分維標(biāo)度選擇與城市軌道交通網(wǎng)分形特征

劉澤昊，金 輝，李再幃，何越磊

（1.上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201600；2.蘇州大學(xué) 軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州 215100）

軌道交通是城市客運的走廊。自1863 年在倫敦建成第一條線以來，城市軌道已在數(shù)百個城市快速發(fā)展，從而應(yīng)對大規(guī)模的出行需求[1]。隨著城市軌道網(wǎng)逐漸成熟，如何客觀評價軌道網(wǎng)的合理性、定位其發(fā)展水平，并制定軌道網(wǎng)的優(yōu)化與發(fā)展策略，是城市軌道交通系統(tǒng)建設(shè)與完善的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[2]。

總結(jié)軌道交通的分形研究，發(fā)現(xiàn)較少全面涉及軌道交通的多種分維屬性及一致性，并且未分析不同環(huán)帶寬度對各屬性分維的影響，亦未確立最佳的環(huán)帶寬度及其選擇標(biāo)準(zhǔn)。為此，本研究基于回轉(zhuǎn)半徑法，采用不同的環(huán)帶寬度，全面分析城市軌道交通的設(shè)施與客流分形特征，并探究設(shè)施與客流相關(guān)分形維數(shù)之間的一致性。針對以往研究未深入討論城市軌道交通環(huán)帶寬度設(shè)定原則的問題，并基于波譜分析法，對比不同環(huán)帶寬度下城市軌道交通各向異性和自仿射水平。以蘇州軌道交通為例，討論其在不同環(huán)帶寬度下的設(shè)施與客流分形特征及其一致性，并梳理其上述特征與已有文獻(xiàn)的相似與差異，基于各向異性水平，確立分維分析的推薦環(huán)帶寬度，為處于不同發(fā)展階段的軌道交通建設(shè)與運營提供理論指導(dǎo)。

1 軌道交通線網(wǎng)與客流分形特征

為研究軌道交通線網(wǎng)與客流的變化趨勢，需首先明確分形方法的測度范圍與測算中心。本研究以軌道交通網(wǎng)中單個站點到其他站點的距離總和為依據(jù)，選取與其他站點距離之和最小的軌道站點，作為測算中心?？紤]軌道交通網(wǎng)絡(luò)與站點的凝聚特征[3]，采用回轉(zhuǎn)半徑法求解分形維數(shù)。參考軌道站點在中心城區(qū)的服務(wù)范圍，設(shè)計不同的分析半徑，如0.5km 和1km 等[4]。由此共獲得到以下數(shù)量的環(huán)帶：

其中：r 是回轉(zhuǎn)半徑，R 是軌道交通分布范圍的半徑，k 是環(huán)帶數(shù)量，「R/k?對R/k 向上取整。

1.1 分維特征

站點分維DS與線路長度分維DL的計算公式為：

其中：ri是第i 個環(huán)帶的外圍半徑，Si是半徑ri內(nèi)站點數(shù)，Li是半徑ri內(nèi)的路線長度，S0和L0是常數(shù)系數(shù)。對式（2）和式（3）兩邊取對數(shù)得到：

對數(shù)據(jù)點(lnri,lnSi)和(lnri,lnLi)進(jìn)行最小二乘線性回歸，得到的斜率即對應(yīng)范圍內(nèi)站點與線路長度分維DS和DL。

分枝分維是分形維數(shù)中的另一種測度，可描述軌道交通網(wǎng)絡(luò)的連通性及其復(fù)雜性。線路分枝分維的計算公式為：

其中：Ni是半徑ri內(nèi)線路分枝數(shù)，N0是常數(shù)系數(shù)。對式（6）兩邊取對數(shù)得：

對數(shù)據(jù)點(lnri,lnNi)進(jìn)行最小二乘線性回歸，得到的斜率即為相應(yīng)范圍內(nèi)的線路分枝分維DN。進(jìn)出站客流分維的計算公式為：

其中：Fi是半徑ri內(nèi)總截面客流，F(xiàn)0是常數(shù)系數(shù)。Fi的計算方法為：

其中：fm是第m 個環(huán)帶內(nèi)的總截面客流，Sn是第m 個環(huán)帶內(nèi)的軌道交通網(wǎng)絡(luò)總分枝數(shù)，fln是第n 個分枝的截面客流。對式（12）兩邊取對數(shù)得：

