三維可壓縮Navier-Stokes-Cahn-Hilliard 方程組Cauchy 問題解的適定性

侯東杰 趙奧明 陳亞洲

(北京化工大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

引 言

氣液兩相流或多相流在化學(xué)工程、航空航天、微生物等工業(yè)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用價值,吸引了大量學(xué)者對其進行研究。 與單相流相比,兩相流的研究由于存在擴散界面和相互作用而變得更加復(fù)雜。1958 年,Cahn 和Hilliard[1]引入界面自由能,提出著名的Cahn-Hilliard 方程來描述兩種不混溶流體之間的擴散界面。 后來Lowengrub 等[2]在Cahn -Hilliard 方程中加入了流體運動與擴散界面的相互作用,提出了Navier-Stokes-Cahn-Hilliard(NSCH)方程,該方程可更好地刻畫兩種可壓縮非混相流體流動的物理特性。 關(guān)于NSCH 方程的研究已經(jīng)有很多。 Abels 等[3]使用文獻[4]引入的框架,在不限制初值大小的情況下,證明了NSCH 方程在有界域上初邊值問題弱解的存在性。 Chen 等[5]證明了一維可壓縮NSCH 方程周期邊值和混合邊值問題解的適定性,隨后Chen 等[6]又研究了三維周期邊值問題強解的全局存在性及大時間行為。 王暐翼等[7]證明了帶有van der Waals 狀態(tài)一維NSCH 方程周期邊值解的適定性。 另一種常用的非混相兩相流模型是Navier-Stokes-Allen-Cahn 系統(tǒng)[8]。 以上兩個模型的本質(zhì)區(qū)別在于Navier-Stokes-Cahn-Hilliard 模型中關(guān)于相場的方程是一個四階方程,它相對于ρφ是守恒的,而Navier-Stokes-Allen-Cahn 中的相場方程是一個非守恒的二階方程。

在前人工作的基礎(chǔ)上,本文主要研究三維可壓縮NSCH 方程組的Cauchy 問題的適定性。 對于此類問題,我們克服了強非線性項帶來的困難,在初值小擾動的條件下通過能量方法證明了全局強解的存在唯一性。

1 模型的構(gòu)造及主要定理

考慮如下描述三維可壓縮非混相兩相流體流動的NSCH 偏微分方程組。

式中,ρ=ρ1+ρ2是混合流體總密度;u為流體的速度,且滿足ρu=ρ1u1+ρ2u2,ui、ρi(i=1,2)分別為第i種組分的速度和密度;?=?1-?2為組分間濃度差,?i=ρi/ρ;μ為化學(xué)勢;T為Cauchy 應(yīng)力張量;f為界面自由能密度。

式中,ν(?) ＞0,λ(?)≥0 為黏性系數(shù),ν(·),λ(·)∈C3(R)且λ+≥0;S為牛頓黏性張力,D(u) =為應(yīng)變張量;I為單位矩陣;壓力p是關(guān)于密度ρ的函數(shù),且滿足p′(ρ) ＞0。

f的計算公式為

我們要研究的模型滿足如下初始條件

式中,x= (x1,x2,x3),ρ為給定的一個正實數(shù),|?0| =1表示兩相流的初始時刻濃度差?0在無窮遠(yuǎn)處為1 或-1。 以下是本文的主要結(jié)論。

定理1如果初值(ρ0,u0,?0)滿足

則存在δ＞0,當(dāng)

那么方程(1) ～(4)存在唯一解(ρ,u,?)滿足

且

式中,用Hl,l＞0 表示Hl(R3),L2表示L2(R3)。

2 主要定理的證明

證明定理1 全局解存在性的思路如下:在方程組局部解存在的基礎(chǔ)上,運用能量估計方法得到解的一致估計,從而將其延拓到全局解。

2.1 局部解的存在性

令σ=ρ-ρ,?M＞0,0 ＜T＜∞,構(gòu)造解空間如下。

對方程組(1)采用線性化方法結(jié)合Schauder 不動點定理,可以得到如下局部強解的存在唯一性命題,這里略去證明,具體方法可參考文獻[9]。

命題1?M＞0,如果初始值(ρ0,u0,?0)滿足那么?T*＞0,方程(1)在X2M([0,T*])內(nèi)存在唯一局部解(ρ,u,?)。

2.2 全局解的存在性

設(shè)(σ,u,?)∈XM([0,T])為方程組(10)的局部解,將方程組(1)變形如下。

式中,

由解空間(9),結(jié)合Sobolev 嵌入定理可得,存在M0＞0 足夠小,使得?0 ＜M＜M0,從而有

命題2假設(shè)H2,則存在一個只依賴于初值和T的常數(shù)C,使得

命題2 的證明由以下4 個引理得到。

引理1若(σ,u,?)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,則

證明:設(shè)

由式(15)和方程組(1)中第一式得到

方程組(1)中第二式乘以u再積分,結(jié)合式(16)可得

方程組(10)中第三式乘以μ,并運用(10)中第四式,可得

將式(17)、(18)相加,得到

由式(9)、(11)、(15)可得

將式(19)在[0,T]上積分,結(jié)合式(20)得

且

故可得式(14)。

在方程組(10)中第四式兩邊乘以-Δ?,關(guān)于x積分得

由式(9)、(11)和H?lder 不等式得到

取M足夠小,可得

結(jié)合式(23)、(21)得到式(13),引理1 得證。

引理2若(σ,u,?)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,則

證明:將方程組(10)中第四式代入(10)中第三式,可得

由于

故可得

根據(jù)H?lder 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式對(i=1,2,…,6)進行估計。

因此,可得到

其中

其中α滿足

故

引理3若(σ,u,?)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,則

其中,

用同樣的方法可以對

進行估計,然后可得

故

用同樣的方法可得

引理4若(σ,u,?)∈XM([0,T])是方程(10)的局部解,則

式中,

由同樣的方法可得

故

3 結(jié)束語

本文研究了三維Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程組Cauchy 問題的適定性。 在初值小擾動的條件下,我們解決了相場?在估計過程中帶來的一些困難,證明了該方程全局解的存在唯一性。 該結(jié)果表明,在小擾動情況下,相分離狀態(tài)保持不變。 本文結(jié)果可為非混相兩相流的模擬計算提供理論基礎(chǔ)。