可(可能性推測(cè))、想(想象)、組(組合)、六(六W 問題)、類(類比推廣)[22];其次,命題者要掌握以下五種基本的數(shù)學(xué)試題創(chuàng)新策略.

(1)簡單變復(fù)雜

①增加知識(shí)點(diǎn); 增加解題步驟; 設(shè)置跨度大的解題步驟; ②弱化、減少條件;類比;變換;構(gòu)建一個(gè)同構(gòu)問題;一般化;系統(tǒng)轉(zhuǎn)換.

例1(Ⅰ) 寫出并證明勾股定理;(Ⅱ) 請(qǐng)將勾股定理推廣到三維空間,并判斷所推廣的命題的真假.若真,請(qǐng)給予證明;若假,請(qǐng)舉出反例.

例2(Ⅰ)試證明定理P:平行四邊形兩條對(duì)角線的平方之和等于其四條邊的平方之和;(Ⅱ)請(qǐng)將定理P 推廣到三維空間,并判斷所推廣的命題的真假.若真,請(qǐng)給予證明;若假,請(qǐng)舉出反例.

例3由圖2 有面積關(guān)系,則由圖3 有體積關(guān)系

圖2

圖3

例4在平面幾何里,有勾股定理“:設(shè)三角形ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB2+AC2=BC2”,拓展到空間類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系,可得出正確的結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC,ACD,ADB兩兩垂直,則____.

例5等差數(shù)列{an} 具有如下性質(zhì):an-an-1=d;; 等比數(shù)列{an}具有如下性質(zhì): ,.類比出等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之積為____.

(2)復(fù)雜變簡單

以難題、大學(xué)問題、競賽題為基礎(chǔ),使用以下使復(fù)雜變簡單的策略進(jìn)行試題創(chuàng)新: 增加條件;降維;變換;特殊化(具體化、賦值、特例).

例6數(shù)學(xué)分析中Lipschitz 函數(shù)的初等化.

A是定義在[2.4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:

①對(duì)任意的x∈[1,2] , 都有φ(2x) ∈(1,2); ②存在常數(shù)L(0

(II) 設(shè)φ(x) ∈A, 如果存在x0∈(1,2), 使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;

(III) 設(shè)φ(x) ∈A, 任取x1∈ (1,2), 令xn-1=φ(2xn),n= 1,2,··· , 證明: 給定正整數(shù)k, 對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式.

例7函數(shù)的Maclaurin 級(jí)數(shù)展開式.

(II)證明:an=n!e-[n!e],這里[x]表示實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分;

(III)證明: e 是無理數(shù).

(3)命題自身結(jié)構(gòu)的重構(gòu)

根據(jù)原命題構(gòu)造逆命題、否命題、逆否命題、偏逆命題.正確就證明,錯(cuò)誤就舉出反例,開放性得到體現(xiàn).

例8(Ⅰ)試證明定理P:平行四邊形兩條對(duì)角線的平方之和等于其四條邊的平方之和.

(Ⅱ)請(qǐng)寫出定理P 的逆命題,并判斷其真假.若真,請(qǐng)給予證明;若假,請(qǐng)舉出反例.

(4)命題之間的組合

把命題A和命題B并列組合、交叉組合(A∩B=C將C弱化或去除部分因素)構(gòu)造創(chuàng)新試題;通過知識(shí)點(diǎn)組合或者知識(shí)之間的聯(lián)系組合,或者圖形組合來構(gòu)造新試題.

例9(圖形組合)如圖4 所示,AF、DE分別是圓O、圓O1的直徑,AD與兩圓所在的平面均垂直,AD= 8.BC是圓O的直徑,AB=AC=6,OE//AD.

圖4

(I)求二面角B-AD-F的大小;

(II)求直線BD與EF所成的角.

例10(函數(shù)與立體幾何組合)如圖5 所示,等腰△ABC的底邊, 高CD= 3, 點(diǎn)E是線段BD上異于B、D的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)F在邊BC上,且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.記BE=x,V(x)表示四棱雉P-ACFE的體積.

圖5

(I)求V(x)的表達(dá)式;

(II)當(dāng)x為何值時(shí),V(x)取得最大值?

(III)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí),求異面直線AC與PF所成角的余弦值.

