如何解答函數(shù)單調(diào)性的熱點(diǎn)問題

■孫海燕

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),解答函數(shù)問題,離不開函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用。下面就函數(shù)單調(diào)性的熱點(diǎn)問題進(jìn)行舉例分析,供大家學(xué)習(xí)與參考。

一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:一是利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性;二是利用函數(shù)的圖像,觀察增減區(qū)間。求單調(diào)區(qū)間時(shí),不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間必須分開寫,不能用“∪”符號(hào)連接;求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能忽略函數(shù)的定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。

例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。

圖1

由圖可知,此函數(shù)在(-∞,-1],[0,1]上單調(diào)遞增,在[-1,0],[1,+∞)上單調(diào)遞減。

評(píng)析:一次函數(shù)的單調(diào)性看一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)就可以判斷;含有絕對(duì)值的函數(shù),可先根據(jù)絕對(duì)值的意義,將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),再結(jié)合圖像即可確定單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性。

二、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的定義具有“雙向性”,利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性,反過來,若已知函數(shù)的單調(diào)性,可以確定參數(shù)的取值范圍。利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小。若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則此函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的。上單調(diào)遞增,畫出此函數(shù)的大致圖像,如圖2所示。由圖可知,需滿足g(1)≤h(1),即a-3≤3,所以a≤6。

圖2

綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是2

評(píng)析:利用函數(shù)的單調(diào)性,求含參數(shù)的分段函數(shù)應(yīng)抓住兩點(diǎn):一是嚴(yán)格遵循函數(shù)單調(diào)性的定義;二是結(jié)合函數(shù)圖像求出參數(shù)的限制條件,也就是關(guān)于參數(shù)的不等式。

三、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,一定要注意函數(shù)的定義域,也就是要先考慮函數(shù)的定義域,否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解。

例3 已知函數(shù)f(x)是增函數(shù),定義域?yàn)?0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+f(y),求滿足f(x)+f(x-3)≤2的x取值范圍。

因?yàn)閒(x)+f(x-3)≤2,又f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。

又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以x(x-3)≤4。

評(píng)析:函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)某個(gè)子區(qū)間而言的“局部”性質(zhì),它反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)。在利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題(本題是利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式)時(shí),如果不考慮函數(shù)的定義域盲目解題,就會(huì)造成錯(cuò)解。

同學(xué)們可以看看該題以下的解題過程,想必會(huì)從中有所領(lǐng)會(huì):

錯(cuò)解:因?yàn)閒(x)+f(x-3)≤2,且f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以x(x-3)≤4,解得-1≤x≤4,即所求x的取值范圍是-1≤x≤4。

錯(cuò)解忽視了函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)這一隱含條件,若f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)],則x>0,x-3>0,且x(x-3)>0,在此條件下再去解不等式,才是正確的思路。

四、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值