基于廣義線性多面體的有源配電網(wǎng)仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化方法

樂 健，郎紅科，廖小兵，王 靖，毛 濤

（1.武漢大學(xué)電氣與自動化學(xué)院，湖北省武漢市 430072；2.武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北省武漢市 430205；3.武漢億磁源電力科技有限公司，湖北省武漢市 430223）

0 引言

中國為了實現(xiàn)“碳達(dá)峰·碳中和”這一國家重要戰(zhàn)略目標(biāo)，能源形態(tài)將從高碳排放的化石能源向低碳或無碳排放的新能源轉(zhuǎn)變［1］。但是，隨著新能源大規(guī)模發(fā)展和高比例接入，其波動性和隨機(jī)性使得電網(wǎng)運(yùn)行面臨著隨機(jī)擾動的風(fēng)險［2］。傳統(tǒng)配電網(wǎng)將逐步向供需互動的有源配電網(wǎng)升級，使得配電網(wǎng)的運(yùn)行方式更加多樣化［3］。如何有效克服新能源的不確定性、保證配電網(wǎng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行成為目前亟須解決的難題。

為了處理分布式光伏出力的不確定性問題，配電網(wǎng)不確定性優(yōu)化方法主要分為隨機(jī)優(yōu)化方法［4-6］和魯棒優(yōu)化方法。其中，基于場景法的隨機(jī)優(yōu)化方法雖然建模較為簡單，但其生成的離散場景往往規(guī)模巨大且求解時間較長，導(dǎo)致求解效率低下?；跈C(jī)會約束法的隨機(jī)優(yōu)化方法允許決策變量不滿足約束條件，但其決策變量滿足約束條件的概率需不低于事先設(shè)定的置信水平，且其必須假定隨機(jī)變量服從某種概率分布，但在實際應(yīng)用中通常存在缺乏歷史數(shù)據(jù)和風(fēng)電、光伏之間出力相關(guān)性不明確等問題，從而使得這種假定不一定成立或者與實際概率分布之間存在較大偏差。魯棒優(yōu)化方法通常采用不確定集合來描述分布式光伏的不確定性，因其無須獲取分布式光伏出力的概率分布，且避免了大量場景導(dǎo)致的維數(shù)災(zāi)問題而受到越來越多的關(guān)注。

不同的不確定集合對魯棒優(yōu)化結(jié)果的影響顯著。當(dāng)不確定集合越精細(xì)時，模型復(fù)雜度越高、求解越困難；當(dāng)不確定集合越寬泛時，所求出的最優(yōu)解越保守、越不經(jīng)濟(jì)［7］。文獻(xiàn)［8］采用區(qū)間不確定集合描述光伏、風(fēng)電和負(fù)荷的不確定性，構(gòu)建了考慮分布式電源輔助服務(wù)的兩階段混合整數(shù)二階錐魯棒優(yōu)化模型，在列與約束生成的基礎(chǔ)上提出一種新的兩階段直接交替迭代求解方法。文獻(xiàn)［9］采用基于魯棒成本的可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化方法處理新能源出力不確定性，構(gòu)建了主動配電網(wǎng)魯棒優(yōu)化經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型。文獻(xiàn)［10］以綜合配置成本最小為目標(biāo)函數(shù)，考慮風(fēng)電和光伏出力的區(qū)間分布，提出一種基于魯棒優(yōu)化理論的主動配電網(wǎng)優(yōu)化配置模型。文獻(xiàn)［11］提出了考慮需求側(cè)響應(yīng)的配電網(wǎng)魯棒優(yōu)化模型，采用凸優(yōu)化方法對模型中的不確定性問題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)［8-11］均采用區(qū)間不確定集合來描述有源配電網(wǎng)中的不確定性變量，對于一些模型可能會出現(xiàn)所有不確定性變量都在區(qū)間集合上下界進(jìn)行優(yōu)化的情況，但現(xiàn)實中該情況發(fā)生的概率極低甚至不會發(fā)生，故很容易出現(xiàn)求解過度保守的問題。

多面體集合可以通過控制不確定度來確定不確定集合的包絡(luò)范圍，從而控制優(yōu)化結(jié)果的保守性［12］。文獻(xiàn)［13］基于風(fēng)機(jī)、光伏出力與負(fù)荷的多面體不確定集合，提出了交直流混合配電網(wǎng)重構(gòu)與無功優(yōu)化協(xié)同的兩階段魯棒優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［14］采用時間、空間及功率區(qū)間三維多面體不確定集合描述電動汽車功率需求及可再生能源出力的不確定性，提出了電動汽車并網(wǎng)的分布式魯棒優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［15］采用多面體不確定集合描述風(fēng)電和光伏出力的不確定性，通過設(shè)置不確定度來協(xié)調(diào)決策的魯棒性和最優(yōu)性，提出了計及分布式風(fēng)力發(fā)電和光伏發(fā)電不確定性的三相配電網(wǎng)可調(diào)魯棒無功優(yōu)化模型。文獻(xiàn)［13-15］采用多面體不確定集合來描述配電網(wǎng)中的不確定性變量，與區(qū)間集合相比可以減小優(yōu)化結(jié)果的保守性，但這兩種不確定集合都未考慮不確定性變量之間的相關(guān)性，導(dǎo)致決策的保守性還有待改進(jìn)。