對數(shù)據(jù)點(lnri,lnFi)進(jìn)行最小二乘線性回歸，得到其斜率即為對應(yīng)范圍的客流分枝分維DF。

1.2 自仿射分形

若城市軌道交通在不同環(huán)帶寬度下，分維結(jié)果不同，即城市軌道交通存在各向異性，則說明其具有自仿射分形特征[5]。圖1（a）示意了水平方向的分形生長速率快于垂直方向的自仿射分形特征；圖1（b）則表明軌道交通站點數(shù)徑向增長速率不一致導(dǎo)致不同環(huán)帶寬度的分維不同?？刹捎貌ㄗV分析法，分析軌道交通網(wǎng)絡(luò)的自仿射特性[6-7]。

圖1 各向異性的自仿射分形

自仿射記錄維數(shù)的計算公式為：

其中：α 為波譜標(biāo)度指數(shù)，計算公式為：

其中：F*(k)是波譜密度等價的化簡重定義，是常數(shù)系數(shù)，k 為波數(shù)。F*(k)的計算方法為：

其中：F(k)是波譜密度；Z 是數(shù)據(jù)長度，與圓環(huán)個數(shù)相等。F(k)的計算方法為：

其中：FFT 為快速傅里葉變換，ρ(r)是環(huán)帶r 的平均空間要素密度，計算方法為：

其中：ΔM(ri)是第i 個環(huán)帶的交通總空間要素和，ΔA(ri)為第i 個環(huán)帶的面積。M(ri)是i 個環(huán)帶的交通空間要素和。

根據(jù)FFT，式（17）中的數(shù)據(jù)長度Z 為2 的整數(shù)次冪（若不滿足可在數(shù)據(jù)開頭或末尾刪除數(shù)據(jù)，也可在數(shù)據(jù)末尾補(bǔ)零），即：

并且波數(shù)k 的計算方法為：

對式（16）兩邊取對數(shù)得：

根據(jù)式（22），對數(shù)據(jù)點(lnk,lnF*(k))進(jìn)行最小二乘線性回歸，得到其斜率即為波譜標(biāo)度指數(shù)α，而根據(jù)式（15），求得自仿射記錄維數(shù)DA。

2 實例研究

本節(jié)以蘇州軌道交通為實證對象?；谥行狞c法，將南門站作為測算中心，則其服務(wù)范圍的半徑R=19km。采用0.5km、1km 和2km 的環(huán)帶寬度，根據(jù)式（1），分別將蘇州軌道交通網(wǎng)劃分為38 個、19 個和10 個環(huán)帶。采用GIS 分析平臺，繪制圓環(huán)如圖2 所示?？紤]到2020 年1 月以來新冠疫情對軌道客流的影響，基于2019 年12 月31 日（周二）蘇州軌道交通客流的分布數(shù)據(jù)，展開客流分形特征的討論。

圖2 蘇州軌道交通環(huán)帶寬度

2.1 分維特征分析

站點分維對應(yīng)的雙對數(shù)點如圖3（a）所示：數(shù)據(jù)點呈線性分布，并在lnri=2.08（即距離中心站點8km）處斜率顯著降低。即蘇州軌道交通的站點具備分形和分形異化的特征。比較分形異化前后的分維，發(fā)現(xiàn)無論環(huán)帶寬度為0.5km、1km 或2km，中心站8km 范圍內(nèi)的站點分維均接近1.60；而外圍的站點分維則僅接近0.7。線路長度的分維特征與站點分維相似，如圖3（b）所示，在市中心8km 范圍內(nèi)，不同環(huán)帶寬度的線路長度分維分別為1.77、1.90 和1.84，而外圍區(qū)域僅接近0.68。

圖3 蘇州軌道交通部分特征分維

圖4 總結(jié)了蘇州軌道交通不同范圍、不同環(huán)帶寬度下的站點與線路和客流分維水平。如圖4所示，環(huán)帶寬度為0.5km、1km和2km 時，在市中心8km 范圍內(nèi)，線路分枝分維分別是1.52、1.34 和1.49；而外圍的線路分枝分維則退化至零，即不具備分維特性。對于客流分枝分維，發(fā)現(xiàn)其在中心站8km 范圍內(nèi)，環(huán)帶寬度分別0.5km、1km 和2km 時，客流分枝分維分別為1.25、1.10和1.22，而外圍的客流分枝分維則均退化為零。

