考慮慣性載荷的多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

任毅如 ，楊林海 ，米棟 ，張立章 ，何杰 ，向劍輝

（1.湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙 410082；2.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002）

拓撲優(yōu)化指在給定的設(shè)計域內(nèi)不斷優(yōu)化設(shè)計變量使得結(jié)構(gòu)在滿足設(shè)計要求的同時達到材料分布的最優(yōu)解，其由于具有優(yōu)化自由度高、材料利用率強的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于汽車設(shè)計、航空航天、聲學等領(lǐng)域［1-3］.

1981 年程耿東［4］對實心彈性薄板的優(yōu)化研究，被認為是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的奠基性工作.各算法相繼被提出用于解決拓撲優(yōu)化問題.然而在早期的拓撲優(yōu)化問題中，研究重點大多側(cè)重于施加外部載荷作用下的優(yōu)化，慣性載荷作為與設(shè)計結(jié)構(gòu)質(zhì)量直接相關(guān)的載荷往往被忽略［5］，以此得出的優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用于實際工程問題是不可靠的.Rozvany 等［6］首先提出了關(guān)于自重的優(yōu)化設(shè)計問題.陳樹勛和葉尚輝［7］為解決天線設(shè)計問題提出了導重法.Bruyneel等［8］對固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）進行了修正，來改善慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中低密度區(qū)域存在的寄生效應(yīng).Huang 等［9］開發(fā)一種新的帶有插值函數(shù)的雙向結(jié)構(gòu)漸進優(yōu)化方法（Bi-directional Evolutionary Structural Optimization，BESO），在對具有自重的結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化時相比較SIMP 插值模型能夠獲得更好的優(yōu)化結(jié)果.Xu 等［5］指出在使用導重法時，RAMP 插值函數(shù)相比其他插值方法更適用于慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化.Jain等［10］研究表明自重對結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓撲有顯著影響，結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型取決于外加載荷和結(jié)構(gòu)自重的雙重作用.Kumar［11］提出了一種基于密度的拓撲優(yōu)化方法來設(shè)計自重載荷下的結(jié)構(gòu)，并利用Heaviside函數(shù)得到一種新的質(zhì)量密度插值策略.

同時在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，輕量化和性能要求越來越高，多材料混合結(jié)構(gòu)能夠在多方面更好地滿足設(shè)計需求，增材制造技術(shù)的發(fā)展也使得多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化從理論設(shè)計變?yōu)楝F(xiàn) 實［12-13］.Huang 等［14］采 用BESO 來解決多相結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題.Tavakoli 等［15］將多材料拓撲優(yōu)化問題分解為多個單材料拓撲優(yōu)化子問題并提供了一個可在MATLAB 上運行的通用框架.Zuo 等［16］提出了一種單變量有序SIMP 插值方法，用于質(zhì)量約束和成本約束下的多材料拓撲優(yōu)化.劉繼凱等［17］提出了基于Ordered SIMP 方法的點陣-實體多材料插值模型.Gao等［18］使用交替有源相位法與蒙特卡羅模擬相結(jié)合來解決多材料的拓撲優(yōu)化問題.

多材料下的多個優(yōu)化變量增加了優(yōu)化求解的復雜性，且在解決慣性載荷作用下結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題時，由于密度趨于0，質(zhì)量懲罰與剛度懲罰之比過大，在低密度區(qū)域結(jié)構(gòu)的位移和柔度趨近于無界，由此產(chǎn)生寄生效應(yīng)［8，19］，更是加大了拓撲優(yōu)化的難度.目前針對慣性載荷下的多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的相關(guān)研究還較少.基于上述研究，本文將通過數(shù)值算例對比提出基于RAMP 插值模型的導重法，并將其應(yīng)用于考慮慣性載荷作用下多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題.研究體積約束下柔度最小的多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，提供多材料組合下的優(yōu)化方案.