進(jìn)一步，為在配電網(wǎng)優(yōu)化調(diào)度中考慮不確定性變量之間的相關(guān)性，文獻(xiàn)［16］采用橢球不確定集合描述風(fēng)電功率的時空相關(guān)特性，將所建立的不確定性模型轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)二階錐規(guī)劃模型進(jìn)行求解。文獻(xiàn)［17］構(gòu)建了源荷儲協(xié)同運(yùn)行優(yōu)化模型，并采用橢球不確定集合描述分布式光伏出力的不確定性，提出了基于仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化的主動配電網(wǎng)運(yùn)行策略。雖然橢球不確定集合能夠較好地考慮不確定參數(shù)之間的相關(guān)性，但其具有非線性結(jié)構(gòu)，會增加問題求解的復(fù)雜度。為此，文獻(xiàn)［18］采用橢圓不確定集合得到風(fēng)電時間相關(guān)性軸線和中心點(diǎn)，形成風(fēng)電時間相關(guān)性多面體不確定集合，提出了一種新的魯棒機(jī)組組合模型。文獻(xiàn)［19］提出一種基于廣義凸包不確定集合的數(shù)據(jù)驅(qū)動魯棒機(jī)組組合方法，廣義凸包既能表示風(fēng)電出力的相關(guān)性，又是線性形式，不會增加求解復(fù)雜度。但是，文獻(xiàn)［18-19］的相關(guān)性不確定集合都是在橢球不確定集合基礎(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)，通過橢球頂點(diǎn)或者軸線連接形成新的集合：一方面，可能會導(dǎo)致不確定集合的包絡(luò)范圍減小，從而不足以包含所有的波動；另一方面，可能會導(dǎo)致不確定集合的包絡(luò)范圍增大，從而使決策的保守性增大。

基于上述研究，本文提出了基于廣義線性多面體集合的有源配電網(wǎng)仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化方法。與以往研究中采用橢圓不確定集合表示不確定參數(shù)相關(guān)性不同，首先，本文采用多面體不確定集合描述分布式光伏出力不確定性，其具有線性結(jié)構(gòu)且易于控制不確定度，在實際工程問題中備受關(guān)注。然后，在傳統(tǒng)多面體集合的基礎(chǔ)上，通過分布式光伏出力的相關(guān)性分布包絡(luò)圖重構(gòu)了多面體不確定集合的邊界，進(jìn)一步針對相關(guān)性多面體不確定集合存在的保守性偏大問題，建立了廣義線性多面體不確定集合來描述分布式光伏出力相關(guān)性。最后，通過兩個算例系統(tǒng)驗證了本文所提出的廣義線性多面體集合的有效性。

1 分布式光伏出力相關(guān)性多面體模型

1.1 光伏出力相關(guān)性多面體集合

采用多面體集合來描述分布式光伏出力的不確定性，如式（1）所示。

式中：ΩPolyhedral為分布式光伏出力的多面體集合；ZPolyhedral為分布式光伏出力的不確定因子集合；、P和分 別 為t時 刻 節(jié) 點(diǎn)j上 所 連 接 的 分 布 式 光伏的有功出力、出力期望值和出力波動最大值；zj，t為t時刻節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏出力的不確定因子；Γ為多面體集合不確定度。

為分析方便，令ρ為分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)，取兩個不確定參數(shù)z1和z2來確定一個多面體不確定集合，如圖1 所示。本節(jié)假設(shè)分布式光伏出力的相關(guān)性矩陣可以利用分布式光伏出力的歷史數(shù)據(jù)得出。分別以不同的ρ對z1和z2進(jìn)行隨機(jī)采樣，得 到z1和z1的 相 關(guān) 性 分 布 包 絡(luò) 圖［20］如 圖2所示。

圖1 不確定度對多面體不確定集合的影響Fig.1 Effect of uncertainty on polyhedral uncertainty set

圖2 不確定參數(shù)相關(guān)性分布包絡(luò)圖Fig.2 Correlation distribution envelope of uncertainty parameters

由圖2 可以看出，當(dāng)分布式光伏出力之間沒有相關(guān)性時，由于|zj，t|≤1，分布式光伏出力的不確定參數(shù)分布形成了一個邊長為1 的正方形區(qū)域。當(dāng)相關(guān)性正向增加或負(fù)向減少時，不確定參數(shù)分別集中在直線y=x或直線y=-x周圍。

