幾何直觀在解決小學(xué)有余數(shù)除法問題中的嘗試
——以“進一”和“去尾”為例

麥小燕

一、 引言

幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。利用圖表分析實際情境與數(shù)學(xué)問題,探索解決問題的思路,有助于建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,把握問題的本質(zhì),明晰思維的路徑。

二、 有余數(shù)除法解決問題的教學(xué)現(xiàn)狀

目前有余數(shù)除法解決問題的教學(xué)不容樂觀。學(xué)生存在的問題主要有:不理解題意,生搬硬套解題模式,常常見到題目中的“至少”就“進一”,見到“最多”就“去尾”,但不知道為何要“進一”和“去尾”;將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來的意識不夠強,導(dǎo)致對余數(shù)的“取”“舍”模棱兩可。

而教師日常只關(guān)注本年級“有余數(shù)除法解決問題”知識點教學(xué),沒有對整個小學(xué)階段出現(xiàn)的有余數(shù)除法解決問題知識點進行系統(tǒng)性研究。在例題的教學(xué)中,忽略了畫圖策略的運用,沒有讓學(xué)生從根本上去理解余數(shù)的“取”與“舍”,特別是在教授高年級的有余數(shù)除法問題時,引導(dǎo)花費時間較少,講解也不到位,多半是套解題模式。所以,小學(xué)有余數(shù)除法解決問題的教學(xué)隨意低效,長此以往,學(xué)生將疲憊不堪,思維能力也得不到提升。

三、 幾何直觀在解決有余數(shù)除法問題中的必要性

在有余數(shù)除法解決問題(以“進一”法和“去尾”法為例)的教學(xué)中,借助幾何直觀把有余數(shù)除法的應(yīng)用問題轉(zhuǎn)換成直觀圖,厘清數(shù)量關(guān)系,可以幫助學(xué)生從根本上去理解問題、解決問題。另外,借助幾何直觀有意識地溝通數(shù)、形之間的聯(lián)系,把“數(shù)形結(jié)合”有意識地滲透在學(xué)生解決問題的過程中,有助于培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

(一)幾何直觀助力數(shù)學(xué)信息的正確解讀

正確地解讀數(shù)學(xué)信息,是有效建立數(shù)量關(guān)系模型的前提,幾何直觀能有效地幫助學(xué)生正確解讀數(shù)學(xué)信息。在有余數(shù)除法解決問題的教學(xué)中,我們要充分利用示意圖來幫助學(xué)生解讀信息的含義。教學(xué)時,我們首先要引導(dǎo)學(xué)生將用文字語言敘述的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為直觀示意圖。其次,通過示意圖讓學(xué)生分析圖形所代表的數(shù)量關(guān)系,并進一步從具體的圖形與圖形之間找到信息與信息的聯(lián)系,從而建立信息與問題之間的數(shù)量關(guān)系模型。例如,人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊第68頁的第8題:

在這道題中,學(xué)生知道各種花的數(shù)量和扎成一束花需要每種花的數(shù)量,但是往往因為不理解信息“用7枝月季花、3枝百合、2枝郁金香扎成一束”與問題“這些花最多可以扎成幾束這樣的花束”之間的數(shù)量關(guān)系模型而出錯。這時,我們引導(dǎo)學(xué)生將信息和問題轉(zhuǎn)化成示意圖(如下圖),借助示意圖,學(xué)生就能直觀地建立一束花的模型,即7枝月季花、3枝百合、2枝郁金香為一束,缺一不可。這樣就能更好幫助學(xué)生理解“最多能扎成幾束”只能以數(shù)束最少的為標準。當學(xué)生弄清楚了這一信息后,這道題就迎刃而解了。

(二)幾何直觀明晰余數(shù)的“取”與“舍”

理解余數(shù)的“取”與“舍”是構(gòu)建有余數(shù)除法應(yīng)用問題數(shù)量關(guān)系模型的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在實際教學(xué)中,我們借助幾何直觀來表示有余數(shù)除法問題,分析和理解余數(shù)是“取”還是“舍”,從而解決問題。例如,人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊第65頁的例5:

在以往的教學(xué)中,有不少學(xué)生在列出除法算式22÷4=5(個)……2(塊)后,認為答案是5個,把剩下的2塊就忽略了。這時,我們引導(dǎo)學(xué)生通過畫直觀示意圖來理解余數(shù)是“取”還是“舍”。“每個盒子最多裝4塊”可以表示成“④”,“不滿4塊”的用“△”表示,如下圖:

借助示意圖,學(xué)生可以清晰地理解算式“22÷4=5(個)……2(塊)”中“5個”指的是有5個盒子“裝滿了4塊”,余數(shù)“2塊”指余下的2塊沒有裝滿一盒,但是也要再用一個盒子裝,這時余數(shù)要“取”,所以至少是5+1=6(個)。

通過用兩種不同的圖形代表“商”和“余數(shù)”,把有余數(shù)除法問題轉(zhuǎn)換成直觀示意圖,讓學(xué)生結(jié)合圖形去理解文字信息、算式所表達的意思,使學(xué)生對余數(shù)的“取”與“舍”理解得更透徹。

