指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè):內(nèi)涵、價(jià)值與實(shí)現(xiàn)路徑

楊 杰, 程 嶺, 阮青林

(江蘇師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221116)

2021年7月,中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》,該《意見(jiàn)》指出“全面壓縮作業(yè)總量和時(shí)長(zhǎng)”“提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量,發(fā)揮作業(yè)診斷、鞏固、學(xué)情分析等功能”,并針對(duì)作業(yè)管理提出五項(xiàng)具體的要求[1]。可見(jiàn),作業(yè)改進(jìn)是實(shí)施“雙減”政策的必然要求。為響應(yīng)“雙減”政策的號(hào)召,切實(shí)提高作業(yè)設(shè)計(jì)的質(zhì)量以達(dá)到“減負(fù)提質(zhì)”的效果,學(xué)校積極探索單元作業(yè)設(shè)計(jì)。但是,公允地講,實(shí)踐效果不甚良好,與理想目標(biāo)還相去甚遠(yuǎn)。原因何在?梳理相關(guān)文獻(xiàn)可知,是由于作業(yè)設(shè)計(jì)缺乏中介理論的支撐,這里的“中介”在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程基本理念、課程內(nèi)容和課程目標(biāo)具體到學(xué)生的作業(yè)過(guò)程起著橋梁作用[2]。在“中介”理論的指導(dǎo)下,作業(yè)設(shè)計(jì)才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性、邏輯的關(guān)聯(lián)性、思維的系統(tǒng)性、方法的普適性和思想的一致性。為此,我們需要援引學(xué)習(xí)進(jìn)階理論作為中介,夯實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)作業(yè)設(shè)計(jì)的理論指導(dǎo),以期實(shí)現(xiàn)“雙減”背景下作業(yè)“提質(zhì)減量”的要求。

一、指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)的基本內(nèi)涵

(一)以知識(shí)為工具,知識(shí)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)化

指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)以“知識(shí)為工具,關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)”,旨在尋找知識(shí)間的連接點(diǎn),將零散的知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊、構(gòu)成體,幫助學(xué)生構(gòu)建整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)。具體來(lái)講,指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的單元作業(yè)本著整體性和結(jié)構(gòu)性的思想,以教材的自然單元為單位,將一類相同、相似知識(shí)進(jìn)行組合、排列,從而幫助學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)在頭腦中組織起來(lái),形成知識(shí)組塊,進(jìn)而建立知識(shí)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同生共長(zhǎng)。作業(yè)形成之前,教師會(huì)將單元零散的、斷裂的、散點(diǎn)的知識(shí)進(jìn)行梳理、歸納和整合,讓知識(shí)呈現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)。比如以《分?jǐn)?shù)的意義》這一單元為例,通過(guò)梳理知識(shí)結(jié)構(gòu),教師發(fā)現(xiàn),分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)容編排具有層次性,體現(xiàn)了螺旋上升的認(rèn)知策略。三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)一個(gè)物體的幾分之一、幾分之幾;三年級(jí)下冊(cè)重點(diǎn)學(xué)習(xí)一個(gè)整體的幾分之一、幾分之幾;五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),這既是對(duì)前面知識(shí)學(xué)習(xí)的一個(gè)統(tǒng)整,也為后續(xù)系統(tǒng)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算打下了基礎(chǔ);六年級(jí)除了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法和四則混合運(yùn)算外,比的認(rèn)識(shí)、百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、比例相關(guān)知識(shí)都是分?jǐn)?shù)的后續(xù)關(guān)聯(lián)內(nèi)容。可見(jiàn),關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)能夠清晰呈現(xiàn)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu),凸顯知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系,凸顯相關(guān)領(lǐng)域知識(shí)的共性和本質(zhì),進(jìn)而呈現(xiàn)具有“高結(jié)構(gòu)”“強(qiáng)聯(lián)系”的作業(yè)內(nèi)容。

