對繩船模型中關(guān)聯(lián)速度和加速度變化的深入分析

摘? ?要：從三個角度論證了繩船模型中的速度關(guān)系，用多種方法探究了船速率恒定和人收繩速率恒定兩種情境下另一物體的加速度變化，最后分析了繩轉(zhuǎn)動的角速度及小船在轉(zhuǎn)動方向的加速度變化。

關(guān)鍵詞：繩船模型；關(guān)聯(lián)速度；加速度；微元法；函數(shù)

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）9-0056-5

收稿日期：2023-01-03

作者簡介：羅金龍（2000-），男，黃岡師范學(xué)院2020級本科生，主要從事中學(xué)物理、數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。

在運動的合成與分解相關(guān)知識的教學(xué)或?qū)W習(xí)中，我們常會遇到多物體的關(guān)聯(lián)速度問題。而繩船模型是關(guān)聯(lián)速度問題的一個經(jīng)典模型，即一個人（或小車）在高為h的岸上用一根輕繩跨過定滑輪拉小船向岸邊運動，這其中就涉及到人與船關(guān)聯(lián)速度的分析，并且二者之間的關(guān)聯(lián)速度也是定量研究運動過程中其他物理量的必要條件。不少教師在教學(xué)過程中讓學(xué)生刻板記憶“將船速沿繩方向和垂直繩方向分解”的結(jié)論，學(xué)生往往不明所以，不利于其學(xué)科思維的養(yǎng)成和學(xué)科素養(yǎng)的提升。為了讓學(xué)生不僅能“知其然”更能“知其所以然”，養(yǎng)成從物理學(xué)視角認識客觀事物內(nèi)在規(guī)律的科學(xué)思維，本文嘗試從多個角度對繩船模型中的相關(guān)問題進行思考和探究。

例題情境 如圖1所示，湖中有一小船，初始時小船離岸邊的距離s0足夠遠。人在距水面高度為h的岸上用一根不可伸長的輕繩跨過光滑定滑輪拉湖中小船向岸邊運動，運動過程中滑輪右側(cè)的繩子與水平方向的夾角為θ，滑輪左側(cè)繩子始終保持水平。

1? ? 三個角度理解關(guān)聯(lián)速度

問題1 設(shè)人在岸上收繩的速率為v，船運動的速率為v，問兩者有何種關(guān)系？

如圖2所示，由于輕繩端點A（系在船上）與小船的實際運動是相同的，人在收繩過程中使得滑輪右側(cè)繩子既有沿繩收短的運動，又有繞滑輪O旋轉(zhuǎn)的運動，所以可將小船的速度在沿繩和垂直繩兩個方向進行分解，即將小船的實際運動效果分解到沿繩和垂直繩兩個方向。小船沿繩方向的速度分量v=vcosθ，垂直繩方向的速度分量v⊥=vsinθ。考慮到輕繩不可伸長，所以小船沿繩方向的速率與人收繩的速率相等，于是我們得到v=vcosθ。

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生對小船的“實際運動效果”不甚理解，小船明明在向左做直線運動，為何會有繞滑輪做圓周運動的效果？對于學(xué)生的這個疑問，筆者認為可從以下三個角度論證上述速度關(guān)系的正確性，從而解答學(xué)生心中的疑惑。

角度一 根據(jù)能量守恒的觀點，可認為人通過繩子輸出的能量完全給了小船，即人拉繩的瞬時功率時刻等于繩對船的作用力的瞬時功率（圖3）。假設(shè)輕繩中的張力大小為F，于是有Fv=Fvcosθ，得到v=vcosθ。

角度二 根據(jù)速度的定義，我們可先找出小船的運動方程。如圖3所示，設(shè)小船運動過程中與岸邊距離為s時，船與定滑輪之間的繩長為l。由幾何關(guān)系有s2+h2=l2，式中s，l均為時間的函數(shù)，故兩邊同時對時間求導(dǎo)得2s=2l，其中=v，=v，于是得v=v=vcosθ。

角度三 根據(jù)微元法求解速度關(guān)系［1］。如圖4所示，取小船向左運動過程中的一極小段時間Δt→0，則該過程輕繩繞滑輪O轉(zhuǎn)過的角度Δθ→0，過B點作OA的垂線BE。由于Δθ→0，可認為OB=OE，即該過程人收繩的長度x=OA-OB=AE，小船向左運動的距離x=AB?？烧J為Δt內(nèi)v和v均為定值，于是AE=vΔt， AB=vΔt，又AE=ABcosθ，同樣得到v=

