把握高考最新動(dòng)向，高效突破解析幾何

■四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 余 強(qiáng)

解析幾何部分一直是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn),2023年高考依然凸顯了利用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)和利用幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的本質(zhì),體現(xiàn)在突出主干知識(shí),重視解析幾何的本質(zhì)、基本思想與方法,考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。下面以具有代表性、方向性的試題為載體,對(duì)解析幾何中的熱點(diǎn)題型進(jìn)行歸類剖析,希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、填空題與選擇題的考查方式繼續(xù)保持穩(wěn)定

1.直線與圓主要以選填題的形式出現(xiàn),主要考查直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系,注重考查基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用

例1(2023年陜西西安高三模擬)已知A,B是圓M:(x-2)2+y2=1 上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則的取值范圍是( )。

故選C。

評(píng)注:在處理直線與圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)多用幾何法,即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形。同時(shí),若已知圓M及圓外一定點(diǎn)O,設(shè)圓M的半徑為r,則圓上點(diǎn)N到原點(diǎn)O距離的最小值為|ON|=|OM|-r,最大值為|ON|=|OM|+r。

2.圓錐曲線的選填題依然考查根據(jù)條件求圓錐曲線的方程,以及根據(jù)圓錐曲線的方程研究離心率、夾角、弦長(zhǎng)等基本性質(zhì)

例2(2023年福建漳州高三質(zhì)檢)已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F2為圓心的圓與x軸交于F1,B兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)A,線段AF1與橢圓C交于點(diǎn)M。若|BM|與橢圓C的焦距的比值為,則橢圓C的離心率為( )。

故選D。

評(píng)注:圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算是高考的熱點(diǎn)問題,求橢圓或雙曲線的離心率或離心率的范圍,可以利用橢圓或雙曲線中a,b,c某個(gè)量的取值范圍確定e;或者構(gòu)造a,b,c的齊次不等式確定e。也可利用圖形中的位置關(guān)系(如三角形中的邊角關(guān)系,曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等)建立不等式(不等式組)來(lái)確定e。

二、圓錐曲線解答題注重運(yùn)算和思維的綜合考查

高考中的解析幾何解答題依舊是聚焦幾種常見題型,即求軌跡方程、弦長(zhǎng)或面積問題,最值與范圍問題,以及有關(guān)定點(diǎn)定值的探究性問題等。

1.求軌跡方程、弦長(zhǎng)或面積問題

例3(2023年貴州高三聯(lián)考)已知直線l1⊥x軸,垂足為x軸負(fù)半軸上的E,E關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為F,且|EF|=4,直線l1⊥l2,垂足為A,線段AF的垂直平分線與直線l2交于點(diǎn)B,記點(diǎn)B的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程;

(2)已知點(diǎn)P(2,4),不過點(diǎn)P的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P,P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,若△QMN的面積是,求直線l的斜率。

解析：(1)由線段AF的垂直平分線與直線l2交于點(diǎn)B,可得|AB|=|BF|,即點(diǎn)B到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)B到直線l1的距離。由|EF|=4,可知直線l1的方程為x=-2,所以F(2,0),所以點(diǎn)B的軌跡C是以F為焦點(diǎn),直線l:x=-2 為準(zhǔn)線的拋物線,所以點(diǎn)B的軌跡C的方程為y2=8x。

(2)根據(jù)題意知直線l的斜率不為0,設(shè)直線l:x=my+n,且M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程組消去x整理得y2-8my-8n=0,所以Δ=64m2+32n＞0,y1+y2=8m,y1y2=-8n。

將y1+y2=8m,y1y2=-8n代入化簡(jiǎn)得(n-6)2=16(m+1)2,所以n-6=±4(m+1),所以n=4m+10或n=-4m+2。

因?yàn)橹本€l不經(jīng)過點(diǎn)P,所以n≠-4m+2,所以n=4m+10,此時(shí)滿足Δ＞0。

所以直線l的斜率為1或。

評(píng)注:涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題,可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化。涉及直線與拋物線的綜合問題,通常設(shè)出直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解即可。

2.最值與范圍問題

例4(2023年河南高三聯(lián)考)設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為,且E的漸近線方程為。

(1)求雙曲線E的方程;

(2)過F2作兩條相互垂直的直線l1和l2,與雙曲線E的右支分別交于A,C兩點(diǎn)和B,D兩點(diǎn),求四邊形ABCD面積的最小值。

評(píng)注:解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略:(1)幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決;(2)函數(shù)取值法:若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯,則可以建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值(或值域),常用方法有配方法、基本不等式法和單調(diào)性法,解題時(shí)要特別注意自變量的取值范圍。

3.定點(diǎn)定值問題

例5(2023年河南開封高三模擬)已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),橢圓E的短軸長(zhǎng)為2,左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是A,B。

(1)求橢圓E的方程;

(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-2,2),并且與橢圓E交于點(diǎn)M,N,直線BM與直線OP交于點(diǎn)T,設(shè)直線AT,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值。

(2)由(1)可得A(-2,0),B(2,0),顯然直線MN的斜率存在且不為0。

設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,由題意得2=-2k+m,所以m=2+2k。

評(píng)注:定點(diǎn)定值問題在高考中出現(xiàn)的頻率很高,求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路:(1)把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待,把方程一端化為零,既然是過定點(diǎn),那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立,這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零,這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)。(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí),若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0),則直線必過定點(diǎn)(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m)。求解直線與圓錐曲線的定值問題的常見類型及策略:(1)求代數(shù)式為定值。依題設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式后化簡(jiǎn)即可求得定值。(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值。利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形即可求得定值。(3)求某線段長(zhǎng)度為定值。利用長(zhǎng)度公式求得解析式,再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得定值。

從以上例題可以看出,解析幾何不僅要求同學(xué)們就課本所涉及的內(nèi)容做好系統(tǒng)復(fù)習(xí),打好基礎(chǔ),還要掌握解析幾何的基本思想和方法,提高運(yùn)用解析幾何基本思想方法分析問題、解決問題的能力,在注意解題思想的同時(shí),總結(jié)一些解題技巧,如“設(shè)而不求”“參數(shù)法”“定義法”“幾何法”等,常能化難為易,化繁為簡(jiǎn),收到事半功倍的效果。