(二)以遷移為引領(lǐng),方法關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)化

指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)不僅關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu),更重要的是關(guān)聯(lián)方法結(jié)構(gòu),即將同一單元不同的知識(shí)用相同的方法策略統(tǒng)整起來(lái),生成方法策略結(jié)構(gòu),從而在更高層面上理解和應(yīng)用學(xué)科方法解決實(shí)際問(wèn)題[3]。方法結(jié)構(gòu)是在知識(shí)自主建構(gòu)過(guò)程中形成的,遵循知識(shí)內(nèi)在邏輯機(jī)理和學(xué)科整體建構(gòu)的本質(zhì)特征,通過(guò)結(jié)構(gòu)化、模塊化的意義重構(gòu),幫助學(xué)生建立知識(shí)方法策略結(jié)構(gòu)。方法結(jié)構(gòu)一旦形成,就具有較強(qiáng)的遷移能力和靈活的應(yīng)用能力,不僅可以遷移到類似單元中類似問(wèn)題的學(xué)習(xí)內(nèi)容中,還可以遷移到其他領(lǐng)域不同單元不同類型問(wèn)題的學(xué)習(xí)中。例如,蘇教版五年級(jí)上冊(cè)《多邊形的面積》單元探究了平行四邊形、三角形、梯形和組合圖形面積的計(jì)算,雖然不同圖形面積公式的推導(dǎo)有差異,但也有共性。學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時(shí),通過(guò)剪一剪、移一移、拼一拼,將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形,再利用長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積,這種剪一剪、拼一拼的方法對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、梯形和組合圖形的面積起到了積極的遷移作用。當(dāng)然,割補(bǔ)的方法還可以遷移到不同領(lǐng)域“數(shù)與代數(shù)”不同類型的問(wèn)題上,例如簡(jiǎn)便計(jì)算9999+999+99+9+4就可以把4分割成4個(gè)1,補(bǔ)到9999、999、99和9上,分別合成10 000、1000、100、10,這樣就很容易算出結(jié)果是11 110。這種方法遷移能有效打通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,不斷完善學(xué)生的方法結(jié)構(gòu),拓展學(xué)科思維空間,促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的生成。

(三)以實(shí)踐為載體,活動(dòng)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)化

學(xué)生的數(shù)學(xué)“實(shí)踐”一般有兩種:動(dòng)手參與的實(shí)踐和大腦思考參與的“實(shí)踐”[4],無(wú)論哪種實(shí)踐,學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)也獲得了知識(shí)之外的東西——數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)正是以“實(shí)踐”為載體,將一組活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得置于完整的任務(wù)中,既見(jiàn)整體,又精局部,進(jìn)行結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的設(shè)計(jì),也即關(guān)聯(lián)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),設(shè)計(jì)出活動(dòng)再現(xiàn)、經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)的作業(yè)。學(xué)生在教師組織的活動(dòng)作業(yè)中親身經(jīng)歷探究知識(shí)的完整過(guò)程,并圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯發(fā)展系統(tǒng)思維。例如,在蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)《復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖》這一單元,由于學(xué)生在學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計(jì)圖和單式條形統(tǒng)計(jì)圖的過(guò)程中已經(jīng)積累了豐富的數(shù)據(jù)收集和繪圖經(jīng)驗(yàn),在探究復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)時(shí),就可以讓學(xué)生獨(dú)立嘗試完成繪圖,通過(guò)動(dòng)手參與的“實(shí)踐”,體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析的過(guò)程,掌握單式條形統(tǒng)計(jì)圖和復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖之間的區(qū)別和聯(lián)系,進(jìn)一步體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用,體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。再如,在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)千克”時(shí),通過(guò)估一估、稱一稱、掂一掂等豐富的活動(dòng)來(lái)感受和體驗(yàn)1千克有多重、1千克的不同物品有幾個(gè)、幾千克又有多重,建立1千克或幾千克的豐富表象,使學(xué)生對(duì)千克的感知逐漸由模糊走向清晰、從抽象走向具象。這看似是一系列活動(dòng),但這些活動(dòng)并不是相互割裂的,而是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的有機(jī)整體,對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)克”“認(rèn)識(shí)噸”等計(jì)量單位具有正向遷移作用。