由于分布式光伏出力之間存在相關(guān)性，分布式光伏出力波動采樣點(diǎn)聚集在不確定參數(shù)的相關(guān)性分布包絡(luò)圖的對角線周圍。因此，可以通過彎曲多面體的邊界，使對角線周圍區(qū)域覆蓋的分布式光伏出力波動采樣點(diǎn)比遠(yuǎn)離對角線區(qū)域覆蓋得更多。這種重新構(gòu)造的多面體不確定集合可以讓分布式光伏出力的不確定參數(shù)更多地集中在對角線周圍，而無須增加不確定度Γ去覆蓋分布式光伏出力波動發(fā)生概率小的空白區(qū)域，具體如圖3 所示。當(dāng)分布式光伏出力的相關(guān)性系數(shù)越大時，多面體不確定集合的邊界應(yīng)該彎曲得更多。因此，重新構(gòu)建的多面體不確定集合的形狀取決于分布式光伏出力之間的相關(guān)性強(qiáng)弱，即相關(guān)性多面體不確定集合。

圖3 相關(guān)性多面體不確定集合與多面體不確定集合Fig.3 Correlation polyhedral uncertainty set and polyhedral uncertainty set

光伏出力相關(guān)性多面體集合的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（2）所示，具體推導(dǎo)過程在附錄A 中給出。

式 中：ρjk，t為 不 確 定 參 數(shù)zj，t和zk，t之 間 的 相 關(guān) 性 系數(shù)，ρjk，t∈[-1，1]；n為分布式光伏的個數(shù)。

1.2 光伏出力相關(guān)性的廣義線性多面體集合

雖然1.1 節(jié)提出的分布式光伏出力的相關(guān)性多面體不確定集合考慮了分布式光伏出力之間的相關(guān)性，但其包絡(luò)的范圍存在一定的缺陷。以直角坐標(biāo)系的第一象限為例，具體如圖4 所示。一方面，相關(guān)性多面體不確定集合只包絡(luò)了不確定參數(shù)的相關(guān)性分布包絡(luò)圖的對角線周圍的一部分區(qū)域，沒有包絡(luò)分布式光伏出力波動發(fā)生概率高的部分［21］，如圖4中綠色區(qū)域所示，這種情況會降低優(yōu)化結(jié)果的魯棒性；另一方面，其包絡(luò)分布式光伏出力波動發(fā)生概率低的部分的比例仍然偏高，如圖4 中相關(guān)性多面體不確定集合邊界內(nèi)的空白區(qū)域所示，這種情況會增大優(yōu)化結(jié)果的保守性。

圖4 相關(guān)性多面體不確定集合的包絡(luò)范圍Fig.4 Envelope range of correlation polyhedral uncertainty set

為進(jìn)一步解決上述相關(guān)性多面體不確定集合的魯棒性差和保守性大的問題，本節(jié)將對上述相關(guān)性多面體不確定集合進(jìn)行改進(jìn)，使其包絡(luò)的空白區(qū)域的比例減少，包絡(luò)對角線周圍區(qū)域的比例增多，具體方法如附錄B 圖B1 所示。令不確定參數(shù)z1和z2形成的相關(guān)性分布包絡(luò)圖與直線y=1 相交的點(diǎn)中橫坐標(biāo)最小的點(diǎn)為H1(xH，1)；同理，相關(guān)性分布包絡(luò)圖與直線x=1 相交的點(diǎn)中縱坐標(biāo)最小的點(diǎn)為H2(1，yH)。令相關(guān)性分布包絡(luò)圖與y軸相交的點(diǎn)中縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)為D1(0，yD)；同理，相關(guān)性分布包絡(luò)圖與x軸相交的點(diǎn)中橫坐標(biāo)最大的點(diǎn)為D2(xD，0)。當(dāng) 點(diǎn)R1在 點(diǎn)D1和 點(diǎn)P1(0，Γ)之 間 波動，點(diǎn)R2在點(diǎn)D2和點(diǎn)P3(Γ，0)之間波動時，由點(diǎn)R1、R2、H1和H2構(gòu)成的集合即為廣義線性多面體集合。

從附錄B 圖B1 可以看出，廣義線性多面體集合包絡(luò)了不確定參數(shù)z1和z2形成的相關(guān)性分布圖的所有區(qū)域，增大了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性。當(dāng)點(diǎn)R1越趨近于點(diǎn)D1、點(diǎn)R2越趨近于點(diǎn)D2時，改進(jìn)的相關(guān)性多面體不確定集合所包絡(luò)的空白區(qū)域越少，降低了優(yōu)化結(jié)果的保守性。