四、 幾何直觀在各學(xué)段有余數(shù)除法解決問題中的運用策略

在借助幾何直觀解決各學(xué)段有余數(shù)除法問題的教學(xué)過程中,我們根據(jù)學(xué)生的年齡特點,在不同學(xué)段采用不同的數(shù)形結(jié)合策略。

(一)先“形”后“數(shù)”

第一、二學(xué)段的學(xué)生,他們心理發(fā)展的特征決定了他們的思維以具體形象思維為主,邏輯思維尚處于萌芽階段,因此這一階段適合先“形”后“數(shù)”。但應(yīng)注意在利用“形”學(xué)習(xí)知識的過程中,應(yīng)適時、適當?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生逐步歸納,進而上升到理性認識,為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維作準備。

例如,人教版數(shù)學(xué)一下第46頁例7:

根據(jù)一年級學(xué)生的思維特點,教材中的題目已經(jīng)是數(shù)形結(jié)合,通過圈一圈的方法就能直觀地得出穿幾串,剩幾個。但是邏輯思維能力較強的學(xué)生會采用列式計算:58-10-10-10-10-10=8。因此在教學(xué)的過程中,我們可以先圈一圈,再根據(jù)直觀示意圖列出算式,幫助學(xué)生從具體認知上升到理性認知。

又如,人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第27頁例8第2問:

借助示意圖,幫助學(xué)生直觀地理解為什么要加1,因為剩余的2個菠蘿也要另裝1個箱子,所以22個箱子才能裝下。與此同時,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀示意圖列出算式。

從上面的兩個例子可以發(fā)現(xiàn),第一、二學(xué)段的有余數(shù)除法解決問題的教學(xué)模式是:審題—畫圖—列式,先“形”后“數(shù)”,幫助學(xué)生從具體認知逐步上升到理性認知。

(二)先“數(shù)”后“形”

有了第一、二學(xué)段的幾何直觀基礎(chǔ),學(xué)生邏輯思維力已有一定程度的發(fā)展,在第三學(xué)段的有余數(shù)除法應(yīng)用問題的教學(xué)中,應(yīng)逐漸過渡到先“數(shù)”后“形”,把“形”真正放在主要地位。例如,人教版五年級上冊第3單元小數(shù)除法例10:

教材強調(diào)“在解決實際問題時,要根據(jù)實際情況取商的近似值”;初步讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題,增強應(yīng)用意識,提高實踐能力;獲得分析問題和解決問題的一些基本方法,體驗解決問題方法的多樣性,發(fā)展創(chuàng)新意識。

因此,在教學(xué)中,教師可放手讓學(xué)生自由選擇“數(shù)”與“形”的先與后,或者二者任選其一。

在例10的第1小題的教學(xué)中,先讓學(xué)生閱讀理解題目然后再列式計算:先求2.5里面有幾個0.4,2.5÷0.4=6.25(個),再引導(dǎo)學(xué)生探究為什么一共需要7個瓶子才能裝完。對于理解有困難的學(xué)生,我們通過畫直觀示意圖讓學(xué)生直觀地理解:6個瓶子只裝了2.4千克的油,剩下的0.1千克也需要裝在1個瓶子里,這樣才能把香油裝完。也可以通過畫線段圖幫助學(xué)生理解,同樣可以直觀觀察到剩下的0.1千克油沒有裝滿一瓶,也需要另裝在一個瓶子里。因此,不管小數(shù)部分是幾,都要向個位進1,變成7,所以需要7個瓶子。

第(2)題的教學(xué)也是先讓學(xué)生理解題目,學(xué)生獨立列式計算解答,再通過畫圖的方式幫助學(xué)生理解小數(shù)部分“舍”還是“入”的取值問題。通過畫圖讓學(xué)生直觀地觀察到16個1.5米是24米,剩下的1米不夠包裝一個盒子。因此,要用“去尾法”把小數(shù)部分“舍”去,所以這根絲帶可以包裝16個盒子。

從以上兩個例子可以發(fā)現(xiàn),第三學(xué)段有余數(shù)除法解決問題的教學(xué)模式是:審題—列式—畫圖,先“數(shù)”后“形”,通過“形”幫助學(xué)生更直觀地理解取值問題,而不能機械地使用“四舍五入”法,要根據(jù)具體情況確定“舍”與“入”。

(三)從不同的角度考慮“數(shù)”與“形”的先后

關(guān)于幾何直觀教學(xué)策略中,對于“數(shù)”與“形”的先與后,除了根據(jù)學(xué)生的年齡特點,也可以從以下方面分析決定:

(1)看學(xué)生的層次。形象思維、邏輯思維較弱的學(xué)生,可先“形”后“數(shù)”;較好學(xué)生可先“數(shù)”后“形”。

(2)看教材“新舊”程度。新內(nèi)容先“形”后“數(shù)”,后續(xù)教材讓學(xué)生利用“遷移規(guī)律”先“數(shù)”后“形”。

五、 結(jié)論

綜上所述,在有余數(shù)除法解決問題的實際教學(xué)中,我們要有意識地運用幾何直觀的方法,尋求解決問題的方法。幾何直觀中“數(shù)”與“形”的先與后,應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維的發(fā)展特點而定,使形象思維和邏輯思維相互促進、協(xié)調(diào)發(fā)展,讓具有不同思維特征的學(xué)生實現(xiàn)個性化的發(fā)展。