(四)以素養(yǎng)為宗旨,思想關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)化

指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的單元作業(yè)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為宗旨,用聯(lián)系的、結(jié)構(gòu)化的意識(shí)去關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生在練習(xí)中利用所學(xué)思想方法解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的本質(zhì)理解和進(jìn)一步抽象概括,它不僅是在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)觀,而且是在具體數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成的解決問(wèn)題的方法觀[5]。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有:分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、歸納、集合等。指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)就是有意識(shí)地在作業(yè)中滲透與這些思想相關(guān)聯(lián)的題目,調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦思維運(yùn)作,刺激學(xué)生深入思考,引領(lǐng)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題與已知條件的聯(lián)系,并結(jié)合新舊知識(shí)之間的聯(lián)系探索問(wèn)題解決的路徑。例如,學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形時(shí),利用分類的思想將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,以后遇到四邊形分類的題目時(shí),可以利用分類的思想將四邊形分為平行四邊形、梯形和任意四邊形,再將平行四邊形分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形(長(zhǎng)方形),最后將長(zhǎng)方形分為一般長(zhǎng)方形和特殊長(zhǎng)方形(正方形)。再如,無(wú)論是對(duì)數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí),還是對(duì)空間與圖形的探索都會(huì)用到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想能夠幫助學(xué)生在練習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想的奧妙,提升思維的獨(dú)創(chuàng)性,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。比如在計(jì)算的練習(xí)中,多位數(shù)乘多位數(shù)的運(yùn)算法則就是一個(gè)十分鮮明的例子,它的實(shí)質(zhì)是把多位數(shù)乘多位數(shù)轉(zhuǎn)化成一位數(shù)乘多位數(shù);對(duì)于小數(shù)的乘除法,則是運(yùn)用積的變化規(guī)律和商不變的規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘除法來(lái)計(jì)算。

二、指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)的價(jià)值取向

(一)“厘清”知識(shí)脈絡(luò),激活關(guān)聯(lián)思維

指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)的第一重價(jià)值是通過(guò)關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)讓學(xué)生更清楚地明白不同層次知識(shí)之間的聯(lián)系以及整個(gè)知識(shí)體系的脈絡(luò)。如此知識(shí)體系的構(gòu)建、知識(shí)脈絡(luò)的梳理、知識(shí)關(guān)系的明晰,可以激活學(xué)習(xí)者的關(guān)聯(lián)思維,使他們養(yǎng)成金字塔式的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣[6]。為了明晰關(guān)聯(lián)思維,我國(guó)朱彩蘭等學(xué)者借鑒布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類理論、比格斯SOLO分類理論及關(guān)聯(lián)主義等理論,分析了關(guān)聯(lián)思維的基本內(nèi)涵。關(guān)聯(lián)就是知識(shí)與知識(shí)之間因?yàn)槟撤N關(guān)系所建立的聯(lián)系,這種聯(lián)系可以是縱向的,如程序結(jié)構(gòu)和順序結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián),也可以是橫向的,如分支結(jié)構(gòu)和順序結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)[7]。具備關(guān)聯(lián)思維,意味著學(xué)習(xí)者能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活世界建立關(guān)聯(lián),引導(dǎo)學(xué)習(xí)者在解決現(xiàn)實(shí)生活世界中的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中不斷優(yōu)化自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而形成解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題的能力。金字塔思維是美國(guó)著名管理學(xué)家芭芭拉·明托所提出的一種理論[8]。這種思維對(duì)學(xué)生的思維、表達(dá)和解決問(wèn)題都有著積極而重要的影響。在思維方面,它能讓學(xué)生邏輯清晰、條理分明、重點(diǎn)突出;在表達(dá)方面,它能讓學(xué)生更好地理解表達(dá)的結(jié)構(gòu)規(guī)律和作用法則;在解決問(wèn)題方面,它能幫助學(xué)習(xí)者從信息材料中構(gòu)建邏輯樹(shù),從而有條理地分析和解決問(wèn)題。總之,關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu),可以很好地鍛煉學(xué)生的思維習(xí)慣,提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

