變換視角,扭轉乾坤
——參悟轉化與化歸思想

? 江蘇省張家港市沙洲中學 劉華珍

“抓基礎知識,重化歸轉化”是學好中學數(shù)學的一把“金鑰匙”,也是一個基本竅門.事實上,數(shù)學學習中的轉化與化歸思想比比皆是,方方面面,林林總總.在認知層面上有未知向已知的轉化,在思維層面上有高維向低維的轉化,在空間感觀上有空間向平面的轉化,等等,其中都有轉化與化歸思想的“影子”與體現(xiàn).

1 一般與特殊的相互轉化

分析:根據(jù)題目條件,過焦點F作垂直于y軸的直線交拋物線于P,Q兩點,可以快速確定線段PF與FQ的長度.

故選擇答案:C.

點評:此題若利用直線與拋物線的位置關系來處理,過程比較復雜,運算量也比較大.而利用特殊化處理,簡單快捷.特別是涉及此類定值或常值問題,往往可以化一般值為特殊值,從而更加簡潔迅速得到所需要的答案.

2 正與反的相互轉化

例2若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]內至少存在一個值c,使得f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍為______.

分析:根據(jù)題目條件,利用正與反的化歸與轉化,先求解不等式f(c)≤0恒成立時p的取值范圍,再通過取補集來確定所求的實數(shù)p的取值范圍.

點評:此題的解析過程充分展示了正與反的轉化,直接從所求結論入手往往情況較多且復雜,而取其結論的反面,一般所求情況比較單一或直接,這樣處理就真正體現(xiàn)了“正難則反”的原則.利用“正難則反”原則處理問題時,經常通過取補集利用間接法,解決一些含有“至多”“至少”及否定性命題情形的相關問題.

3 常量與變量的相互轉化

例3(2021年浙江省普通高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學仿真模擬卷)設函數(shù)y=(log2x)2+(t-2)·log2x-t+1,若t∈[-2,2]時,y恒取正值,則x的取值范圍是______.

分析:根據(jù)題目條件,借助轉化與化歸思想改變常量與變量的關系,構建一次函數(shù)y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,根據(jù)變量t∈[-2,2]時,y恒取正值,得到對應的不等式組,通過求解不等式(組)來確定變量x的取值范圍.

解析:構建函數(shù)y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,則知函數(shù)f(t)是關于參數(shù)t的一次函數(shù).

當t∈[-2,2]時,由不等式f(t)>0恒成立,知f(-2)>0,且f(2)>0,代入可得

解得log2x<-1,或log2x>3.

點評:此題若按常規(guī)法視x為主元來解,需要分類討論,這樣會很繁瑣.而通過常量與變量的轉化,將原問題巧妙轉化為一次函數(shù)的相關問題,即可完美解決.特別是在處理多變元的數(shù)學綜合問題時,經常借助題設中的常數(shù)(或參數(shù))轉變視角,合理化歸,巧妙減元,實現(xiàn)“主”與“次”的轉化.

4 相等與不等的相互轉化

分析:通過雙變元方程的消元處理,結合目標構建對應的方程,利用關于參數(shù)a的一元二次方程有正數(shù)解,通過判別式非負建立不等式,實現(xiàn)相等與不等之間的轉化,進而求解對應的參數(shù)值的最值問題.

點評:例4結合題目“相等”關系的應用,通過相關數(shù)學知識構建“不等”關系,合理轉化與化歸.特別地,在解決一些函數(shù)與方程、基本不等式、導數(shù)等問題中,經常用到相等與不等的相互轉化思維,巧妙合理建立二者的內在聯(lián)系與轉化紐帶.

5 幾何體之間的相互轉化

例5如圖1所示,已知多面體ABCDEFG中,AB,AC,AD兩兩互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為______.

圖1

分析:根據(jù)題目條件,直接求解該多面體的體積無法下手,而合理借助空間幾何體的分割法或補形法,即可實現(xiàn)空間幾何體的轉化與化歸.

解法1:(分割法)過點C作CH⊥DG于點H,連接EH,如圖2,將不規(guī)律的多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三棱柱BEF-CHG.

圖2

所以V多面體ABCDEFG=2+2=4.

故填答案:4.

解法2:(補形法)如圖3,進行補形處理,將原多面體放置于棱長為2的正方體中,結合圖形的結構特征,可知所求多面體的體積恰好是該正方體體積的一半.

圖3

故填答案:4.

點評:幾何體之間的相互轉化,往往要借助空間幾何圖形的特征分析,利用空間想象思維,通過空間圖形的切、補、疊、轉等方式來合理轉化,使得不規(guī)則空間幾何體便于觀察與數(shù)學運算.在形、體位置關系的相互轉化中,要保持線段長度、角大小等圖形的幾何特征與結構的不變性.

在數(shù)學解題中,轉化與化歸思想表現(xiàn)極其活躍,充分把握化歸對象(把什么問題進行轉化)、化歸目標(化歸到何處)、化歸方法(如何進行化歸)等指導思想,結合一些常見的方法,如直接轉化法、換元法、數(shù)形結合法、構造法、坐標法、類比法、特殊化方法、等價問題法、加強命題法、補集法等相應的方法來處理,揭示問題間的內部聯(lián)系,分析問題,創(chuàng)造條件,創(chuàng)新應用,實現(xiàn)轉化與化歸的目的.