例11(圖形組合,動(dòng)靜組合)如圖6 所示, 已知曲線C:y=x2與直線l:x-y+2 = 0 交于兩點(diǎn)A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA

(I)若點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn),試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程;

例12(集合與不等式組的組合) 若集合E={(p,q,r,s) | 0 ≤p

A.200 B.150 C.100 D.50

(5)試題形式創(chuàng)新

試題的形式要求表述新、背景新、設(shè)問新.聯(lián)系實(shí)際(生活、生產(chǎn)、自然、跨學(xué)科);數(shù)學(xué)建模; 數(shù)學(xué)探究; 開放性問題;存在性問題;新的定義(定義新概念、定義新運(yùn)算、定義新性質(zhì))

例13(背景創(chuàng)新,數(shù)學(xué)探究)

在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的展品,其中第1 堆只有1 層,就一個(gè)球;第2,3,4,··· 堆,最底層(第一層)分別按圖7 所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù),則f(3) =____;f(n)=____.(答案用n表示).

圖7

例14(新概念、新運(yùn)算)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合.在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“?”(即對(duì)任意的a,b∈S,對(duì)于有序元素對(duì)(a,b), 在S中有唯一確定的元素a?b與之對(duì)應(yīng)).若對(duì)于a,b∈S, 有a?(b?a) =b, 則對(duì)任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( )

A.(a?b)?a=aB.[a?(b?a)]?(a?b)=a

C.(b?b)?b=bD.(a?b)?[b?(a?b)]=b

例15(數(shù)學(xué)探究,分類討論)已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2, 點(diǎn)P(x1,y1),Q(x1,-y1) 是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(I)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程;

(II)若過點(diǎn)H(0,h)(h> 1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1⊥l2,求h的值.

例16(新定義, 數(shù)學(xué)探究)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn),現(xiàn)定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離ρ(A,B)為ρ(A,B) = |x2-x1|+|y2-y1|.對(duì)于平面xOy上給定的不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)

(I)若點(diǎn)C(x,y)是平面xOy上的點(diǎn),試證明:ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);

(II)在平面xOy上是否存在點(diǎn)C(x,y),同時(shí)滿足

①ρ(A,C) +ρ(C,B) =ρ(A,B); ②ρ(A,C) =ρ(C,B).若存在, 請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn); 若不存在,請(qǐng)予以證明.

三、研究結(jié)論

(一)高考數(shù)學(xué)素養(yǎng)是考生面對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)情境時(shí),能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、能力和思想方法,正確合理地理解問題、分析問題和解決問題的綜合品格.它主要包括數(shù)學(xué)必備知識(shí)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(二)數(shù)學(xué)必備知識(shí)系統(tǒng)由高中數(shù)學(xué)18 個(gè)知識(shí)模塊和68個(gè)知識(shí)組塊構(gòu)成.

(三)高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論框架由兩個(gè)一級(jí)指標(biāo)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)思想構(gòu)成,關(guān)鍵能力主要包括: 數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、空間觀念、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)創(chuàng)新;數(shù)學(xué)思想主要包括: 化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、特殊與一般、隨機(jī)與推斷.

(四)有效地分析數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)的評(píng)價(jià)模型見表5.運(yùn)用此模型, 對(duì)2022 年數(shù)學(xué)高考全國I 卷的8 道選擇題進(jìn)行分析,其結(jié)果與最終的試題相對(duì)難度完全一致.這一結(jié)果驗(yàn)證了文獻(xiàn)[23]的研究結(jié)論.

(五)數(shù)學(xué)試題命制的創(chuàng)新策略有簡單變復(fù)雜;復(fù)雜變簡單;命題自身結(jié)構(gòu)的重構(gòu);命題之間的組合;試題形式的創(chuàng)新.

四、問題討論

(一)數(shù)學(xué)特點(diǎn)問題

數(shù)學(xué)自身獨(dú)有的、有別于其余學(xué)科的特點(diǎn)是: 精確、嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔、概括和聯(lián)系統(tǒng)一[24].這是命制高質(zhì)量的數(shù)學(xué)試題和試卷的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn).考查不同知識(shí)模塊之間的聯(lián)系統(tǒng)一是創(chuàng)新題、難題的主要任務(wù),由此體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的命題要求.

(二)數(shù)學(xué)思想問題

數(shù)學(xué)的靈魂是“追求簡單化! ”而化歸則是這一靈魂實(shí)現(xiàn)的思想.公理化思想是數(shù)學(xué)所特有的思想,它是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)發(fā)展的重要基礎(chǔ).筆者將其歸入“數(shù)學(xué)創(chuàng)新”指標(biāo)中來考查.而統(tǒng)計(jì)思想、隨機(jī)思想則歸入“隨機(jī)與推斷”指標(biāo).