1 基于導重法的優(yōu)化模型

1.1 體積約束下的多材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

進行多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化時假設(shè)共有p相材料，N個單元結(jié)構(gòu)，將孔洞材料看作一種材料，傳統(tǒng)的單材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化即為二相材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化.在進行多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化時，將所有材料兩兩組合，p相材料拓撲優(yōu)化即被分解為p（p+1）/2 個二相材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，再對每個優(yōu)化組合運用導重法進行求解.優(yōu)化時其余組合保持不變.優(yōu)化過程中，將彈性模量較大的材料稱為a材料，較小的稱為b材料.在一個循環(huán)中，體積約束下的以柔度最小為目標的多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型如下.

1.2 不同插值模型下的迭代公式

對于多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，其彈性模量插值公式為：

式中：Ea和Eb為材料a，b的彈性模量；f()為插值函數(shù)模型.

常見的插值函數(shù)模型有RAMP、SIMP、EAMP.用式（3）表達，其中qR、qS、qE分別為不同插值模型的懲罰因子.

將柔度對設(shè)計變量進行求導，獲取關(guān)于柔度的靈敏度［式（4）］，其中ki和ui分別為單元剛度矩陣和單元位移向量矩陣.

當Fi為固定載荷時，?Fi/=0，見式（5）；當Fi為慣性載荷時，其大小隨著每次迭代優(yōu)化改變而變化時，式（4）不變，根據(jù)四節(jié)點矩形單元的形函數(shù)可得到每個單元的等效節(jié)點載荷［式（6）］.

其中，Gi和mi為單元重量和單元質(zhì)量，wi為結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)的角速度，ri為各單元至旋轉(zhuǎn)軸的距離，P0=[0-10-10-10-1]，P1=[1 0 1 0 1 0 1 0] 分別為自重和離心作用下的方向矢量.

根據(jù)庫恩塔克條件由式（1）可推導出：

為確保設(shè)計變量迭代的收斂性，引入步長因子m0［20］，本文取m0=0.5.為減少計算量采取二分法來求解λ.將上式代入即可得到的迭代式.當相鄰迭代步中誤差小于0.001時，優(yōu)化結(jié)束.

2 數(shù)值算例分析

2.1 不同插值函數(shù)對優(yōu)化進程的影響

為了比較SIMP、RAMP、EAMP 插值方法對導重法處理慣性載荷作用下多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題的影響，分別采用這三種插值方法對經(jīng)典簡支梁模型進行優(yōu)化，體積約束設(shè)置為0.3，使結(jié)構(gòu)的目標函數(shù)即柔度最小.懲罰因子選取合適大小.同時為方便對優(yōu)化結(jié)果的可制造性進行定量分析，引入灰度因子Mi，由式（11）可以看出，Mi數(shù)值越大，代表優(yōu)化結(jié)果中間密度單元越多，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可制造性也就越差.

圖1 為簡支梁（算例1）模型圖，其兩端固定，長120 m，高30 m，離散后的單元數(shù)目為3 600，泊松比V統(tǒng)一設(shè)置為0.3.只受到自身的重力影響.在優(yōu)化對比中設(shè)置了二相材料（即單材料）結(jié)構(gòu)以及三相材料結(jié)構(gòu)，其彈性模量及體積占比見表1.密度統(tǒng)一設(shè)置為1 kg/m3.

表1 多材料下算例1的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Multi-material parameters setting for example 1

圖1 算例1模型圖（單位：m）Fig.1 Model diagram of example 1（unit：m）

劃分為黑色、紅色.由圖2 可以看出，使用不同的插值函數(shù)對于不同相數(shù)材料結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果都是大致相同的，優(yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)經(jīng)典的“拱橋”形狀，在三相材料優(yōu)化結(jié)構(gòu)中，彈性模量大的材料集中在主拱圈處.其次使用SIMP 插值方法在慣性載荷作用下的材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化中無法得到清晰的拓撲圖形，存在明顯的灰度單元，且在得到初始穩(wěn)定拓撲形狀后其目標函數(shù)隨著迭代而緩慢升高.使用RAMP 和EAMP插值方法能夠得到清晰的拓撲圖，目標函數(shù)相對更低，其原因在于在低密度區(qū)域，RAMP 和EAMP 插值方法中的是有界且維持在一個小范圍內(nèi)，而SIMP 插值方法的在低密度區(qū)近于無界，因此不可能實現(xiàn)一個較好的0～1分布優(yōu)化［5］.