在相關(guān)性系數(shù)確定的情況下，可以通過調(diào)整點(diǎn)R1和點(diǎn)R2的位置來控制線段Lc1和線段Lc2的包絡(luò)范圍，從而控制優(yōu)化結(jié)果的保守性，如附錄B 圖B2所示。

光伏出力廣義相關(guān)性多面體集合數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（3）所示，具體推導(dǎo)過程在附錄C 中給出。

式中：βc為控制線段和線段位置的參數(shù)，βc∈[0，1]。

2 有源配電網(wǎng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型

2.1 有源配電網(wǎng)綜合成本目標(biāo)函數(shù)

本文考慮網(wǎng)損成本、購電成本、棄光懲罰成本以及電池儲能系統(tǒng)（battery energy storage system，BESS）循環(huán)壽命日折損成本來構(gòu)造主動配電網(wǎng)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)F，如式（4）所示。

式中：closs、c和cPV分別為網(wǎng)損成本系數(shù)、主網(wǎng)購電成本系數(shù)和棄光懲罰成本系數(shù)；rij為支路ij的電阻；Iij，t為t時 刻 支 路ij的 電 流；P為 節(jié) 點(diǎn)j處 關(guān) 口 在t時刻向主網(wǎng)的購電有功功率；CESS為BESS 循環(huán)壽命日折損成本；ΩL為線路集合；ΩTR為配電變壓器關(guān)口節(jié) 點(diǎn) 集 合；T為 調(diào) 度 運(yùn) 行 時 段 數(shù)；為t時 刻 節(jié) 點(diǎn)j上所連接的分布式光伏的預(yù)測功率值；ΩPV為分布式光伏接入節(jié)點(diǎn)集合。

2.2 有源配電網(wǎng)運(yùn)行約束

1）二階錐松弛潮流約束：

式中：u(j)為配電網(wǎng)中以j為末端節(jié)點(diǎn)的支路的首端節(jié)點(diǎn)集合；v(j)為配電網(wǎng)中以j為首端節(jié)點(diǎn)的支路 的末 端 節(jié) 點(diǎn) 集合；Vi，t=U，Ui，t為節(jié) 點(diǎn)i在t時 刻的 電 壓 幅 值；Pij，t和Qij，t分 別 為 支 路ij在t時 刻 的 有功 和 無 功 功 率；lij，t=I；Pj，t和Qj，t分 別 為 節(jié) 點(diǎn)j注入 的 有 功 和 無 功 功 率；P和P分 別 為 節(jié) 點(diǎn)j處BESS 在t時刻的充電、放電功率；P、Q分別為節(jié)點(diǎn)j處負(fù)荷在t時刻的有功和無功功率需求；Q為t時刻節(jié)點(diǎn)j處關(guān)口向主網(wǎng)注入的無功功率；Q為t時刻節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏的無功功率；Q和Q分別為t時刻節(jié)點(diǎn)j上所連接的靜止無功補(bǔ)償器（SVC）連續(xù)補(bǔ)償功率、分組投切電容器組（CB）的離散補(bǔ)償功率；xij為支路ij的電抗。

2）節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流約束：

式 中：Uj，max和Uj，min分 別 為 節(jié) 點(diǎn)j的 電 壓 幅 值 上、下限；Iij，max為 支 路ij電 流 幅 值 上 限。

3）分布式光伏運(yùn)行約束：

式中：S為節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏逆變器的視在功率；θj為節(jié)點(diǎn)j上所連接的分布式光伏逆變器的功率因數(shù)角。

4）考慮循環(huán)壽命折損的BESS 運(yùn)行約束

（1）BESS 循環(huán)壽命日折損成本

BESS 循環(huán)壽命日折損成本CESS主要是指一天內(nèi)的充放電過程對循環(huán)壽命的折損所造成的損耗成本，這里BESS 全壽命周期成本按365 d 折算到每日。BESS 的全壽命周期成本主要由BESS 及其輔助設(shè)備的投資成本構(gòu)成，由BESS 的額定容量和額定功率決定，即

式（12）為冪函數(shù)，本文根據(jù)文獻(xiàn)［17］對BESS循環(huán)壽命日折損成本CESS進(jìn)一步線性化得到：

式中：N為電池在一天中基于不同放電深度的等效循環(huán)次數(shù)；、和、分別為各次項線性擬合系數(shù)。

（2）BESS 運(yùn)行約束

BESS 在運(yùn)行過程中還受到充放電速率約束、能量平衡約束和充放電過程約束等，分別可表示為：

式中：S為節(jié)點(diǎn)j處BESS 在t時刻的荷電狀態(tài)；ηch，j和ηdis，j分別為節(jié)點(diǎn)j處BESS 的充電、放電 效率；Δt為調(diào)度時間間隔；和分別為節(jié)點(diǎn)j處BESS的荷電狀態(tài)上、下限。

