數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)思維在解題中的應(yīng)用

孔令磊

(湖北省武漢市華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué))

數(shù)學(xué)解題中,數(shù)學(xué)直觀是基于數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、結(jié)構(gòu)意識(shí)、幾何直觀等建立起來的一種數(shù)學(xué)抽象能力,它影響著解題方案的擬定,是解題的核心.數(shù)學(xué)思維是基于運(yùn)算能力、推理意識(shí)而建立起來的邏輯推理能力,它影響著解題目標(biāo)的達(dá)成,是解題的基礎(chǔ).發(fā)展數(shù)學(xué)直觀、鍛煉數(shù)學(xué)思維是復(fù)習(xí)備考中培養(yǎng)綜合應(yīng)用能力,提升素養(yǎng)水平的集中體現(xiàn).筆者以一道聯(lián)考試題的解法探究為例,剖析數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、試題調(diào)研

【例題】若x,y∈R,4x2+y2+xy=1,則當(dāng)x=________時(shí),x+y取得最大值,該最大值為________.

從高三學(xué)生質(zhì)量分析數(shù)據(jù)看,有42%的學(xué)生能夠做對(duì).筆者對(duì)回答正確的學(xué)生調(diào)研,發(fā)現(xiàn)主要涉及五種解題視角,根據(jù)使用的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表所示:

數(shù)學(xué)直觀配湊視角函數(shù)視角代換視角配方視角幾何視角數(shù)學(xué)思維基本不等式構(gòu)造齊次式消元法判別式柯西不等式三角換元構(gòu)造向量數(shù)形結(jié)合解三角形作輔助線比例35%29%16%14%6%

二、解法剖析

1.配湊視角

適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行配湊,運(yùn)用基本不等式解題,是學(xué)生運(yùn)用最多的方法.這既符合教師對(duì)新教材中基本不等式內(nèi)容的把握,也體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)此類問題的第一感,但配湊出有效的結(jié)構(gòu)是解題的難點(diǎn).

2.函數(shù)視角

建立函數(shù)是解決最值問題常用的方法,在二次型條件下常見的策略有:構(gòu)造齊次式,通過換元得到一元函數(shù);引入極坐標(biāo),得到關(guān)于θ的函數(shù);消元處理,得到關(guān)于一個(gè)變量x的函數(shù).目標(biāo)函數(shù)的建立及其最值的求解,往往有比較大的計(jì)算量,需要學(xué)生有一定的計(jì)算能力.

3.代換視角

問題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,有效地轉(zhuǎn)化可以把較難解決的問題化為較易解決的問題.題設(shè)中有二次型條件,可以整體代換后構(gòu)造二次方程,通過方程有解條件(即利用一元二次方程根的判別式)轉(zhuǎn)化問題,建立不等式.從調(diào)研數(shù)據(jù)看,由代換視角入手解答正確的同學(xué)并不是很多.在教學(xué)的過程中,教師需要把問題轉(zhuǎn)化的思維過程暴露出來,引發(fā)學(xué)生要多思考:如何轉(zhuǎn)化?為什么可以這樣轉(zhuǎn)化?

4.配方視角

5.幾何視角

由二次型結(jié)構(gòu)的特征聯(lián)想到余弦定理,構(gòu)造三角形,給題設(shè)條件和求解目標(biāo)賦予幾何意義,則問題變?yōu)槎ㄟ厡?duì)定角下三角形相關(guān)的最值問題.

三、教學(xué)啟示