極化恒等式妙解向量數(shù)量積最值問題

? 哈爾濱師范大學 李思琦

1 極化恒等式

1.1 代數(shù)形式

極化恒等式的代數(shù)形式為

推導過程:

(a+b)2=a2+2a·b+b2,

①

(a-b)2=a2-2a·b+b2,

②

①-②,得(a+b)2-(a-b)2=4a·b.

1.2 幾何意義

圖1

=AO2-OB2.

這樣,我們就可以把一組不共線的向量數(shù)量積問題轉化為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形兩條對角線平方差的四分之一;在三角形中,可以將其轉化為三角形中線長與底邊長一半的平方差.

2 極化恒等式的應用

解法一:坐標法.

故選:B.

解法二:極化恒等式法.

圖2

評析:根據(jù)向量的坐標運算將向量數(shù)量積的最值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題,運算量較大.本題可先將問題轉化為同起點兩向量的數(shù)量積求最值,化動為定,落點于初中幾何問題,大大減少運算量.

解法一:坐標法.

解法二:極化恒等式法.

圖3

評析:三角形與向量的綜合題屬于高考經典題,解決此類問題的通法是坐標法,直接、易想,但有時計算量較大.本題用坐標法實現(xiàn)向量與代數(shù)的轉化,最終將問題轉化為求二元二次函數(shù)的最值問題.而利用極化恒等式可以完美地把它轉化為簡單的幾何問題.

圖4

解法一:基底法.

解法二:極化恒等式法.

圖5

解法一:基底法.

解法二:極化恒等式法.

因為F為定點,E為邊CD上的動點,所以EF的最小值為過點F作CD的垂線段FG的長.

評析:例3和例4分別為高考試卷中填空題和選擇題的壓軸題,難度較大.對于數(shù)量積的最值問題,多數(shù)人在解題時會選擇利用坐標法或者基底法分解向量,二者本質上都是將問題轉化成函數(shù)求最值,過程繁冗且計算量較大,容易出錯.

例3、例4的解法對比,充分體現(xiàn)了極化恒等式在解決平面向量數(shù)量積最值問題的精妙之處,在一些題目復雜難解、計算量大的情況下,有化繁為簡、出奇制勝的作用.

坐標法和基底法作為解決向量數(shù)量積最值問題的常規(guī)方法雖然易想,但有時過于循規(guī)蹈矩導致運算復雜,解題效率不高.而極化恒等式是解決同起點向量數(shù)量積問題的強有力手段,完美展現(xiàn)向量與幾何之間的轉換,快速簡化問題.這充分體現(xiàn)了小題小做、小題巧做的思想,為讀者提供一種新的解題思路.

解題之道,貴在審時度勢,因題擇宜.在實際求解向量數(shù)量積最值問題時,要根據(jù)題目條件和問題表征,從數(shù)與形兩個角度分析問題,選擇行之有效的解題方法和策略.