5）CB 運(yùn)行約束

CB 是一個離散的無功補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械設(shè)備，需要限制其頻繁動作次數(shù)，以延長使用壽命。具體約束為：

式 中：N為 節(jié) 點(diǎn)j上 所 連 接 的CB 在t時 刻 投 運(yùn) 組數(shù)，是一個整數(shù)變量；Q，step為節(jié)點(diǎn)j上所連接的CB在t時刻每一組的補(bǔ)償功率；B為一天T個周期內(nèi)CB 的動作次數(shù)限制；N為節(jié)點(diǎn)j上所連接的CB 在t時刻投運(yùn)的最大組數(shù)。

6）SVC 運(yùn)行約束

進(jìn)一步，考慮連續(xù)調(diào)節(jié)的無功補(bǔ)償裝置SVC，其運(yùn)行約束為：

b.Shefelt a flood of relief.（Halliday&Matthiessen 1999：232）

式 中：Q和Q分別為節(jié)點(diǎn)j上 所連接的SVC 可調(diào)無功功率的下限和上限值。

7）配電網(wǎng)關(guān)口功率約束

為抑制配電網(wǎng)功率波動對主網(wǎng)造成的影響，需要將配電網(wǎng)關(guān)口功率控制在某一范圍內(nèi)，即

式 中：Pj，max和Pj，min分 別 為 配 電 網(wǎng) 節(jié) 點(diǎn)j處 關(guān) 口 有 功功 率 的 上、下 限；Qj，max和Qj，min分 別 為 配 電 網(wǎng) 節(jié) 點(diǎn)j處關(guān)口無功功率的上、下限。

8）有載調(diào)壓變壓器（OLTC）運(yùn)行約束

在節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間添加了一個OLTC，增設(shè)一個輔助節(jié)點(diǎn)o，OLTC 運(yùn)行有如下約束：

式 中：Vo，t為 輔 助 節(jié) 點(diǎn)o在t時 刻 的 電 壓 幅 值 平 方；Nij，t為支路ij變壓器在t時刻的優(yōu)化擋位，是一個整數(shù)變量；Δkij為支路ij變壓器分接頭每一擋的增量；kij，t為 支 路ij變 壓 器 在t時 刻 的 變 比；Kij為 支 路ij變壓 器 分 接 頭 的 擋 位 數(shù)；kij，max和kij，min分 別 為 支 路ij變壓器變比的上、下限。

3 有源配電網(wǎng)的仿射可調(diào)魯棒調(diào)度方法

3.1 有源配電網(wǎng)的仿射可調(diào)魯棒調(diào)度模型

傳統(tǒng)的有源配電網(wǎng)可調(diào)魯棒優(yōu)化模型中，根據(jù)決策變量的可調(diào)決策變量和不可調(diào)決策變量進(jìn)行劃分：不可調(diào)決策變量無論不確定性變量如何變化，都無法隨之改變，故不可調(diào)決策變量是在不確定性變量實現(xiàn)前就已經(jīng)確定；而可調(diào)決策變量依據(jù)不確定性變量的集合并隨著不確定性變量進(jìn)行調(diào)整。因此，從本質(zhì)上來說，傳統(tǒng)的有源配電網(wǎng)可調(diào)魯棒優(yōu)化模型是一個兩階段優(yōu)化模型，需要迭代求解。

為此，本文提出了有源配電網(wǎng)仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化（affinely adjustable robust optimization，AARO）［22-23］模型。AARO 模型采用線性仿射機(jī)制建立可調(diào)決策變量與不確定性變量之間的關(guān)系，這樣可調(diào)決策變量根據(jù)線性仿射規(guī)則在可調(diào)范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，而不再是在整個可調(diào)范圍內(nèi)進(jìn)行無規(guī)則的決策。因此，本文的AARO 運(yùn)行模型建立了配電網(wǎng)中的可調(diào)決策變量y與分布式光伏有功出力不確定性變量zj，t之間的線性仿射關(guān)系，以減小尋優(yōu)盲目性，如式（28）所示。

式中：y為可調(diào)決策變量在初始時刻的值；ζj，t為仿射比例系數(shù)。

配電網(wǎng)AARO 運(yùn)行模型相當(dāng)于在傳統(tǒng)的配電網(wǎng)可調(diào)魯棒優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，增加了仿射線性決策機(jī)制，即對不確定集合中的任意不確定性變量，上述約束都成立，這簡化了模型結(jié)構(gòu)。

下文中，小寫粗體字母表示列向量，大寫粗體字母表示矩陣。依據(jù)第2 章建立的配電網(wǎng)優(yōu)化模型和式（28）的線性仿射策略，得到配電網(wǎng)AARO 運(yùn)行模型的向量形式如式（29）所示。