圖2 不同插值模型的優(yōu)化進程圖Fig.2 Optimization process diagram of different interpolation models

從表2可以看出，使用RAMP插值方法獲得的最終拓撲圖其目標函數(shù)和灰度因子明顯小于EAMP 和SIMP 插值方法，利用RAMP 插值函數(shù)對結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化后在二相材料下得到的目標函數(shù)相比EAMP插值函數(shù)減少8.2%，對比SIMP 插值函數(shù)減少了35.2%，三相材料下相比EAMP插值函數(shù)減少16.1%，對比SIMP 插值函數(shù)減少了33.1%，且需要的迭代步數(shù)與其他方法比較接近.顯然在運用導重法解決慣性載荷下結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化問題時，RAMP 插值方法明顯優(yōu)于EAMP和SIMP插值方法.

表2 不同插值模型下的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results of different interpolation models

2.2 多載荷作用下的數(shù)值算例

上節(jié)已驗證了基于RAMP 插值函數(shù)的導重法在處理慣性載荷下多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的優(yōu)越性，本節(jié)將其應(yīng)用于同時包含集中力與慣性載荷的多載荷拓撲優(yōu)化問題，且其結(jié)構(gòu)優(yōu)化將包含更多相數(shù)的材料.

2.2.1 自重與集中力載荷作用

懸臂梁（算例2）模型圖如圖3 所示，長80 m，寬40 m，共計3 200個單元，其受自身重力影響，同時為防止優(yōu)化過程中懸臂梁末端低密度區(qū)域造成優(yōu)化結(jié)果不收斂，在其末端的中點處施加一個質(zhì)量點，大小為自身重力的25%.

圖3 算例2模型圖（單位：m）Fig.3 Model diagram of example 2（unit：m）

結(jié)構(gòu)的多材料參數(shù)如表3 所示，密度統(tǒng)一設(shè)置為1 kg/m3.厚度設(shè)置為1 m，重力加速度為9.8 N/kg.根據(jù)式（7）可以推導出算例2 所受重力的表達式.在體積約束設(shè)置為原材料的30%的情況下使得整體結(jié)構(gòu)的柔度最小.

表3 多材料下算例2的參數(shù)設(shè)置Tab.3 Multi-material parameters setting of example 2

不同材料依據(jù)其彈性模量由大到小分別用黑色、紅色、藍色、綠色表示，即E黑＞E紅＞E藍＞E綠.如圖4所示，基于RAMP插值函數(shù)下的導重法應(yīng)用于受自重和集中力作用下的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，拓展到5 相材料所得到的優(yōu)化圖依舊清晰可見，且優(yōu)化結(jié)構(gòu)保持一致，呈現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)，其拓撲構(gòu)型在力的傳遞方面表現(xiàn)合理.其中彈性模量最大的材料分布在固定端及結(jié)構(gòu)頂端，除去固定端，距離固定端越遠，其材料的彈性模量越大.這是由于距離固定端越遠，所受自重影響越大，所在設(shè)計區(qū)域分布材料彈性模量越大.由圖5 可以看出，目標函數(shù)隨著迭代次數(shù)的增長而下降，且在迭代初期就趨于最終解.隨著材料相數(shù)的增加，最終優(yōu)化結(jié)果的目標函數(shù)依次升高.這是因為加入了彈性模量較小的材料，導致其整體剛度降低，符合預(yù)期結(jié)果.

