運用幾何變換，巧解初中幾何問題

陳錦鋼

【摘要】常見的幾何變換包括平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換，這三種變換不改變圖形大小，但可以改變點、線段、角等幾何圖形的位置.在初中幾何問題中當(dāng)已知條件分散、相關(guān)圖形零散時，運用幾何變換可以改變問題情景，快速找到量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得解題思路清晰便捷.

【關(guān)鍵詞】幾何變換；初中幾何；解題思路

幾何圖形通過常見的平移、旋轉(zhuǎn)和對稱變換實現(xiàn)在不改變圖形大小的情況下，改變點、線段以及角等幾何圖形的位置，實現(xiàn)將分散的已知信息集中在某個基本圖形中，將圖形中量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系更加清晰呈現(xiàn)，使得解題思路更加明了與簡捷.

1 平移變換

平移變換是歐氏幾何中重要的一種變換.它是指在歐氏空間中，把原圖形上的所有的點都沿著同一個方向進(jìn)行運動，且運動相等的距離，這樣的圖形改變稱之為平移變換，簡稱平移.平移變換不改變圖形的形狀、大小、方向；且連接對應(yīng)點的線段平行且相等.借助平移變換的特性，可以快速找到解題的突破口.

例1 在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，AC⊥BD于點E，M，N分別是AD、BC的中點，CF⊥AB于點F.求證MN=CF.

分析 因為MN、CF的位置相對分散，欲證明MN=CF，需要借助已知的信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化.由題意

解 過點C作CG∥DB交AB的延長線于點G，

因為AB∥DC，所以DBGC是平行四邊形，

所以BG=DC，DB=CG，

又ABCD是等腰梯形，所以AC=BD，

所以AC=CG.

又AC⊥BD，BD∥CG，得△ACG是等腰直角三角形，

CF是斜邊上的高，

綜上MN=CF.

與梯形有關(guān)的問題，借助平移運動將分散的條件集中在同一個圖形中，運用轉(zhuǎn)化后的特殊圖形的性質(zhì)快速解答.

2 旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換是原圖形上所有的點都繞著固定的點，按照固定的方向，轉(zhuǎn)動相同的角度.這種圖形變換稱之為圖形的旋轉(zhuǎn)變換，簡稱旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的大小和形狀，且對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等.圖形借助旋轉(zhuǎn)既保留了原圖形的性質(zhì)，還搭建了新的有利論證的圖形.

分析 PA，PB，PC不在一個三角形內(nèi)，無法有效利用已知條件，因此把△APC順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′B.因為AP=AP′，∠PAP′=60°，得△APP′是等邊三角形，借助勾股定理知△PP′B是直角三角形，則∠AP′B=∠APC=150°.

解 將△APC順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′B，

則AP=AP′，∠PAP′=60°，P′B=PC，

所以△APP′是等邊三角形，

則AP=AP′=P′P，

在△BP′P中，BP2=BP′2+PP′2，

所以△PP′B是直角三角形，即∠BP′P=90°，

∠APC=∠AP′P+∠BP′P=60°+90°=150°.

旋轉(zhuǎn)變換將分散的線段PA，PB，PC和角集中到新的三角形中，實現(xiàn)已知信息的有效轉(zhuǎn)化，借助旋轉(zhuǎn)后圖形的性質(zhì)，明晰解題思路和解題過程.

3 對稱變換

對稱變換是把一個圖形沿著一條直線折疊，使得它能夠與另一個圖形完全重合，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.對稱變換得到的圖形與原來圖形的形狀、大小保持一致.且連接任意一對對稱點的線段都被對稱軸垂直平分.對稱變換把圖形對稱到新位置上，有利于分散的條件集中在一起.

例3 矩形紙張ABCD沿著對角線BD進(jìn)行折疊，已知AB=6，BC=8，求BF的值.

分析 矩形紙張ABCD沿著對角線BD進(jìn)行折疊，易知道ED=AB，∠EBD=∠CBD，易求得∠FDB=∠FBD，得到FB=FD，再借助勾股定理求出BF的大小.

解 矩形紙張ABCD沿著對角線BD進(jìn)行折疊，

所以ED=AB，∠EBD=∠CBD，

又∠FDB=∠DBC，

所以∠FDB=∠FBD，因此FB=FD，

設(shè)BF=x，則AF=8-FD=8-x，

在△ABF中，62+（8-x）2=x2，

當(dāng)題目出現(xiàn)翻折操作時，要聯(lián)想到對稱變換，借助對稱變換的性質(zhì)往往可以便捷地找到突破口.

4 結(jié)語

幾何變換的目的是借助對圖形的改組，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，將隱含關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)槊黠@關(guān)系，將分散條件集中在一起.合理運用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱變換，借助圖形的性質(zhì)和特征解題，對學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)和鍛煉，提高解析效率，提高初中教學(xué)質(zhì)量均有重大幫助.

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