數(shù)形結(jié)合巧說理，思維碰撞促提升

［摘? 要］ 圖形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的元素，它是展示數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，也是促進(jìn)思維發(fā)展的工具。它能夠挖掘隱性知識(shí)內(nèi)涵，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)；能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)變得更加形象，使課堂教學(xué)生動(dòng)有趣；能夠動(dòng)態(tài)展示知識(shí)的形成過程，增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)。文章從巧用圖形顯隱性、妙用圖形化形象、善用圖形展動(dòng)態(tài)三個(gè)方面探索運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，以促進(jìn)學(xué)生明白數(shù)學(xué)道理，提升思維能力。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)形結(jié)合；思維能力；數(shù)學(xué)道理

作者簡介：張淼（1978—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。

數(shù)學(xué)是一門具有邏輯思維的學(xué)科，知識(shí)的增長應(yīng)伴隨著思維能力的提升。倘若教師在教學(xué)中采用滿堂灌的方法讓學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，不能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考探究，體驗(yàn)知識(shí)發(fā)展過程，明晰數(shù)學(xué)道理，就會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)致學(xué)生不敢質(zhì)疑，不能積極表達(dá)自己的想法，這不利于學(xué)生深度思維的發(fā)展。數(shù)學(xué)知識(shí)是從具體問題中抽象和概括出來的事物本質(zhì)特征，具有很強(qiáng)的抽象性，借助直觀的圖形，可以將抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為生動(dòng)形象的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。因此，在教學(xué)中教師要通過數(shù)形結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)道理，在深度思維活動(dòng)中學(xué)會(huì)表達(dá)，善于說理，發(fā)展思維，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、巧用圖形顯隱性，說理糾錯(cuò)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤是對(duì)知識(shí)的理解不夠深刻或理解出現(xiàn)偏差后的反映。糾正錯(cuò)誤，形成正確認(rèn)識(shí)，從而逐步提升思維能力是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種路徑。面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，倘若教師僅僅將正確答案塞給學(xué)生，而不能讓學(xué)生理解其中蘊(yùn)含的道理，那么學(xué)生還會(huì)一錯(cuò)再錯(cuò)。因此，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識(shí)背后隱藏的道理，對(duì)錯(cuò)誤的原因講解透徹，使學(xué)生能夠真正糾正錯(cuò)誤，形成正確認(rèn)識(shí)。圖形能夠?qū)㈦[性的知識(shí)變得形象具體，教師在教學(xué)中要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的策略將隱性的知識(shí)本質(zhì)顯性地呈現(xiàn)出來，使學(xué)生直觀地明白錯(cuò)誤的原因，找到正確的方法，從而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升思維能力。

案例1? 兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式筆算

課件展示例題14×12。

師：大家一起看一下這道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的例題，我們還沒有學(xué)習(xí)過這樣的計(jì)算，你能嘗試計(jì)算出這道題的得數(shù)嗎？

生1：我們可以將14和12分別分解成10和4與10和2，接著分別將4和2相乘，得到8，再將兩個(gè)10相乘得到100，最后將兩者相加可以得到結(jié)果為108。

師：這樣的解法正確嗎？

學(xué)生猶豫不決，不能確定。

師：我們一起來觀察生1的計(jì)算過程（如圖1），對(duì)照表格（如圖2）想一想這個(gè)答案是否正確？如果這個(gè)答案是不正確的，那么錯(cuò)在哪里？

學(xué)生結(jié)合圖1和圖2，將生1的計(jì)算過程與表格內(nèi)容進(jìn)行比較，查看計(jì)算是否正確。

生1：與表格內(nèi)容比較，我發(fā)現(xiàn)我的得數(shù)構(gòu)成里面只有8和100兩個(gè)部分，沒有計(jì)算出40和20這兩個(gè)部分。

