例談求圖形陰影部分面積的方法

吳婷

在《整式》這部分內(nèi)容中，經(jīng)常會遇到求圖形陰影部分面積的問題，所求陰影部分通常為不規(guī)則圖形，一般由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓等基本圖形組合而成.在解答此類問題時，同學(xué)們要從圖形中發(fā)現(xiàn)解題線索，通過觀察和分析，對不規(guī)則圖形進行分解和組合，然后再進行整式的加減運算，得出最后的結(jié)果.

一、分割法

分割法是將不規(guī)則圖形分割成幾個基本規(guī)則圖形，先用代數(shù)式表示出幾個基本規(guī)則圖形的面積，再將規(guī)則圖形的面積相加，通過整式的加法運算，計算出原不規(guī)則圖形的面積.

例1? 如圖1，陰影部分的面積是（??? ）.

A.??? B.? ???C.4xy??? D.2xy

分析：這是一個不規(guī)則的圖形，但是，我們發(fā)現(xiàn)這個圖形可以通過延長線段的方法，把原來不完整的圖形分割成兩個完整的長方形.這樣陰影部分的面積就等于大長方形的面積加上小長方形的面積.

解：如圖1，延長線段，把圖形分割成兩個長方形，

則大長方形的面積為：2y× 1.5x = 3xy，

小長方形的面積為：y×0.5x = 0.5xy，

所以，陰影部分的面積為：3xy+ 0.5xy= 3.5xy，故選A項.

二、補形法

若由于圖形不規(guī)則造成陰影部分面積直接求解較為困難，可對圖形進行合理的填補，將原來凌亂的、不規(guī)則的圖形整合成一個規(guī)則圖形，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個基本規(guī)則圖形面積的差來求解.運用整式的減法進行計算.

例2? 一家住房的結(jié)構(gòu)如圖2所示，房子的主人打算把臥室以外的部分都鋪上地板磚，至少需要多少平方米的地板磚？如果這種地板磚的價格為a元/平方米，那么購買地板磚至少需要多少元？

分析：這是一個不規(guī)則的圖形，陰影部分的面積由三個不同的長方形的面積組成，如果一個一個的去求就會顯得很繁瑣.但是，我們發(fā)現(xiàn)這個圖形可以通過延長線段的方法，把原來不完整的圖形補成一個完整的長方形.這樣陰影部分的面積就等于大長方形的面積減去右上角空白長方形的面積和左上甭空白長方形的面積.

解：如圖2，延長線段，把圖形補成一個長方形，則右上角空白長方形的長為2y，寬為2x，左上角空白長方形的長為y，寬為x，

所以，陰影部分的面積為：4x×4y-x×y- 2x×2y = 11沖平方米，

又因為這種地板磚的價格為a元/平方米，所以購買地板磚至少需要11xya元.

三、平移法

平移法也是求解不規(guī)則圖形面積的一種常用方法.通過對圖形的平移，可以使圖形的位置發(fā)生改變，從而將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為與它等面積的規(guī)則圖形的面積來進行計算.利用平移解答圖形陰影部分的面積問題，首先要把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，也就是列代數(shù)式，然后對整式進行運算與化簡.

例4? （1）圖3和圖4是兩個長和寬分別相等的長方形，兩個圖形中的陰影部分的面積的大小關(guān)系是______，用含a，b，c的代數(shù)式表示一個圖形陰影部分的面積是______.（2）結(jié)合以上結(jié)論，推斷圖5中陰影部分的面積分別是______.

分析：（1）利用平移可把圖4變形為圖3，則可判斷兩個圖形中的陰影部分的面積相等，然后利用大矩形的面積減去空白矩形的面積即可得到陰影部分的面積；（2）利用平行四邊形的面積公式，可把圖5轉(zhuǎn)化為圖4，陰影部分的面積不變，然后再轉(zhuǎn)化為圖3進行計算.

解：（1）兩個圖形中的陰影部分的面積相等，都是 ab - （a-c）（ b - c） = ac + c2;

（2）圖5中陰影部分的面積是ac +bc-c2. 故答案為⑴相等，ac+bc-c2;

（2）ac + bc - c 2.

四、整體和差法

整體和差法是一種著眼于整體的解題方

法.對于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的圖形，同學(xué)們要善于觀察，分析出不規(guī)則圖形是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，進而把分散的不規(guī)則圖形重新組合成規(guī)則整體，再利用組合后規(guī)則圖形面積的和或差來求得陰影部分的面積.

例5? 如圖6，已知正方形的邊長為a，以各邊長為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為（??? ）.

分析：通過觀察得知陰影部分的面積等于4個半圓面積戒去正方形面積，再由正方形邊長為a可列出代數(shù)式.

解：圖6中各部分面積表示名稱，如圖7 所示，

∵S陰影=S1+S2+S3+S4，

4個半圓的面積是（S1+S2+S5）+（S2+S6+ S3）+（S3+S7+S4）+（S1+S8+S4）=（S1 +S2+S3+S4）+ （S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8），

正方形的面積=S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8

∴S陰影=4個半圓的面積-正方形的面積

正方形的邊長為a，且a為半圓的直徑

∴S陰影=4×1/2π×-a2=a2-a2.

故選B項.

求陰影部分的面積問題形式多種多樣，解題的關(guān)鍵在于通過對圖形進行割補、平移，或?qū)⒎稚⒌膱D形整合集中，從而將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的規(guī)則圖形來求解.