(三)中國高中六條數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題

數(shù)學(xué)抽象實(shí)際上屬于數(shù)學(xué)化, 其操作性定義是從數(shù)學(xué)世界或真實(shí)世界中提出數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理.筆者將其歸入“數(shù)學(xué)創(chuàng)新”中考查.邏輯推理歸入“數(shù)學(xué)推理”指標(biāo)中考查, 并按照數(shù)學(xué)教育的國際標(biāo)準(zhǔn), 劃分為演繹推理(deductive reasoning)——必然性推理;合情推理(plausible reasoning)——或然性推理[16].直觀想象歸入“空間觀念”和“數(shù)形結(jié)合”指標(biāo)中考查.數(shù)學(xué)建模則歸入“數(shù)學(xué)應(yīng)用”中考查.由于數(shù)學(xué)考試時(shí)間的限制,現(xiàn)有的高考并不能真正考查完整的數(shù)學(xué)建模過程,尤其是數(shù)學(xué)建模中體現(xiàn)理想化的“小循環(huán)”和“大循環(huán)”過程.

(四)試卷結(jié)構(gòu)、難度和題型問題

為了突出數(shù)學(xué)的“強(qiáng)國”地位,擴(kuò)大選拔考生分?jǐn)?shù)區(qū)間,解決分?jǐn)?shù)扎堆、選拔性不好的問題,以及解決語文、英語和數(shù)學(xué)三科“文重理輕”的結(jié)構(gòu)不平衡問題, 建議調(diào)整這三科的總分為: 語文150 分,英語100 分,數(shù)學(xué)200 分.數(shù)學(xué)考試時(shí)間調(diào)整為和語文一樣(150 分鐘)[23].考慮到文理合卷的現(xiàn)實(shí),比較好的難度分?jǐn)?shù)比例結(jié)構(gòu)是易20%、中30%、中上30%、難20%; 五道填空題, 可以選擇三道分別按照易、中; 中、中上;中上、難來設(shè)置兩空: 六道解答題都設(shè)置三問,前三道題的三問按照“易、中、中上”的難度設(shè)置,后三道題的三問按照“中、中上、難”的難度設(shè)置.不能把很多選擇題和填空題小題當(dāng)著解答大題來出.確定好創(chuàng)新題和難題后,一定要運(yùn)用雙向細(xì)目表來保證那些重要知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率,避免再出現(xiàn)重復(fù)內(nèi)容、重復(fù)方法的考查[23].

目前,多選題的計(jì)分原則是: 4 道題,每題5 分,共計(jì)20分.全部選對(duì)得5 分,部分選對(duì)無錯(cuò)得2 分,選錯(cuò)得0 分.由此看出,多項(xiàng)選擇題本質(zhì)上就是用考生的一個(gè)錯(cuò)誤否定了考生的多個(gè)正確,根據(jù)筆者多年命題的經(jīng)驗(yàn)以及廣大一線教師反饋的意見,建議學(xué)習(xí)上海卷簡化題型的趨勢(shì),取消多項(xiàng)選擇題.

(五)數(shù)學(xué)高考試題的情境問題

《中國高考評(píng)價(jià)體系說明》中指出,高考評(píng)價(jià)體系中的情境分為“生活實(shí)踐情境”和“學(xué)習(xí)探索情境”,并分成簡單情境與復(fù)雜情境兩個(gè)層次.考慮到數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特性,根據(jù)荷蘭著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家Hans.Freudenthal 的水平數(shù)學(xué)化與垂直數(shù)學(xué)化理論[25],筆者確定數(shù)學(xué)學(xué)科的情境分為真實(shí)世界的情境(社會(huì)生活情境、自然科學(xué)情境)和出純數(shù)學(xué)世界的情境.簡單的情境易于考生理解問題,復(fù)雜的情境是考生理解問題的障礙.

五、研究展望

對(duì)試題和試卷的難度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),需要利用此模型對(duì)過往試題的結(jié)構(gòu)(知識(shí)點(diǎn)數(shù)、問題理解、解題步數(shù)、步間跨度)進(jìn)行分析,再結(jié)合此題當(dāng)年的相對(duì)難度(考生考試結(jié)果的難度),最終從知識(shí)點(diǎn)數(shù)、問題理解、解題步數(shù)、步間跨度綜合確定相對(duì)合理、科學(xué)的難度判斷標(biāo)準(zhǔn).

問題理解是影響試題難易程度的重要指標(biāo),但它受制于解題者的水平,是個(gè)相對(duì)指標(biāo).那么如何確認(rèn)符合高考測(cè)量要求的這一絕對(duì)指標(biāo)的具體內(nèi)容是需要進(jìn)一步研究的問題.

表4 和表5 這兩個(gè)評(píng)價(jià)模型,也可以用于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)試題和試卷的評(píng)價(jià).筆者期待出現(xiàn)這一評(píng)價(jià)系統(tǒng)的應(yīng)用性研究.