第三屆跨區(qū)域命題征集活動成果展示(一)

本刊編輯部

【原創(chuàng)創(chuàng)新試題組】

【原創(chuàng)1】在孟德爾遺傳理論中,D為顯性遺傳因子,d為隱性遺傳因子,則稱DD,Dd為顯性個體,dd為隱性個體,用基因型為Dd的小麥進行連續(xù)自由交配并逐代淘汰隱性個體,an為Fn(子n代)顯性個體中雜合子的比例,其可用列舉法或配子法進行計算.比如:

列舉法計算F1的基因型:

DdDd14DD,12Dd,12dd子一代淘汰隱性個體后基因型為14DD,24Dd子一代顯性個體中,雜合子比例a1=23

配子法計算F1的基因型:

12D12d12D14DD14Dd12d14Dd14dd子一代淘汰隱性個體后基因型為14DD,12Dd子一代顯性個體中,雜合子比例a1=23

(Ⅰ)計算a2的值;

(Ⅱ)求an的通項公式;

(Ⅲ)一批小麥中有子六代、子七代、子八代顯性個體,其比例為2∶3∶5,現(xiàn)從中取一個麥子,如果它是雜合子,計算它是子八代的概率.

【原創(chuàng)2】已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,滿足b1=2a1=2,b2=2a2,a3+b3=11.

(Ⅰ)求{an},{bn}的通項公式;

【答案詳解及創(chuàng)新點分析】

【原創(chuàng)1】

【解題思路】本題前兩問主要依靠生物學中的列舉法和配子法找出數(shù)列{an}的遞推公式,根據(jù)數(shù)列的遞推公式的結構特征找出隱藏的等差數(shù)列,從而求出數(shù)列{an}的通項公式;或者依據(jù)數(shù)學歸納法求解數(shù)列{an}的通項公式.本題的第三問主要考查全概率公式和貝葉斯公式,以實際問題為背景,以數(shù)學為工具進行求解.

【解析】(Ⅰ)解法一:列舉法

13DD23Dd13DD19DD19DD,19Dd23Dd19DD,19Dd19DD,29Dd,19dd子二代淘汰隱性個體后基因型為49DD,49Dd子二代顯性個體中,雜合子比例a2=12

解法二:配子法

23D13d23D49DD29Dd13d29Dd19dd子二代淘汰隱性個體后基因型為49DD,49Dd子二代顯性個體中,雜合子比例a2=12

(Ⅱ)解法一:列舉法

(1-an-1)DDan-1Dd(1-an-1)DD(1-an-1)2DD(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Ddan-1Dd(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Dda2n-14DD,a2n-12Dd,a2n-14dd子n代淘汰隱性個體后基因型為a2n-14-an-1+1()DD,an-1-a2n-12()Dd子n代顯性個體中,雜合子比例an=2an-12+an-1

解法二:配子法

2-an-12Dan-12d2-an-12D2-an-12()2DDan-1(2-an-1)4Ddan-12dan-1(2-an-1)4Dda2n-14dd子n代淘汰隱性個體后基因型為2-an-12()2DD,an-1(2-an-1)2Dd子n代顯性個體中,雜合子比例an=2an-12+an-1

解法三:數(shù)學歸納法(拓展)

假設當n=k(k∈N*)時,①式成立,

當n=k+1時,

k+1k+2D1k+2dk+1k+2Dk+1k+2()2DDk+1(k+2)2Dd1k+2dk+1(k+2)2Dd1(k+2)2dd子n代淘汰隱性個體后基因型為k+1k+2()2DD,2(k+1)(k+2)2Dd子n代顯性個體中,雜合子比例an=2k+3

則當n=k+1時,①式成立.

(Ⅲ)設事件A1:麥子為第六代顯性個體,事件A2:麥子為第七代顯性個體,事件A3:麥子為第八代顯性個體,事件B:任取一個為雜合子,則

【創(chuàng)新點分析】題干材料設置:題干改變傳統(tǒng)跨學科試題中出現(xiàn)的冗長、生硬、脫離實際、難懂等問題,以經(jīng)典的孟德爾遺傳理論為背景,將生物學中通過找規(guī)律得出的結論進行設問;

設問考查角度:本題問題主要考查學生綜合運用生物知識嚴謹?shù)亟鉀Q數(shù)學問題的能力以及通過生物的已知結論,借助數(shù)學歸納法求出通項公式的能力.其次,考查學生將實際生活中生物學與概率學統(tǒng)一運用的能力.

【題型選擇】本題主要考查生物學與數(shù)學的綜合運用能力,設定為解答題.

【考查維度】運算能力、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模.

