例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維的有效運(yùn)用

夏衛(wèi)東

【摘要】類比思維，是指通過(guò)對(duì)兩種及兩種以上的問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，發(fā)掘其異同點(diǎn)，并借已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)有效解決未知問(wèn)題的一種思維.本文依據(jù)蘇教版高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)例，分別通過(guò)用類比思維夯實(shí)基礎(chǔ)，筑牢數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)；解決問(wèn)題，提升學(xué)習(xí)效率；推動(dòng)探究，突破問(wèn)題瓶頸；開展活動(dòng)，打造趣味課堂；推動(dòng)實(shí)踐，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)等五個(gè)方面，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用類比思維進(jìn)行探索.

【關(guān)鍵詞】類比思維；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

高中數(shù)學(xué)概念之間存在著一定的相似性，抓住這種相似性特點(diǎn)展開教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比探究，有利于快速找到解題的突破口.類比思維從兩個(gè)事物之間的相似性特征入手，結(jié)合具體的概念、特征來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí).發(fā)展高中生的數(shù)學(xué)類比思維，將其應(yīng)用到概念辨析、數(shù)學(xué)解題、幾何探究等活動(dòng)當(dāng)中，有助于學(xué)生深度掌握數(shù)學(xué)知識(shí).教師要關(guān)注類比活動(dòng)的設(shè)計(jì)，組織學(xué)生對(duì)類比思維進(jìn)行應(yīng)用，以此來(lái)提升高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

1 用類比思維夯實(shí)基礎(chǔ)，筑牢數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)尤其重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)與發(fā)展，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，教師應(yīng)該結(jié)合知識(shí)類比、數(shù)學(xué)概念應(yīng)用的教學(xué)要求展開教學(xué)工作［1］.從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，部分學(xué)生已經(jīng)形成了類比思維，在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，部分學(xué)生會(huì)嘗試對(duì)一些基礎(chǔ)概念、數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行比對(duì).在類比思維的推進(jìn)下，教師要幫助學(xué)生建立基于類比思維的解題模式，通過(guò)數(shù)學(xué)解題活動(dòng)、數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式.

例如 以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材中的“子集、全集、補(bǔ)集”的教學(xué)為例，教師可以借用類比思維促進(jìn)學(xué)生快速掌握基礎(chǔ)概念.首先，在教材中提取數(shù)學(xué)概念，圍繞著子集、全集、補(bǔ)集的定義開展教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)比這個(gè)幾個(gè)概念的異同點(diǎn).其次，圍繞著集合的構(gòu)成與應(yīng)用展開數(shù)學(xué)教學(xué)工作，通過(guò)數(shù)學(xué)類比思維，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比對(duì).如子集與全集的對(duì)比，可以從單一文字的含義上進(jìn)行解讀：子集，可以理解為“集合中的父子關(guān)系”，通過(guò)數(shù)學(xué)類比思維對(duì)子集的概念進(jìn)行推導(dǎo)：子集代表的是集合中部分元素所構(gòu)成的新集合；對(duì)于“全集”，則可以將其理解為“包含全部元素”的集合.在類比思維視角下，從文字、概念的角度入手，讓學(xué)生分析數(shù)學(xué)知識(shí)之間的差異.然后，教師從集合單元的有關(guān)知識(shí)當(dāng)中提取問(wèn)題，要求學(xué)生結(jié)合集合中的有關(guān)概念記憶數(shù)學(xué)知識(shí).除了說(shuō)明數(shù)學(xué)概念的具體含義之外，還要闡述不同數(shù)學(xué)概念之間的差別，驗(yàn)證數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)定理.在教學(xué)活動(dòng)中，教師可以嘗試?yán)脭?shù)學(xué)類比夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念，逐步突破難點(diǎn)，才能循序漸進(jìn)地提高學(xué)生的解題能力.

2 用類比思維解決問(wèn)題，提升學(xué)習(xí)效率

除了基于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)類比思維實(shí)施授課的過(guò)程中，教師也要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用技能的創(chuàng)新發(fā)展.在教學(xué)環(huán)節(jié)，借由數(shù)學(xué)類比思維幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，圍繞著數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中的相似性概念、求解方式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力［2］.部分教師認(rèn)為，類比思維在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中缺乏應(yīng)用價(jià)值，因?yàn)閱?wèn)題的解答方式并不相同.但引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的相似性與差異性特點(diǎn)，可以幫助學(xué)生快速形成解題思路，提高高中生的數(shù)學(xué)解題效率.教師可以引導(dǎo)學(xué)生借由類比思維來(lái)進(jìn)行解題，提升高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

例如 以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材中的“對(duì)數(shù)”的教學(xué)為例，可以結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)，鍛煉高中生的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)應(yīng)用技能.首先，開展基于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究性學(xué)習(xí)，圍繞著數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)算法導(dǎo)入問(wèn)題.其次，通過(guò)數(shù)學(xué)類比思維引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析，提升高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，以下列數(shù)學(xué)問(wèn)題為例：

問(wèn)題1 函數(shù)f（x）=x2－π的定義域?yàn)锳，g（x）=In（x－1）的定義域?yàn)锽，求A與B的交集.