式中：x為不可調(diào)整的決策變量，是在不確定性變量獲 取 之 前 的 一 次 決 策 變 量，Qij，t，lij，t，Vi，t]；yc為 可 調(diào) 整 的 決 策 變 量，是 在 不 確 定性變量獲取之后實時性改變的決策變量，yc=c1和c2分 別 為目標(biāo)函數(shù)式（4）對應(yīng)的系數(shù)矩陣；R、Ac、Bc、Dc、G、Cc、g分別為對應(yīng)約束下變量的系數(shù)矩陣；r、hc、wc為 常 數(shù) 列 向 量；z為 由zj，t組 成 的 向 量。

式（29）中約束條件的第1 行約束條件表示僅與x有關(guān)的約束條件，包括BESS 運(yùn)行約束、二階錐潮流模型中的支路功率平衡約束和電壓降落約束、節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流約束、OLTC 運(yùn)行約束；式（29）中約束條件的第2 行約束條件表示二階錐潮流模型中的二階錐松弛約束；式（29）中約束條件的第3 行約束條件表示x與y有關(guān)的耦合約束條件，二階錐潮流模型中的節(jié)點(diǎn)注入功率平衡約束；式（29）中約束條件的第4 行約束條件表示僅與y有關(guān)的約束條件，包括SVC 運(yùn)行約束、關(guān)口功率約束和BESS 運(yùn)行約束。

3.2 求解方法

式（29）中約束條件的第3 行約束條件包含不確定性變量z。對于zj，t∈ZPolyhedral，該不等式約束是魯棒的，當(dāng)且僅當(dāng)其魯棒對等約束成立［24-25］，即

當(dāng)ZPolyhedral為多面體不確定集合時，式（30）中的最大化問題可以等價為：

采用對偶理論，可得到式（31）的魯棒對等問題為：

由式（33）可知，通過魯棒對等將式（30）中含不確定性變量的max 項約束條件轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的確定性min 項約束，可以與目標(biāo)函數(shù)的min 項整合為統(tǒng)一形式。因此，基于多面體不確定集合的主動配電網(wǎng)AARO 模型就轉(zhuǎn)化成確定性的混合整數(shù)二階錐規(guī)劃模型，可以直接調(diào)用商業(yè)求解器Gurobi 求解。

當(dāng)ZPolyhedral為相關(guān)性多面體不確定集合和廣義線性多面體集合時，同樣可以通過魯棒對等將不確定性約束轉(zhuǎn)化為確定性約束。此處，以相關(guān)性多面體不確定集合為例進(jìn)行說明，則式（30）中的最大化問題可以等價寫成：

采用對偶理論，可得到式（34）的魯棒對等問題為：

同理，通過魯棒對等將式（30）中含不確定性變量的max 項約束條件轉(zhuǎn)換為式（35）所示的確定性min 項約束，可以與目標(biāo)函數(shù)的min 項整合為統(tǒng)一形式。

具體AARO 方法求解流程如圖5 所示。

圖5 AARO 方法求解流程圖Fig.5 Solving flow chart of AARO method

4 算例分析

4.1 算例系統(tǒng)設(shè)置

為驗證本文所采用的AARO 方法的有效性，本節(jié)通過改進(jìn)的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)和PG&E 69 節(jié)點(diǎn)兩個測試系統(tǒng)進(jìn)行算例分析。改進(jìn)的IEEE 33 節(jié)點(diǎn)和PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線分別如附錄B 圖B3 和圖B4所示。附錄B 表B1—表B5 給出了接入兩個系統(tǒng)的PV、BESS、CB、OLTC 的參數(shù)設(shè)置。系統(tǒng)基準(zhǔn)電壓為12.66 kV，基準(zhǔn)容量為10 MV·A。IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的關(guān)口有功功率取值為0～5 000 kW，無功功率取值為0～2 500 kvar；PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的關(guān)口有功功率取值為0～7 000 kW，無功功率取值為0～5 000 kvar；IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的支路電流幅值上限為0.4 p.u.；PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的支路電流幅值上限為0.8 p.u.；節(jié)點(diǎn)電壓幅值取值均為0.95～1.05 p.u.。