生2：生1計(jì)算的時(shí)候僅僅用個(gè)位與個(gè)位相乘，十位與十位相乘，漏掉了10×4和2×10兩個(gè)部分。

生3：我們在計(jì)算兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘時(shí)，不僅要將個(gè)位數(shù)與個(gè)位數(shù)相乘，十位數(shù)與十位數(shù)相乘，還要分別將個(gè)位數(shù)與十位數(shù)相乘。

師：很好，我們一起通過動(dòng)態(tài)演示來觀察兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算過程。

課件動(dòng)態(tài)展示計(jì)算過程，如圖3。

生4：課件動(dòng)態(tài)演示了兩位數(shù)乘法的過程，可以看到結(jié)果是由四個(gè)部分構(gòu)成的，要將個(gè)位與十位進(jìn)行兩兩相乘，因此生1的解法出現(xiàn)了錯(cuò)誤。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤答案往往是其內(nèi)心認(rèn)定的想法，因此要糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，必須讓學(xué)生從內(nèi)心真正“信服”。本例中，教師在面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤時(shí)沒有直接將正確答案和盤托出，而是借助圖形引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算過程中的問題，使學(xué)生能夠?qū)㈠e(cuò)誤的原因分析透徹，講解清楚，從而對(duì)錯(cuò)誤的計(jì)算方法進(jìn)行剖析和修正，形成正確的認(rèn)識(shí)。通過動(dòng)態(tài)的計(jì)算過程演示，學(xué)生在對(duì)比中能夠清晰地表達(dá)算理，對(duì)于兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘有了更加深刻的認(rèn)識(shí)，為接下來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

二、妙用圖形化形象，講理解惑

數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性常常讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解產(chǎn)生困難，還處于形象思維中的小學(xué)生往往面對(duì)抽象的知識(shí)會(huì)出現(xiàn)許多困惑，甚至導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)出現(xiàn)畏懼心理。要幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)題，依靠單純灌輸是行不通的。對(duì)此，在教學(xué)中教師可以巧妙地運(yùn)用圖形，將抽象的知識(shí)進(jìn)行形象化表達(dá)，通過圖形將提煉出的知識(shí)直觀地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生能夠清楚明白地講道理，解疑惑，增強(qiáng)思維深刻性。

案例2? 小數(shù)乘法

在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法時(shí)，學(xué)生會(huì)經(jīng)常遇到這樣的問題：當(dāng)乘數(shù)分別大于、等于和小于1時(shí)，積的變化有何規(guī)律？在教學(xué)中，教師一般是通過計(jì)算例題、引導(dǎo)觀察、提煉總結(jié)、舉例驗(yàn)證的方式使學(xué)生掌握積的變化規(guī)律。雖然大部分學(xué)生能夠掌握這一結(jié)論，但是仍然有不少的學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下困惑。

生1：整數(shù)乘法的意義是幾個(gè)相同加數(shù)的和，因此積必然是大于或者等于其中一個(gè)乘數(shù)，但是在小數(shù)乘法中，卻出現(xiàn)了積小于其中一個(gè)乘數(shù)的現(xiàn)象，這是為什么呢？

師：同學(xué)們觀察得非常仔細(xì)，也很善于思考，我們一起來研究這幾個(gè)算式，1.5×1，1.5×1.4，1.5×0.8，比較這幾個(gè)算式的得數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？說一說其中的道理。

學(xué)生小組討論交流，互相分享自己的想法。

生2：類比整數(shù)乘法的意義，我們可知1.5×1表示1個(gè)1.5，積為1.5，而1.5×1.4表示1.5的個(gè)數(shù)超過1，1.5×0.8表示1.5的個(gè)數(shù)小于1，所以它們的積分別比1.5大和比1.5小。

學(xué)生紛紛表示同意。

生3：我覺得生2的說法是非常正確的，我還可以利用圖形來講解其中的道理。

師：很好，剛才老師發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)小組都是用畫圖的方式來分析的，我們來聽聽生3是如何思考的。