(二)“引領(lǐng)”方法會(huì)聚,開(kāi)創(chuàng)遷移思維

指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)的第二重價(jià)值是引領(lǐng)方法會(huì)聚,產(chǎn)生互動(dòng)關(guān)聯(lián)效應(yīng),催化遷移思維生成,促進(jìn)學(xué)生在作業(yè)過(guò)程中形成具有一致意義的方法結(jié)構(gòu)。方法結(jié)構(gòu)具有良好的系統(tǒng)性,其內(nèi)在的方法不僅容易被學(xué)習(xí)者便捷地吸收,而且容易被良好地儲(chǔ)存。這些方法往往蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中[9],并以高階知識(shí)為內(nèi)核,以網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)為形態(tài),儲(chǔ)存在大腦皮層中,當(dāng)新的情境特征與大腦皮層中已有方法匹配時(shí),學(xué)習(xí)者便會(huì)啟動(dòng)遷移思維,快速激活、提取并再現(xiàn)這種方法,并將其應(yīng)用于作業(yè)中解決類似情境問(wèn)題。在高階知識(shí)的統(tǒng)攝帶領(lǐng)下,這樣的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)往往比較“穩(wěn)固”,也更容易形成具有強(qiáng)大功能的神經(jīng)元簇。這種神經(jīng)元簇不僅功能強(qiáng)大,而且突觸較多,很容易與其他神經(jīng)元簇建立起協(xié)同關(guān)系,形成神經(jīng)元“工作群”。這樣的工作群不僅能夠協(xié)同作業(yè)解決復(fù)雜問(wèn)題,而且容易在情境刺激下生發(fā)系統(tǒng)的“整體涌現(xiàn)性”[10]。涌現(xiàn)性產(chǎn)生的前提是方法間的聯(lián)系與相互作用,如果方法之間是孤立的,沒(méi)有任何聯(lián)系與相互作用,便就不會(huì)產(chǎn)生涌現(xiàn)。如同愛(ài)因斯坦所說(shuō)的,“一百個(gè)零相加還是零”。換句話說(shuō),涌現(xiàn)不產(chǎn)生于若干方法的集合,而產(chǎn)生于若干方法的協(xié)同與融合?？梢?jiàn),方法的整體涌現(xiàn)性有正向與負(fù)向之分,發(fā)揮方法的正向遷移作用能夠確保產(chǎn)生積極的涌現(xiàn)行為和特性,從而迸發(fā)各種各樣的靈感與智慧。

(三)“積累”活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),撬動(dòng)系統(tǒng)思維

指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)的第三重價(jià)值是通過(guò)活動(dòng)關(guān)聯(lián),幫助學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。杜威曾指出:“經(jīng)驗(yàn)是我們和自己所創(chuàng)造的環(huán)境的‘交涉’,我們?cè)诃h(huán)境中所做的事(活動(dòng))、動(dòng)作和感受(經(jīng)歷)形成了我們所謂的經(jīng)驗(yàn)?！盵11]顯然,經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)是緊密聯(lián)系在一起的。經(jīng)驗(yàn)是在活動(dòng)中產(chǎn)生和體現(xiàn)的,它是活動(dòng)主體對(duì)客體的能動(dòng)反映,是活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果;活動(dòng)是經(jīng)驗(yàn)的源泉,沒(méi)有親身經(jīng)歷的實(shí)踐活動(dòng)就不會(huì)產(chǎn)生經(jīng)驗(yàn),經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)的關(guān)系是“皮”與“毛”的關(guān)系[12]。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生個(gè)體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn),這里的經(jīng)驗(yàn)包括學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、情感態(tài)度與價(jià)值觀等內(nèi)容組成的有機(jī)結(jié)合性經(jīng)驗(yàn)[13]。在作業(yè)設(shè)計(jì)中關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)活動(dòng),能夠幫助學(xué)生有意識(shí)地提煉、積累、豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),并使其顯性化,形成新的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累得愈多,與新知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)就越緊密,愈能有效地、創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)。當(dāng)新知識(shí)出現(xiàn)時(shí),大腦會(huì)迅速與頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系,搜尋更多的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)信息,對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)的途徑和方法作出判斷和預(yù)測(cè),并努力吸收新信息,使認(rèn)知主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到擴(kuò)展和完善。