問(wèn)題2 求函數(shù)c=log2x－2的定義域.

從解題要求上來(lái)看，兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解方向并不相同：第一個(gè)問(wèn)題中包含著交集、函數(shù)求解等知識(shí)，第二個(gè)問(wèn)題則要求學(xué)生求解函數(shù)的定義域.但基于類比思維的引導(dǎo)，可以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行比對(duì)：兩個(gè)問(wèn)題都與函數(shù)有關(guān)，在求解的過(guò)程中需要判斷函數(shù)是否成立；第二個(gè)問(wèn)題當(dāng)中包含著對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的劃分，在求解問(wèn)題之前，都要保障兩個(gè)問(wèn)題的基本條件成立.當(dāng)借助數(shù)學(xué)類比思維證明了數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的相似性特點(diǎn)之后，繼續(xù)圍繞著數(shù)學(xué)問(wèn)題的構(gòu)成設(shè)計(jì)教學(xué)，探尋問(wèn)題之間的差異，助力學(xué)生找到解決問(wèn)題的突破口.教師要以問(wèn)題分析、數(shù)學(xué)應(yīng)用等活動(dòng)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生，開發(fā)數(shù)學(xué)教學(xué)新課堂，從而引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)類比思維，以全新的方法進(jìn)行解題［3］.

3 用類比思維推動(dòng)探究，突破問(wèn)題瓶頸

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)于關(guān)注學(xué)生問(wèn)題答案的對(duì)與錯(cuò)，而忽視了學(xué)生的探究精神的培養(yǎng).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，其并沒(méi)有形成出色的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識(shí).針對(duì)學(xué)生身上存在的這一問(wèn)題，教師可以借由數(shù)學(xué)類比思維推動(dòng)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的創(chuàng)新開展，減小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力，整合數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)技能與核心素養(yǎng).在教學(xué)活動(dòng)中，要堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)活動(dòng)的同步創(chuàng)新，組織設(shè)計(jì)并開展基于教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)探究板塊.教師在教學(xué)活動(dòng)中，要多引導(dǎo)學(xué)生開展問(wèn)題探究.

例如 以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材“三角函數(shù)圖象和性質(zhì)”的教學(xué)為例，首先，引入學(xué)生較為熟悉的函數(shù)知識(shí)，如難度較低的一次函數(shù)與圖象、正比例函數(shù)與圖象等，提供類比對(duì)象.其次，圍繞著“三角函數(shù)圖象和性質(zhì)”的有關(guān)教學(xué)要求展開數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)：三角函數(shù)有著怎樣的特性？三角函數(shù)的圖象又應(yīng)該如何進(jìn)行解讀？要求學(xué)生從教材當(dāng)中發(fā)掘問(wèn)題的關(guān)鍵，掌握三角函數(shù)圖象的設(shè)計(jì)方法.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立解題能力.在類比思維的引導(dǎo)下，整合數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生積極開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng).教師從提問(wèn)、互動(dòng)等多角度入手，與學(xué)生進(jìn)行交流：對(duì)函數(shù)圖象的特點(diǎn)與性質(zhì)進(jìn)行類比，分析其中的差異與相似性.在應(yīng)用數(shù)學(xué)類比思維展開探究的過(guò)程中，教師可以扮演一個(gè)“管理者”的角色，引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立探究的過(guò)程中應(yīng)用數(shù)學(xué)類比思維解決有關(guān)問(wèn)題，在處理問(wèn)題之后得出數(shù)學(xué)研究結(jié)論.教師要培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，提高學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，以此進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，提高自己分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，方能快速有效地突破問(wèn)題的瓶頸［4］.

4 用類比思維開展活動(dòng)，打造趣味課堂

基于數(shù)學(xué)類比思維的引導(dǎo)優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式，除了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維與學(xué)習(xí)技能之外，也要關(guān)注趣味化教學(xué)模式的開發(fā)、構(gòu)建.趣味化的教學(xué)活動(dòng)，更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使記憶的時(shí)間更長(zhǎng)久，掌握的知識(shí)技能更牢固［5］.創(chuàng)新數(shù)學(xué)類比教學(xué)活動(dòng)，可以基于數(shù)學(xué)解題、幾何探究等實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.在類比的過(guò)程中完成經(jīng)驗(yàn)積累、思維訓(xùn)練等學(xué)習(xí)任務(wù)，鍛煉高中生的數(shù)學(xué)技能與核心素養(yǎng)，優(yōu)化高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式.