生3：我們可以用長為1.5、寬為1的長方形的面積來表示1.5×1的結(jié)果，如圖4。

師：這種數(shù)形結(jié)合的方法非常好，那么1.5×1.4的積與1.5相比，有什么關(guān)系呢？

生：3：我們可以再畫一個(gè)長方形，如圖5，長依然是1.5不變，寬則變成1.4，將這個(gè)長方形的寬分割成1和0.4兩個(gè)部分，那么大長方形的面積由兩個(gè)小長方形構(gòu)成，即1.5×1.4=1.5×1+1.5×0.4，觀察算式可知面積增加了1.5×0.4這一個(gè)部分，因此積一定比乘數(shù)1.5大。

師：很好，積大于其中一個(gè)乘數(shù)的情況我們清楚了，那么1.5×0.8的積比其中一個(gè)乘數(shù)小又是什么原因呢？你能用畫圖的方式進(jìn)行解釋嗎？

生3：我們還是用圖形來進(jìn)行表示，如圖6，長方形的長不變，寬減小為0.8，相當(dāng)于將原來的寬平均分為10份，現(xiàn)在取其中的8份，那么這個(gè)長方形的面積為1.5×0.8，比較可知長方形的面積減少了1.5×0.2這一部分。在計(jì)算過程中，可以將1.5×0.8看作1.5×1-1.5×0.2，計(jì)算所得結(jié)果自然比1.5小。

師：生3的講解非常清晰，我們無論是從直觀圖形觀察中，還是從直接計(jì)算中都能發(fā)現(xiàn)1.5×0.8的積比乘數(shù)1.5小。

生4：從圖形變化中我還發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，如圖7，長方形的長始終不變，若寬比1小，則長方形的面積小于1.5；若寬與1越接近，則長方形的面積越接近1.5；若寬等于1，則長方形的面積恰好等于1.5；而寬比1大，則長方形的面積會(huì)大于1.5。

師：生4觀察非常仔細(xì)，總結(jié)也很準(zhǔn)確，相信同學(xué)們都受到了很大的啟發(fā)。我們發(fā)現(xiàn)要總結(jié)小數(shù)乘法中積的規(guī)律，可以通過畫圖觀察、列舉實(shí)例等不同的方式來理解?，F(xiàn)在你們知道什么時(shí)候乘數(shù)的積會(huì)比其中一個(gè)乘數(shù)小了嗎？

生5：若乘法算式中一個(gè)乘數(shù)比1小，則兩個(gè)乘數(shù)的積會(huì)比另一個(gè)乘數(shù)小。

數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)規(guī)律具有抽象性，需要學(xué)生在觀察實(shí)踐中探究思考，不斷深化自己的認(rèn)識(shí)。本例中，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度嘗試說理，如從幾何角度進(jìn)行長方形面積比較、從代數(shù)角度用乘法分配律比較，真正做到圖與數(shù)相結(jié)合，揭示了乘法規(guī)律，更為重要的是學(xué)生在探究過程中掌握了驗(yàn)證說理的方法，領(lǐng)會(huì)了知識(shí)的本質(zhì)，從而使抽象的知識(shí)變得更加形象生動(dòng)、淺顯易懂。學(xué)生在輕松的氛圍中討論交流，互相激發(fā)，生成了更多的課堂智慧，激發(fā)了學(xué)習(xí)的熱情，使課堂更具生命力。

三、善用圖形展動(dòng)態(tài)，明理勾連

數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯性，知識(shí)內(nèi)在也具有密切的聯(lián)系。學(xué)生正處在認(rèn)知發(fā)展的階段，還不能從整體上看待知識(shí)之間的聯(lián)系，造成頭腦中的知識(shí)點(diǎn)相互孤立，往往難以主動(dòng)構(gòu)建起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，更不會(huì)將知識(shí)融會(huì)貫通，在解決問題中靈活使用。因此，教師要善用圖形、思維導(dǎo)圖、表格梳理等形式為學(xué)生動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)知識(shí)的形成過程，從而引導(dǎo)學(xué)生由局部到整體，建構(gòu)知識(shí)聯(lián)系。