(四)“搭建”思想模型,生發(fā)高階思維

指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)的第四重價(jià)值是通過(guò)挖掘隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想,“搭建”思想模型,對(duì)零散、凌亂的思想進(jìn)行分類、規(guī)整,通過(guò)分層、排列讓這些獨(dú)立、分離的思想建立聯(lián)系,從而各就各位、相互關(guān)聯(lián)“型構(gòu)”出思想體系。這樣的思想體系是對(duì)特定數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程中知識(shí)和方法的高度凝練和簡(jiǎn)單概括[14],它不僅能起到完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用,而且基于其層次性、階梯性和有序性的優(yōu)良特點(diǎn),對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展起到重要促進(jìn)作用。所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),就是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦中的反應(yīng),是學(xué)生根據(jù)自己理解的深度和廣度,結(jié)合自己的認(rèn)知特點(diǎn),如感受、感知、記憶、思維、聯(lián)想等,將數(shù)學(xué)知識(shí)組合成的具有內(nèi)在規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)[15]。從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)成要素來(lái)看,數(shù)學(xué)思想是其主要成分,它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中,發(fā)揮著紐帶作用,決定著知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)。之所以強(qiáng)調(diào)它與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系,乃在于學(xué)生一旦理解并掌握了數(shù)學(xué)思想方法,就會(huì)形成條件性知識(shí),當(dāng)學(xué)習(xí)者遇到類似問(wèn)題時(shí),能夠快速準(zhǔn)確地檢索和提取與任務(wù)相關(guān)的知識(shí),在問(wèn)題與知識(shí)之間建立豐富的聯(lián)系,并最終選擇解決問(wèn)題的最佳方案,這是良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最重要特征。此外,良好的層次性和階梯性思維系統(tǒng)也是支持學(xué)習(xí)者發(fā)展高階思維的重要途徑,它將具體思想方法的學(xué)習(xí)放置于思想體系中加以整合,以突出思想之間的內(nèi)部聯(lián)系以及在問(wèn)題解決中的價(jià)值,從而為學(xué)生解決問(wèn)題指明路徑,快速提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

三、指向?qū)W習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)單元作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)路徑

