巧添輔助線 妙解圓中題

文／王婷婷

若僅根據(jù)題中所給圖形進(jìn)行論證或計(jì)算，大家有時(shí)可能會(huì)難以下筆解答。此時(shí)，我們?nèi)裟苷J(rèn)真審題，尋找已知與未知的聯(lián)系，找到添加輔助線的突破口，便可以輕松解決問(wèn)題。下面，我們就利用圓的特殊性，給大家提供一些添加輔助線的小技巧。

一、連半徑，構(gòu)造等腰三角形

例1如圖1，AC為圓O的弦，點(diǎn)B在弧AC上，若∠CBO=58°，∠CAO=20°，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)___。

圖1

【分析】已知條件和要求的結(jié)論之間沒(méi)有太緊密的聯(lián)系，但仔細(xì)審題后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要連接OC，便可架起條件和結(jié)論間的橋梁，從而解決問(wèn)題。

解：如圖2，連接OC。

圖2

∵OA=OC=OB，

∴∠OCA=∠CAO=20°，∠OCB=∠CBO=58°。

∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=58°-20°=38°。

∴∠AOB=2∠ACB=76°。

【點(diǎn)評(píng)】在同圓或等圓中，圓的半徑相等。因此，我們常常連接半徑，構(gòu)造等腰三角形或全等三角形來(lái)解決此類問(wèn)題。

二、作垂直，構(gòu)造直角三角形

例2如圖3，∠PAC=30°，在射線AC上順次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB為直徑作⊙O，交射線AP于E、F兩點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)。

圖3

【分析】解決圓中有關(guān)弦的問(wèn)題，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線。

解：如圖4，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AP于點(diǎn)G，連接OF。

圖4

∵DB=10cm，

∴OD=5cm。

∴AO=AD+OD=3+5=8cm。

∵∠PAC=30°，

∴OG=4cm。

∵OG⊥EF，

∴EG=GF。

∵GF==3cm，

∴EF=2GF=6cm。

【點(diǎn)評(píng)】作弦心距，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題。

三、連角平分線，構(gòu)造相等的角

例3如圖5，△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，點(diǎn)O為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AOB=______。

圖5

【分析】題中所給條件看似比較少，但仔細(xì)分析，我們就能發(fā)現(xiàn)內(nèi)切圓圓心這個(gè)條件暗藏玄機(jī)。

解：如圖6，連接CO。

圖6

∵CD為AB邊上的高，

∴∠ADC=90°。

∴∠BAC+∠ACD=90°。

∵點(diǎn)O為△ACD的內(nèi)切圓圓心，

∴AO、CO分別是∠BAC和∠ACD的角平分線。

∴∠OAC+∠OCA=45°。

∴∠AOC=135°。

易證△AOB≌△AOC。

∴∠AOB=∠AOC=135°。

【點(diǎn)評(píng)】三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，抓住角平分線的性質(zhì)是解此類問(wèn)題的關(guān)鍵。