案例3? 乘法分配律

下列哪個(gè)算式中運(yùn)用了乘法分配律進(jìn)行計(jì)算？

（1）簡便計(jì)算125×32×25，可以寫成（125×8）×（4×25）；

（2）由450÷15=30，得出4.5÷0.15=30；

（3）計(jì)算0.73×2.6后，用2.6×0.73驗(yàn)算；

生1：我覺得第（1）個(gè)算式使用了乘法分配律。

生2：我覺得第（1）個(gè)算式是乘法結(jié)合律，不是乘法分配律。

生3：我覺得首先要排除第（4）個(gè)算式。

生4：第（4）個(gè)算式雖然是豎式計(jì)算，但是仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用了乘法分配律。

……

學(xué)生熱烈討論，充分暴露出他們對(duì)于乘法分配律的理解還不夠深刻。教師只要在呈現(xiàn)的形式上稍做改變，學(xué)生就會(huì)被“蒙騙”，這反映出學(xué)生沒有從本質(zhì)上理解乘法分配律，也沒有在乘法豎式計(jì)算與乘法分配律之間構(gòu)建聯(lián)系，不會(huì)靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行判斷。因此，教師可以借助圖形動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)乘法計(jì)算過程，從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系。

師：大家回憶豎式計(jì)算的過程，能不能借助乘法分配律的知識(shí)來講一講圖8豎式計(jì)算中的算理？

生1：在15×12的豎式計(jì)算中，我分成兩個(gè)步驟進(jìn)行計(jì)算，第一步求出2個(gè)15的和為30，第二步求出10個(gè)15的和為150，最后將兩者相加求和為180。

生2：也可以結(jié)合點(diǎn)子圖進(jìn)行理解，將一個(gè)10×15的點(diǎn)子圖分為兩個(gè)部分，分別計(jì)算出2行點(diǎn)子和10行點(diǎn)子的個(gè)數(shù)，最后兩者相加即為12行點(diǎn)子的總數(shù)。

利用點(diǎn)子圖動(dòng)態(tài)演示豎式計(jì)算，將兩者一一對(duì)應(yīng)。

師：生1和生2的分析非常正確，那么我們能不能將點(diǎn)子分配的過程用橫式表示出來呢？

生3：如圖9，用橫式計(jì)算將點(diǎn)子圖的分配過程表示出來，可以發(fā)現(xiàn)豎式與橫式計(jì)算的算理具有一致性，兩者都使用了乘法分配律。

學(xué)生用橫式計(jì)算將乘法的計(jì)算過程表示出來，并且與點(diǎn)子圖上的各個(gè)部分進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，進(jìn)一步理解了乘法分配律在具體問題中的應(yīng)用。

乘法分配律的知識(shí)在乘法計(jì)算以及混合計(jì)算中有著廣泛的運(yùn)用，能夠?yàn)閷W(xué)生解決實(shí)際問題提供更加便捷的方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)僅僅采用記憶的方法很難深刻理解其中的算理，導(dǎo)致使用過程僵化，思維得不到鍛煉。本例中，教師結(jié)合點(diǎn)子圖將乘法分配律與豎式計(jì)算建構(gòu)聯(lián)系，在多位數(shù)乘法與乘法分配律之間架起一座橋梁。教師還通過借圖說理、數(shù)形結(jié)合，將乘法分配律的“外形”進(jìn)行變化，引導(dǎo)學(xué)生探究其本質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，并建立起對(duì)乘法分配律的完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

綜上所述，圖形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，巧妙運(yùn)用圖形語言能夠?qū)⒊橄蟆⑸羁?、靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象生動(dòng)、淺顯易懂。教學(xué)中，教師要善用圖形語言，滲透數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)與形統(tǒng)一的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的思維能力，使學(xué)生不僅掌握知識(shí)，還能在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上講清楚知識(shí)的本質(zhì)，從而提升學(xué)習(xí)效果，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。