(一)巧用知識(shí)關(guān)聯(lián),培養(yǎng)思維的深刻性

知識(shí)具有很強(qiáng)的聯(lián)系性和高度的結(jié)構(gòu)性,許多數(shù)學(xué)知識(shí)是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展起來(lái)的。也就是說(shuō),它們之間有著密切的聯(lián)系,前面的知識(shí)是后面知識(shí)的基礎(chǔ),后面的知識(shí)是前面知識(shí)的發(fā)展,從而形成數(shù)學(xué)知識(shí)的連續(xù)性和完整性。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō),注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的完整性和關(guān)聯(lián)性,能使他們把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通,培養(yǎng)思維的深刻性。因此,在單元作業(yè)的設(shè)計(jì)中,教師可以巧妙地關(guān)聯(lián)知識(shí),利用知識(shí)間的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生深入思考。通過(guò)對(duì)比分析,尋找知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性,直追知識(shí)本質(zhì),挖掘其中隱含的道理,以此推動(dòng)學(xué)生對(duì)知識(shí)深刻地認(rèn)識(shí),從而更加透徹地理解知識(shí)點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生善于抓住事物本質(zhì)和規(guī)律的能力,發(fā)展深刻思維。以單元為基本單位巧設(shè)知識(shí)的關(guān)聯(lián)就是把具有相同或相似的一類知識(shí)以單元的視角進(jìn)行關(guān)聯(lián)和整體設(shè)計(jì)。例如以《面積》單元為例,巧設(shè)知識(shí)關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是建立結(jié)構(gòu)。將零散的、碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體化、系統(tǒng)化、邏輯化以建立起知識(shí)結(jié)構(gòu)。二是找出核心概念。根據(jù)共同擁有的數(shù)學(xué)本質(zhì),確定關(guān)鍵能力,促進(jìn)思維進(jìn)階發(fā)展,落實(shí)核心素養(yǎng)。本單元的核心概念是“度量”,對(duì)比不同版本的教材,我們發(fā)現(xiàn),無(wú)論是“線的度量”“面的度量”還是“體的度量”,其學(xué)習(xí)路徑是相似的,其核心概念的本質(zhì)結(jié)構(gòu)也是相同的。長(zhǎng)度、面積和體積作為度量概念的有機(jī)整體,教材都是引領(lǐng)著我們遵循明確度量對(duì)象屬性、確定度量單位、獲得度量值的順序來(lái)學(xué)習(xí)的,而且教學(xué)都要經(jīng)歷“直觀感知、非標(biāo)準(zhǔn)度量、標(biāo)準(zhǔn)度量、公式度量、合理靈活度量”這樣的過(guò)程。因此,教師在進(jìn)行單元作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí),可以將認(rèn)識(shí)面積和面積單位放在一起,這樣從度量的角度出發(fā),引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷面積概念建立的全過(guò)程,促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

(二)巧設(shè)方法關(guān)聯(lián),發(fā)展思維的靈活性

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾曾說(shuō)過(guò),“最有價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)”。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),學(xué)習(xí)方法比學(xué)習(xí)知識(shí)更重要,也正所謂 “授人以魚(yú)不如授人以漁”,如果把數(shù)學(xué)知識(shí)比作一盤(pán)菜,那么數(shù)學(xué)方法就是得到這盤(pán)菜的工具,而工具可以幫助學(xué)生得到不同種類的菜,所以掌握好數(shù)學(xué)方法,就可以得到不同種類的新知識(shí)。因此,在設(shè)計(jì)單元作業(yè)時(shí),教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的方法解決新問(wèn)題,學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析,靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行推理、演繹,以此來(lái)提高應(yīng)變能力,發(fā)散思維,提高思維的靈活性。例如,在設(shè)計(jì) 《大數(shù)的認(rèn)識(shí)》單元的作業(yè)時(shí),為了提高方法之間的關(guān)聯(lián)性,可以將“大數(shù)改寫(xiě)”和“求近似數(shù)”聯(lián)系起來(lái),融為一體,凸顯“改寫(xiě)”和“省略尾數(shù)求近似數(shù)”在方法上的一致性。大數(shù)的改寫(xiě)步驟可以總結(jié)為:一分,二找。如:50 000=( )萬(wàn),先分級(jí),發(fā)現(xiàn)萬(wàn)位是5,即5個(gè)萬(wàn),所以等于5萬(wàn)。800 000 000=8億,而800 000 000=( )萬(wàn),則答案是80 000萬(wàn),技巧就是找到改寫(xiě)成以誰(shuí)為單位,就找到這個(gè)數(shù)位,后面的0換成計(jì)數(shù)單位。省略萬(wàn)(億)后面的尾數(shù)求近似數(shù)與大數(shù)改寫(xiě)的步驟相似,都是先分級(jí)(即一分),再找到萬(wàn)位(億位)(即二找),只不過(guò)“省略”比“改寫(xiě)”多了“三看(看它下一位)”和“四判(判斷是舍還是入)”。方法一致了,學(xué)生就會(huì)找準(zhǔn)“發(fā)力點(diǎn)”,在方法的遷移中解決新問(wèn)題。