1）不確定度Γ對優(yōu)化結(jié)果的影響

不確定度是用來限制多面體不確定集合中分布式光伏出力擾動范圍的大小。從表1 可以看出，隨著多面體不確定度Γ的增大，BESS 循環(huán)壽命日折損成本不變、網(wǎng)損成本逐漸增大、購電成本略微增大、棄光懲罰成本逐漸減小。這是因為多面體不確定度Γ的增大會導(dǎo)致光伏出力的波動范圍增大，而過大的光伏出力導(dǎo)致配電網(wǎng)無法就地消納。此時，需要將過剩的光伏功率輸送到遠(yuǎn)離光伏電站的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)消納，導(dǎo)致支路電流增大，而為了功率達(dá)到平衡，關(guān)口功率需要略微增發(fā)，故網(wǎng)損成本增加、購電成本略微增大。隨著不確定度Γ增大，調(diào)度方案保守性更強(qiáng)。因此，調(diào)度計劃能更好地應(yīng)對光伏波動，從而使得棄光量減小、棄光懲罰成本減小。而BESS 因其容量、充放電速率等約束難以響應(yīng)分布式光伏的大范圍波動，BESS 循環(huán)壽命日折損成本沒有受到影響。

表1 不確定度Γ 對各項成本的影響Table 1 Impact of uncertainty Γ on various costs

2）相關(guān)性系數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響

相關(guān)性系數(shù)的大小會影響分布式光伏出力的相關(guān)性多面體不確定集合的邊界的彎曲程度，從而影響相關(guān)性多面體不確定集合的包絡(luò)范圍，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果也會產(chǎn)生相應(yīng)變化。如附錄B 圖B5 所示，當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)ρ分別為0.1 和0.4時，由于分布式光伏出力之間的相關(guān)性較弱，相關(guān)性多面體不確定集合的邊界的彎曲程度較小，分布式光伏出力波動范圍在多面體不確定集合和相關(guān)性多面體不確定集合下幾乎沒有變化，導(dǎo)致各項成本也幾乎一致。當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)逐漸增大時，相關(guān)性多面體不確定集合的邊界的彎曲程度逐漸增大，當(dāng)ρ為0.9 時，相關(guān)性多面體不確定集合包絡(luò)分布式光伏出力具有相關(guān)性的部分也較多。因此，分布式光伏出力增大，使得棄光電量減小、支路電流增大，導(dǎo)致棄光懲罰成本減小、網(wǎng)損成本增加。另一方面，由于分布式光伏出力相關(guān)性程度增大，相關(guān)性多面體不確定集合包絡(luò)分布式光伏出力波動發(fā)生概率小的空白區(qū)域也增多，導(dǎo)致系統(tǒng)總成本增大，優(yōu)化結(jié)果的保守性也相應(yīng)增大。

表2 給出了3 種多面體不確定集合下的各項成本，取不確定度Γ=0.5，相關(guān)性系數(shù)ρ=0.9?？梢钥闯?，3 種多面體不確定集合中采用廣義線性多面體集合的棄光成本和系統(tǒng)總成本最小，BESS 循環(huán)壽命日折損成本和購電成本不變。因為廣義線性多面體集合包含了分布式光伏出力相關(guān)性分布圖的全部范圍，考慮了分布式光伏出力波動最大的情況，同時減小了分布式光伏出力波動發(fā)生概率小的空白區(qū)域。分布式光伏出力雖然增大，但絕大部分的光伏出力就地消納，只有小部分的光伏出力被輸送到其他負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，此時，分布式光伏出力可滿足配電網(wǎng)功率平衡。因此，棄光成本變小，BESS 循環(huán)壽命日折損成本和購電成本不變，系統(tǒng)總成本也隨之變小。當(dāng)βc增大時，分布式光伏出力波動發(fā)生概率低的空白區(qū)域增大，廣義線性多面體集合的包絡(luò)范圍也隨之增大，導(dǎo)致分布式光伏出力進(jìn)一步增大，但此時絕大部分的光伏出力無法就地消納，需要輸送到其他負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致在棄光成本減小的同時網(wǎng)損成本增大，系統(tǒng)總成本基本不變?；谝陨戏治觯瑥V義線性多面體集合包絡(luò)了分布式光伏出力不確定參數(shù)形成的相關(guān)性分布圖的所有區(qū)域，考慮了分布式光伏出力波動最大的情況，增大了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性，且其包絡(luò)分布式光伏出力波動發(fā)生概率較小的空白區(qū)域更少，降低了優(yōu)化結(jié)果的保守性。

表2 3 種多面體集合對各項成本的影響Table 2 Impact of three polyhedral sets on various costs

為對比橢球不確定集合AARO 方法與廣義線性多面體集合AARO 方法的優(yōu)劣，附錄B 表B6 對比了4 種不確定集合AARO 的各項成本。從表中可以看出，橢球不確定集合AARO 的各項成本最低，表明了橢球集合AARO 方法的保守性最小，但橢球不確定集合具有非線性結(jié)構(gòu)，進(jìn)行魯棒對等時只能將含不確定參數(shù)的約束對偶為二階錐約束，增加了問題求解的復(fù)雜度，求解時間也較長。雖然廣義線性多面體集合AARO 的各項成本較橢球集合AARO 更高一點(diǎn)，但其既能刻畫不確定參數(shù)間的相關(guān)性，又具有線性結(jié)構(gòu)，求解時間也較短。