圖4 蘇州軌道交通不同范圍、不同環(huán)帶寬度的分維水平

從圖4 中可以看出，無論環(huán)帶寬度是多少，蘇州軌道交通的站點數(shù)、線路長度和進(jìn)站與出站客流均表現(xiàn)出明顯的分形和分形異化特征。說明蘇州軌道交通存在一定的自相似性，而且外圍區(qū)域相較于中心區(qū)域，設(shè)施與客流的分布密度顯著降低。此外，參照文獻(xiàn)中提出的最佳分維值1.70[8]，發(fā)現(xiàn)蘇州軌道交通除了中心城區(qū)8km 范圍內(nèi)的線路長度外，其他分維均顯著低于最佳值。說明蘇州軌道交通尚存在較大的完善空間，特別是線路長度分枝分維和客流分枝分維遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于理想值，更在外圍區(qū)域完全退化為零，說明其網(wǎng)絡(luò)連通性亟待強(qiáng)化。

2.2 自仿射分形結(jié)果與分維半徑選擇

圖5 是不同環(huán)帶寬度下，線路長度、站點分布密度的波譜標(biāo)度雙對數(shù)圖，基本呈線性分布，其他屬性指數(shù)如圖6 所示。由此推算了在不同環(huán)帶寬度下，上述屬性的自仿射記錄維數(shù)。環(huán)帶寬度為0.5km、1km 和2km 時，站點密度自仿射記錄維數(shù)DA為2.03、1.68 和1.76，線路長度的DA為1.77、1.66 和1.99，進(jìn)站客流DA為1.96、1.52 和1.88，出站客流DA為2.13、1.52 和1.88。從圖6 中可以看出，各屬性的自仿射記錄維數(shù)在1km 環(huán)帶寬度下最小，即軌道交通網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的各向異性程度最小，最接近自相似分形。因此，推薦采取1km 環(huán)帶寬度作為城市軌道交通分形的量測基準(zhǔn)，從而規(guī)避軌道交通各向異性的影響，在軌道交通較高的自相似性下研究其分布特征。

圖5 軌道交通線網(wǎng)的波譜標(biāo)度指數(shù)（雙對數(shù)圖）

圖6 軌道交通線網(wǎng)的自仿射記錄維數(shù)

實際上，現(xiàn)有文獻(xiàn)中最常用的環(huán)帶寬度即為1km，但也存在其他環(huán)帶寬度。上述方法與結(jié)論可為科學(xué)選擇環(huán)帶寬度提供理論依據(jù)。大部分城市均選取1km 環(huán)帶寬度分析軌道交通的分形特征。例如，巴黎軌道交通采用1km 的環(huán)帶寬度，發(fā)現(xiàn)線路長度分維始終為1.47，但站點分維在6km 范圍處從2.00 異化至0.47[9]。但也有部分研究采用其他環(huán)帶寬度。例如，北京將第一個環(huán)帶寬度設(shè)定為2km、其他環(huán)帶寬度為3km，發(fā)現(xiàn)市中心14km 范圍內(nèi)的線路長度、站點數(shù)、線路分枝、進(jìn)站客流、出站客流和客流分枝的分維各為1.60、1.46、1.44、1.39、1.37 和1.20[10]。

3 結(jié)論與展望

（1）基于軌道交通的站點、線路與客流分維，分析不同環(huán)帶寬度下，城市軌道交通的線網(wǎng)特征。以蘇州軌道交通為例，從多個角度驗證其具有分形特征，各項分維屬性表明其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)尚存在較大的完善空間。線路長度分枝分維和客流分枝分維遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于理想值，更在外圍區(qū)域完全退化為零，說明其網(wǎng)絡(luò)連通性亟待強(qiáng)化。

（2）采用波譜分析方法研究城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)在不同環(huán)帶寬度下的各向異性水平。研究發(fā)現(xiàn)蘇州軌道交通各屬性的自仿射記錄維數(shù)在1km 環(huán)帶寬度下最小。推薦采取1km 環(huán)帶寬度作為城市軌道交通分形的量測基準(zhǔn)，可規(guī)避軌道交通各向異性的影響，在軌道交通網(wǎng)絡(luò)較高的自相似性下研究其分布特征。

（3）隨著城市軌道建設(shè)的推進(jìn)，其站點與線路分維將逐漸提高，并引發(fā)客流的變化。研究計劃將考慮軌道交通客流時空不確定的特點，探究軌道交通建設(shè)過程中客流分維的短時與長期變化特征，為進(jìn)一步解析與優(yōu)化軌道交通的利用效率與服務(wù)能力奠定基礎(chǔ)。