例如 以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教材中的“基本立體圖形”的教學(xué)為例，為幫助學(xué)生整合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，可以圍繞著數(shù)學(xué)概念、幾何圖形資源展開教學(xué)活動(dòng)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.一方面，導(dǎo)入基礎(chǔ)數(shù)學(xué)立體圖形，幫助學(xué)生確定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方向，如長(zhǎng)方體、正方體等數(shù)學(xué)圖形，在觀察的過(guò)程中鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.另一方面，從教材“基本立體圖形”當(dāng)中搜集數(shù)學(xué)知識(shí)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.如教材中對(duì)于棱柱、棱錐等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，在教學(xué)中對(duì)學(xué)生提出數(shù)學(xué)思考問(wèn)題：掌握棱柱、棱錐的幾何概念，結(jié)合有關(guān)概念分析一下，正方體等立體圖形是否屬于立體圖形？在教學(xué)活動(dòng)中，要求學(xué)生整合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.類比思維視角下，也可以導(dǎo)入趣味實(shí)踐問(wèn)題：一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方體經(jīng)過(guò)加工可以變化為一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是多少？如果要將這個(gè)長(zhǎng)方體轉(zhuǎn)化為一個(gè)三棱柱，圖形又應(yīng)該怎樣變化？在解題的過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力展開訓(xùn)練，要求學(xué)生在類比數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)同時(shí)發(fā)展自身的數(shù)學(xué)建模能力.在后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)中，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能與探究性思維.除了基于“圖形變化”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以嘗試圍繞著數(shù)學(xué)知識(shí)展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，如對(duì)于圖形面積、體積的計(jì)算，在低難度的數(shù)學(xué)類比活動(dòng)中，整合數(shù)學(xué)資源，分享數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，構(gòu)建由淺入深的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，減小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題壓力.

5 用類比思維推動(dòng)實(shí)踐，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)類比思維不僅被應(yīng)用到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的當(dāng)中，在生活中，學(xué)生也會(huì)嘗試結(jié)合數(shù)學(xué)類比思維去搜集信息、分享數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)［6］.為了提升高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情與活動(dòng)積極性，教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)類比思維來(lái)創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證數(shù)學(xué)知識(shí)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.組織教學(xué)、互動(dòng)于一體的課外教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)教學(xué)范圍延伸到生活當(dāng)中，可以逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究技能.

例如 以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教材中的“抽樣”的教學(xué)為例，可以有效推動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，鍛煉學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用本領(lǐng).比如，教師創(chuàng)設(shè)這樣一個(gè)情境：園林里有5種不同種類的樹，請(qǐng)對(duì)每種樹的患病率進(jìn)行統(tǒng)計(jì).當(dāng)學(xué)生展開統(tǒng)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)后，發(fā)現(xiàn)由于樹木的數(shù)量大，統(tǒng)計(jì)起來(lái)非常困難，此時(shí)，可進(jìn)一步延伸數(shù)學(xué)教學(xué)范圍：導(dǎo)入有關(guān)于“抽樣”的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生了解抽樣的概念、抽樣統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用：對(duì)于大范圍、大數(shù)量的對(duì)象進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，便可以通過(guò)抽樣的方式減輕統(tǒng)計(jì)壓力.運(yùn)用數(shù)學(xué)類比思維，不能僅僅圍繞基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，更需要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，配合數(shù)學(xué)類比思維，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)和當(dāng)前所學(xué)習(xí)的抽樣統(tǒng)計(jì)進(jìn)行對(duì)比，匯總數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).在教學(xué)中，探索數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，借由數(shù)學(xué)類比思維幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，可以有效提升高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

6 結(jié)語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教師要勇于革新教學(xué)理念，積極探尋有效的教學(xué)方式，幫助學(xué)生形成有效的解決問(wèn)題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)類比思維是基于事物的基本特征與相似性特點(diǎn)展開教學(xué)活動(dòng)的一種思維方式，其關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的綜合發(fā)展，在類比思維理念的指導(dǎo)下，學(xué)生往往能夠?qū)Σ煌臄?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合、應(yīng)用，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率得到了一定的提升.合理發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)類比思維，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)應(yīng)用，才能不斷提升高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效度.

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