3）節(jié)點(diǎn)電壓分析

附錄B 圖B6 給出了IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中不確定度Γ=0.5，相關(guān)性參數(shù)ρ=0.9、βc=0.5 的情況下，采用3 類多面體集合得到的節(jié)點(diǎn)電壓分布情況。可以看出，3 類多面體集合得到的節(jié)點(diǎn)電壓分布均在0.95～1.05 p.u.的安全范圍內(nèi)，但在光伏出力較大的時段8 至13，考慮光伏相關(guān)性的多面體集合下的節(jié)點(diǎn)電壓波動較小，并且廣義線性多面體集合下的節(jié)點(diǎn)電壓波動范圍更小，主要集中在1.025 p.u.附近，進(jìn)一步驗證了廣義線性多面體集合的保守性最小。

4）BESS 充放電功率分析

附錄B 圖B7 對比了在IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，采用3 類多面體集合得到的節(jié)點(diǎn)15 處BESS 充放電功率和SOC 分布情況，取不確定度Γ=0.5，相關(guān)性參數(shù)ρ=0.9、βc=0.5。從附錄B 圖B7 中的充放電功率曲線可以看出，在時段1 至6，分布式光伏出力為零，BESS 主要將初期存儲的能量進(jìn)行釋放，以起到平移負(fù)荷的作用；在時段10 至14 的大部分，分布式光伏出力大發(fā)，BESS 進(jìn)行充電存儲能量。其中，在時段11 至12，考慮光伏出力相關(guān)性的改進(jìn)多面體集合光伏出力最大，BESS 充電存儲能量達(dá)到峰值，進(jìn)一步說明改進(jìn)的相關(guān)性多面體集合的光伏出力波動范圍更緊湊，優(yōu)化結(jié)果的保守性最小；在其他時段，分布式光伏出力和負(fù)荷需求都處于低位，BESS 達(dá)到容量之后不再進(jìn)行充電過程。

4.2 PG&E 69 節(jié)點(diǎn)算例分析

表3 給出了在PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中不確定度Γ對優(yōu)化結(jié)果的影響。從表中可以看出，隨著多面體不確定度Γ的增大，BESS 循環(huán)壽命日折損成本不變、網(wǎng)損成本逐漸增大、購電成本略微增大、棄光懲罰成本逐漸減小。PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中的各項成本的變化規(guī)律與IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中基本一致。

表3 PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中不確定度Γ 對各項成本的影響Table 3 Impact of uncertainty Γ on various costs in PG&E 69-bus system

附錄B 圖B8 和表4 給出了在PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，相關(guān)性參數(shù)ρ和βc的大小對各項成本的影響。從附錄B 圖B8 和表4 可以看出，在PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性較弱時，各項成本幾乎一致；當(dāng)分布式光伏出力之間的相關(guān)性系數(shù)逐漸增大時，棄光懲罰成本減小、網(wǎng)損成本增加、系統(tǒng)總成本增大。同時，廣義線性多面體集合下的總成本最小。因此，PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中各項成本的變化規(guī)律與IEEE 33 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中基本一致，說明本文提出的廣義線性多面體集合AARO 方法不僅適用于IEEE 33 節(jié)點(diǎn)算例的主動配電網(wǎng)小系統(tǒng)，而且適用于PG&E 69 節(jié)點(diǎn)算例的大系統(tǒng)。

表4 PG&E 69 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)下3 種多面體集合對各項成本的影響Table 4 Impact of three polyhedral sets on various costs in PG&E 69-bus system

5 結(jié)語

本文構(gòu)建了考慮分布式光伏相關(guān)性的有源配電網(wǎng)仿射可調(diào)魯棒優(yōu)化模型，通過對偶變換將其轉(zhuǎn)換為一個確定性的混合整數(shù)二階錐規(guī)劃模型進(jìn)行求解。算例結(jié)果表明：

1）在同樣的不確定度下，與不考慮分布式光伏相關(guān)性的多面體不確定集合AARO 方法相比，相關(guān)性多面體不確定集合AARO 方法的棄光懲罰成本最小，但網(wǎng)損成本最大，且系統(tǒng)總成本增大，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果的保守性增大。

2）廣義線性多面體集合既涵蓋了光伏出力波動的全部范圍，又減小了分布式光伏出力波動發(fā)生概率較低的空白區(qū)域。因此，廣義線性多面體集合AARO 方法的棄光成本最低，并且網(wǎng)損成本相較于相關(guān)性多面體不確定集合AARO 方法更低，系統(tǒng)總成本最低，在一定程度上既增加了優(yōu)化結(jié)果的魯棒性，又降低了優(yōu)化結(jié)果的保守性。

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