學(xué)思探微，歸納剖析
——備考不等式及其解法

■四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 黃 芹

在近幾年的高考解答題中,關(guān)于不等式的考查主要包括解一元二次不等式、指對(duì)數(shù)不等式、三角不等式等。在高考選填題中,還常常涉及利用函數(shù)圖像解不等式、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式等。本文旨在歸納不等式及其解法的題目類型,挖掘做題方法和技巧,希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。

類型一、利用函數(shù)圖像解不等式

抓住函數(shù)圖像特征(定義域、值域、對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性和特殊點(diǎn)等),結(jié)合函數(shù)圖像和選項(xiàng)確定答案。

例 1(2023 年商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖像如圖1 所示,則不等式x2f(x)＞2f(x)的解集為( )。

圖1

解析：根據(jù)奇函數(shù)圖像的特征,作出f(x)在(-∞,0)上的圖像,如圖2所示。

圖2

由x2f(x)＞2f(x),得(x2-2)f(x)＞0,則結(jié)合f(x)的圖像解得x＜-2或或。

例 2(2023 年貴陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x∈(0,1] 時(shí),f(x)=x(x-1)。若對(duì)任意的x∈(-∞,m],都有f(x)≥-成立,則m的取值范圍為( )。

解析：已知當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=x(x-1),f(x+1)=2f(x)。

所以當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=2f(x-1),即f(x)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍。

當(dāng)x∈(2,3]時(shí),f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),如圖3所示。

圖3

令4(x-2)(x-3)=,解得x1=。

所以要使對(duì)任意的x∈(-∞,m],都有成立,則。

所以m的取值范圍為。故選B。

點(diǎn)睛:對(duì)f(x+1)=2f(x)的理解是畫出函數(shù)圖像的關(guān)鍵。解不等式轉(zhuǎn)化為找y=上方的圖像所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。

類型二、由表達(dá)式直接運(yùn)算解不等式

解一元二次不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、含絕對(duì)值的不等式是直接求解不等式的常見題型。解指對(duì)數(shù)不等式的關(guān)鍵是熟練掌握指對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征。解含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是能否利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值。

例3(2023 年重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)則f(x)＜f(x+1)的解集為_____。

解析：當(dāng)x≤0 時(shí),x+1≤1,f(x)＜f(x+1)等價(jià)于x2-1＜(x+1)2-1,解得;

當(dāng)0＜x≤1時(shí),x+1＞1,此時(shí)f(x)=x2-1≤0,f(x+1)=log2(x+1)＞0,所以恒有f(x)＜f(x+1);

當(dāng)x＞1時(shí),x+1＞2,f(x)＜f(x+1)等價(jià)于log2x＜log2(x+1),此時(shí)也恒成立。

綜上可得,不等式f(x)＜f(x+1)的解集為。

點(diǎn)睛:本題的解答可歸結(jié)為解一元二次不等式和對(duì)數(shù)不等式。解對(duì)數(shù)不等式的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。

例4(2023 年南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函數(shù)。

(1)求k;

(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1)。

解析：(1)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx對(duì)任意的x∈R 恒成立,所以2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=,所以k=-1。

(2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=(3x+3-x),則不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等價(jià)于3x+3-x≥7·3x-1＞0。

由7·3x-1＞0,解得x＞-log37;

由3x+3-x≥7·3x-1,得6·(3x)2-3x-1≤0,得,即x≤-log32。

綜上可得,所求不等式的解集為(-log37,-log32]。

點(diǎn)睛:第(2)問解對(duì)數(shù)不等式,轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式和一元二次不等式。解指數(shù)不等式的關(guān)鍵是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。

例5(2023年上海高三專題練習(xí))已知a,b,c∈R,若關(guān)于x的不等式0≤x+的解集為[x1,x2]∪{x3}(x3＞x2＞x1＞0),則( )。

A.不存在有序數(shù)組(a,b,c),使得x2-x1=1

B.存在唯一有序數(shù)組(a,b,c),使得x2-x1=1

C.有且只有兩組有序數(shù)組(a,b,c),使得x2-x1=1

D.存在無窮多組有序數(shù)組(a,b,c),使得x2-x1=1

解析：由題意知不等式0≤x2+bx+a≤c-x,即的解集是[x1,x2]∪{x3}(x3＞x2＞x1＞0),則不等式x2+bx+a≥0的解集是{x|x≤x2或x≥x3},不等式x2+bx+a≤c-x的解集是{x|x1≤x≤x3}。

①-②得x2-x1=1,所以存在無窮多組有序數(shù)組(a,b,c),使得x2-x1=1。故選D。

點(diǎn)睛:本題解答的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化求一元二次不等式的解集,從而結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出結(jié)論。

類型三、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

例6(2023 年揚(yáng)中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)在定義域[2-a,3]上是偶函數(shù),在[0,3]上單調(diào)遞減,并且f(-m2+2m-2),則m的取值范圍是_____。

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域[2-a,3]上是偶函數(shù),所以2-a+3=0,解得a=5,所以f(-m2-1)＞f(-m2+2m-2)。

因?yàn)閒(-x)=f(x)=f(|x|),所以f(|-m2-1|)＞f(|-m2+2m-2|)。

又因?yàn)閒(x)在[0,3]上單調(diào)遞減,所以解得。故m的取值范圍是。

點(diǎn)睛:本題是利用抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式,特別是偶函數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)睛:觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),分析函數(shù)的單調(diào)性,從而應(yīng)用單調(diào)性解不等式。

類型四、討論函數(shù)的單調(diào)性

已知函數(shù)的解析式,討論函數(shù)的單調(diào)性,本質(zhì)上是解不等式f'(x)＞0,f'(x)＜0。含參數(shù)的不等式需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,討論的依據(jù)常常是判斷對(duì)應(yīng)方程是否有實(shí)根及比較對(duì)應(yīng)方程的根的大小,考查函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化,是綜合性題目。

例8(2023 年合肥質(zhì)檢)已知函數(shù),試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

點(diǎn)睛:解含參一元二次不等式時(shí),應(yīng)先判斷對(duì)應(yīng)一元二次方程是否有實(shí)根,再討論一元二次方程的根的大小。

例9(2023年山西聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ex+m(x+2)2,m∈R,討論f(x)的單調(diào)性。

解析：依題意得f'(x)=(x+2)ex+2m(x+2)=(x+2)(ex+2m)。

①若m≥0,則當(dāng)f'(x)＜0 時(shí),得x＜-2;當(dāng)f'(x)＞0時(shí),得x＞-2。所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,+∞)上單調(diào)遞增。

點(diǎn)睛:通過判斷方程(x+2)(ex+2m)=0的根的個(gè)數(shù)及比較方程根的大小來討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

備考不等式及其解法,打好基礎(chǔ)是關(guān)鍵,基礎(chǔ)知識(shí)包括熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì),函數(shù)與方程、不等式的關(guān)聯(lián)和轉(zhuǎn)化,靈活運(yùn)用函數(shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)解不等式,典型題目掌握通性通法才能做到融會(huì)貫通,靈活運(yùn)用。