(三)巧構(gòu)活動(dòng)關(guān)聯(lián),提升思維的敏捷性

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程,關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作、自主探究、合作交流等活動(dòng),經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成過(guò)程,即經(jīng)歷豐富而生動(dòng)的實(shí)踐與思考過(guò)程,從而在活動(dòng)中獲得豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。史寧中教授也說(shuō)過(guò):“世界上許多東西是無(wú)法傳遞的,只能親身經(jīng)歷。智慧不完全取決于知識(shí)的多少,而取決于知識(shí)的運(yùn)用,取決于經(jīng)驗(yàn)的積累?！币虼?教師要多讓學(xué)生在“動(dòng)手實(shí)踐”和“思維實(shí)踐”中磨煉,多讓學(xué)生“經(jīng)歷過(guò)程”,多創(chuàng)設(shè)學(xué)生的“經(jīng)歷過(guò)程”,讓學(xué)生在“做”中感悟、理解數(shù)學(xué),體驗(yàn)并積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí),教師要根據(jù)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)以及經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),設(shè)計(jì)出活動(dòng)再現(xiàn)、經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)的作業(yè),讓學(xué)生在不同的問(wèn)題下進(jìn)行思考與反思,并迅速做出判斷,選擇恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法,提高思維的活力,發(fā)展敏捷性。例如,在《長(zhǎng)方體》單元作業(yè)中,為了更好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念,開(kāi)拓學(xué)生的思維,教師可以精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)踐作業(yè),如:指導(dǎo)學(xué)生利用卡紙制作1立方分米的體積單位;利用橡皮泥或土豆等材料切1立方厘米的體積單位;利用家中的墻角圍成1立方米的正方體。讓學(xué)生在動(dòng)手操作中體會(huì)體積單位的實(shí)際意義,感受體積單位之間的進(jìn)率,通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng),不僅讓學(xué)生深刻理解了數(shù)學(xué)知識(shí),而且鍛煉了學(xué)生動(dòng)手操作的能力,積累了豐富的操作經(jīng)驗(yàn)和探究經(jīng)驗(yàn)。

(四)巧創(chuàng)思想關(guān)聯(lián),形成思維的獨(dú)創(chuàng)性

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最高境界的標(biāo)尺,是由書(shū)本轉(zhuǎn)化入頭腦中的“養(yǎng)分”,是數(shù)學(xué)的靈魂[15],對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的提升具有舉足輕重的作用。學(xué)生所學(xué)的知識(shí)可能出校門不到兩年就忘了,但是銘記不忘的是頭腦中的數(shù)學(xué)思想。因?yàn)?懂得數(shù)學(xué)思想有利于記憶,就是在部分知識(shí)遺忘的時(shí)候,也能得以重新構(gòu)思起來(lái)。布魯納認(rèn)為“除非把一件事放進(jìn)構(gòu)造好的模型里面,否則就很容易忘記”。數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“構(gòu)造好的模型”。因此,練習(xí)中可以利用學(xué)生已學(xué)的數(shù)學(xué)思想,幫助解決新問(wèn)題,讓其在練習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的奧妙,提升思維獨(dú)特性,發(fā)展核心素養(yǎng)。例如,在《多邊形面積》單元中,本單元重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)習(xí)者經(jīng)歷面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程,突出轉(zhuǎn)化思想對(duì)學(xué)習(xí)圖形相關(guān)知識(shí)的重要性,讓學(xué)習(xí)者在操作過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)思想之間的聯(lián)系,最終形成思想建模。單元一開(kāi)始,從圖形的拼組入手,讓學(xué)生在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)圖形之間的變化關(guān)系,重點(diǎn)教學(xué)平行四邊形的面積,讓學(xué)生體驗(yàn)、感受和掌握“轉(zhuǎn)化思想”,然后運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想自主探索三角形和梯形的面積,從而溝通三種圖形之間的聯(lián)系。組合圖形的面積則是在學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積之后呈現(xiàn),同樣是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進(jìn)行計(jì)算。因此,在作業(yè)中,教師可以有意識(shí)地設(shè)計(jì)一題多解的練習(xí)題目,讓學(xué)生自由嘗試,鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新,用學(xué)到的思想解決問(wèn)題,從而在“發(fā)散思維”的練習(xí)中逐步培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性?！?/p>