圖4 多材料下算例2的優(yōu)化結(jié)果圖Fig.4 Multi-material optimization plots of example 2

圖5 算例2的目標函數(shù)迭代曲線Fig.5 Objective function iteration curve of example 2

2.2.2 離心力與集中力載荷作用

受離心力懸臂梁（算例3）模型圖如圖6 所示，長80 m，寬40 m，共計3 200個單元，繞著固定端以恒定角速度旋轉(zhuǎn)，ω為旋轉(zhuǎn)角速度取2 rad/s，mi為單元質(zhì)量，ri為各單元到旋轉(zhuǎn)軸的直線距離，F(xiàn)為質(zhì)量點，施加在結(jié)構(gòu)末端的中點區(qū)域，為總重力的1.2 倍.各材料參數(shù)如表4 所示，體積約束設(shè)置為30%，使得整體結(jié)構(gòu)的柔度最小.

表4 多材料下算例3的參數(shù)設(shè)置Tab.4 Multi-material parameters setting of example 3

圖6 算例3模型圖（單位：m）Fig.6 Model diagram of example 3（unit：m）

算例3 的優(yōu)化結(jié)果圖和目標函數(shù)迭代曲線分別如圖7、圖8 所示.可以看出結(jié)構(gòu)在離心力和集中力作用下優(yōu)化構(gòu)型呈三角形，由固定端上下兩側(cè)連接至末端中點區(qū)域.結(jié)論與上節(jié)類似，結(jié)構(gòu)繞固定端旋轉(zhuǎn)時，距離固定端越遠，所受離心力影響越大，其所在設(shè)計域分布的材料彈性模量越大.目標函數(shù)隨著材料相數(shù)的增加依次升高.

圖7 多材料下算例3的優(yōu)化結(jié)果圖Fig.7 Multi-material optimization plots of example 3

圖8 算例3的目標函數(shù)迭代曲線Fig.8 Objective function iteration curve of example 3

3 多材料組合下的優(yōu)化策略

在上節(jié)中已經(jīng)證明了導重法在處理慣性載荷下多材料拓撲優(yōu)化問題的可靠性，本節(jié)將在體積約束的前提下，通過自重情況下簡支梁（算例1）的拓撲優(yōu)化，論證多材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化下，如何選取不同參數(shù)的材料使得目標函數(shù)即柔度較低.選取以下3 種材料，其材料參數(shù)如表5 所示，為更直觀研究參數(shù)對于目標函數(shù)影響，將所選材料參數(shù)進行歸一化，使得其數(shù)值的絕對值轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬χ店P(guān)系，所選取材料的彈性模量和密度最大值被映射為“1”［21］.進行歸一化處理后如表6 所示，在優(yōu)化圖中顯示的顏色分別為黑色、紅色、藍色，其中Ei、ρi分別為材料的歸一化彈性模量及密度.圖9為在體積約束為0.3的條件下，對3種材料排列組合進行優(yōu)化的結(jié)果.從圖9 可以看出，通過改變材料組合并不改變優(yōu)化結(jié)構(gòu)形狀，分布規(guī)律與上節(jié)結(jié)論相同，彈性模量最大的材料分布在固定端及結(jié)構(gòu)頂端.在單獨使用B 材料進行拓撲優(yōu)化時所得結(jié)構(gòu)的柔度最大，單獨使用C 材料時柔度最小即此時剛度最大，最滿足設(shè)計需求.這是由于C 材料的歸一化模量密度比（Ei/ρi）最大［21］.

表5 各材料參數(shù)Tab.5 Materials parameters

表6 不同材料的歸一化參數(shù)Tab.6 Normalized parameters for different materials

圖9 多材料組合下的優(yōu)化結(jié)果Fig.9 Optimization results of multi-material combination

4 結(jié)論

本文主要研究單一體積約束條件下柔度最小的考慮慣性載荷作用的多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，通過不同數(shù)值算例的對比，確立了基于RAMP 插值函數(shù)的導重法，能夠有效減少優(yōu)化結(jié)果的灰度單元，有助于獲得清晰的拓撲構(gòu)型，降低結(jié)構(gòu)的整體柔度.并有下列結(jié)論：所受慣性載荷的影響越大，所在設(shè)計區(qū)域分布材料彈性模量越大；選取不同材料用于多材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計，材料的模量密度比越大，結(jié)構(gòu)的整體柔度越小，剛度越大，對于實際工程應(yīng)用有著一定的指導作用.