(原創(chuàng)命題人:劉蕓 長沙市雅禮實驗中學)

【試題評語】本題以孟德爾遺傳理論為背景,考查學生閱讀理解與學科交叉運用的能力,主要考查數(shù)列的通項公式、數(shù)學歸納法、全概率公式和貝葉斯公式,考查數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模核心素養(yǎng),難度較大.

(評語教師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學研究院)

【原創(chuàng)2】

又函數(shù)f(x)=x+4x在R上單調(diào)遞增,且f(1)=5,則d=1,有q=2.

因此,{an}的通項公式為an=1+(n-1)×1=n,{bn}的通項公式為bn=2·2n-1=2n.

【創(chuàng)新點分析】(1)由于給定的已知條件是等差數(shù)列與等比數(shù)列的項的關系,自然而然地就想到設首項、公差(或公比),利用方程組思想,通過計算求得{an},{bn}的通項公式,但此題第(Ⅰ)問的方程組求解與以往有所不同,最后得到的方程為d+4d=5,只能利用函數(shù)的單調(diào)性計算求得.

(3)只有熟練掌握放縮的原則,運用合適的方法,才能夠得出正確結論,完成解題目標.因此,我們在數(shù)學課堂教學中,大家要學會總結與反思,使自己的思維能夠深化,能夠準確放縮,當放的過大(小)時,能迅速調(diào)整放縮不等式,完成解題目標.

(4)放縮要恰當,這不是一天兩天的功夫就能練成的,必須學會觀察、嘗試、反思、積累才能達到熟能生巧的目的,所以不等式的放縮要注意“度”,并不是要把每一項都放縮,要具體情況具體分析,有的是全部放縮,有的第一項不放縮,有的前兩項不放縮,所以反復嘗試、比較進行調(diào)整.

【評分標準】第(Ⅰ)問6分,計算出d=1和q=2各得2分,寫出數(shù)列的通項公式得2分;第(Ⅱ)問6分,能放縮得3分,后面的計算求和得3分.

【方法技巧】

1.數(shù)列不等式的證明是高考數(shù)學中的重點和難點,在高考中屢見不鮮,同時也給考生帶來了不小的麻煩.在數(shù)列不等式證明題中,放縮法是典型的處理方法之一.由于放縮法的靈活多變性和技巧性,多數(shù)學生在遇到這類問題時手足無措,少數(shù)同學能動筆,解題效率比較低.實踐表明,“放大一點過大,縮小一點嫌小”,可見,在數(shù)列不等式證明中對放縮法“度”的把握至關重要.本題依據(jù)對數(shù)列不等式左右兩邊結構和實際數(shù)據(jù)的分析,破解放縮法在數(shù)列不等式證明題中對“度”的控制,使大家真正體會放縮法也是“有法可依”的,揭開其神秘面紗.

2.證明不等式時,有時根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當放大或縮小,使其化繁為簡,化難為易,達到證明的目的,這種方法稱為放縮法.

3.放縮的常見技巧:

4.放縮法在數(shù)列不等式證明中主要有兩種技巧.技巧一:先求和再放縮;技巧二:先放縮(等差數(shù)列、等比數(shù)列、差比數(shù)列、裂項相消數(shù)列)再求和.

【方法示范】

方法一:先求和再放縮使用情景數(shù)列通項化簡變形后求和比較方便(可以是等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、錯位相減、分組求和、倒序相加、裂項相消求和等)解題步驟先對通項進行化簡變形,再對數(shù)列求和,再對最后的和式進行放縮,完成解題目標

(原創(chuàng)命題人:歐陽才學 長沙市雅禮實驗中學)

【試題評語】這是一道數(shù)列題,主要考查了邏輯推理能力.第(Ⅰ)問較為常規(guī),考查了數(shù)列通項公式的求解;第(Ⅱ)問考查了利用“放縮”證明數(shù)列不等式,思維含量較高.

【編者按】本專欄試題由教研團隊基于多年教學經(jīng)驗和高考研究成果命制而成.所選試題緊密結合《中國高考評價體系》的“一核、四層、四翼”,契合高考改革動態(tài),導向明確.試題的全能解析一方面剖析解題思路,使學生步步深入理解試題的內(nèi)涵,知其然且知其所以然,系統(tǒng)掌握學科知識,鍛煉靈活開放的辯證思維;另一方面深入細致地分析考查重點、點明試題亮點、闡釋解題要點,引導廣大師生理解和把握試題命題的依據(jù)和標準,準確識變、科學應變、主動求變,不斷夯實學科關鍵能力、提升學科核心素養(yǎng).