從三個不同的角度出發(fā)均得到了同樣的結(jié)論，論證了將小船的速度分解到沿繩方向和垂直繩方向進而得到二者的速度關(guān)系這一做法是正確的。其中，角度一最為簡單，從能量與功率的角度考慮繩船模型，將看似沒有聯(lián)系的兩部分知識整合起來，體現(xiàn)了物理知識的連貫性和系統(tǒng)性；角度二從基本定義出發(fā)，能讓學(xué)生結(jié)合具體問題加深對瞬時速度概念的理解；角度三的微元法是分析和解決高中物理中一些疑難問題的常用方法，其本質(zhì)是一種微分思想，即將某個復(fù)雜的物理過程分成若干個小過程，而每個小過程往往遵循著最為簡單的物理規(guī)律，從而使問題得到解決，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維。

2? ? 對人收繩或小船的速度與加速度的分析

問題2? 如圖5所示，設(shè)小船以恒定速率v0靠岸，問人收繩的速率v和加速度a如何變化？

通過上文分析我們知道二者速度的關(guān)系為v=v0cosθ，由于小船在向左運動過程中夾角θ不斷增大，即cosθ減小，所以人收繩的速率v在不斷減小。對于加速度如何變化，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生會直接將速度函數(shù)求導(dǎo)，即

a=v'=-v0sinθ（1）

從而得出加速度大小|a|在不斷增大的結(jié)論。我們根據(jù)加速度定義a=不難發(fā)現(xiàn)這一方法其實是錯誤的。因為“-v0sinθ”實則是v關(guān)于θ的導(dǎo)函數(shù)，并非v關(guān)于時間t的導(dǎo)函數(shù)，因此并不符合常規(guī)加速度的定義。可從以下兩個角度分析加速度的變化情況。

角度一 找v-t關(guān)系并繪制圖像。

如圖5所示，小船從初始位置開始向左運動的位移x=v0t，與岸邊的距離s=s0-v0t，因此t時刻滑輪右側(cè)繩長l=，又cosθ=，于是得到人收繩的速率與時間的關(guān)系為

v=v0=（2）

不妨取v0=1，h=2，s0=8，借助幾何畫板繪制出v-t圖像及其導(dǎo)函數(shù)圖像分別如圖6中曲線Ⅰ、Ⅱ所示。從圖中可直觀看出，加速度在不斷增大，加速度為負值表示與速度方向相反。

角度二 找a-t關(guān)系?？捎靡韵聝煞N方法得到人收繩的加速度與時間的關(guān)系。

方法一 函數(shù)求導(dǎo)法。

我們知道角度θ是時間t的函數(shù)，所以若將“v=v0cosθ”對時間求導(dǎo)，實則就是對一個復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，因此要先表示出θ與t的關(guān)系，由圖5可知tanθ=，因此θ=arctan，所以=·=，又sinθ=，于是

從上式可知加速度a隨運動時間t的增大而不斷增大，負號表示a與v反向，即人收繩的速率v是加速度增大的減速運動。也可直接用（2）式對時間求導(dǎo)函數(shù)，所得結(jié)果與（3）式是完全一致的。

方法二 加速度等效法。

由于將小船的“實際運動效果”視為既沿繩方向運動又繞滑輪做圓周運動，因此可認為小船在沿繩方向具有向心加速度an。又因為小船在沿繩方向的速度分量v不斷減小，因此存在一個與該速度分量反向的加速度a'n，即人收繩的加速度a，如圖7所示。根據(jù)小船的實際加速度為零，于是有a'n=-an，又an===，則加速度

結(jié)果與上文相同。

將a=-與（1）式對比，也證實了（1）式的錯誤。雖然兩式的結(jié)論都是加速度隨角度的增大而增大，但其背后的原理卻大相徑庭，我們應(yīng)避免類似錯誤的發(fā)生。

問題3? 如圖8所示，設(shè)人以恒定速率v1收繩，問湖中小船運動的速率v和加速度a如何變化［2］？

根據(jù)二者速度的關(guān)系知小船的速率v=，所以不難看出船速v隨著θ的增大而增大。由于在問題2中我們主要從a-t關(guān)系入手研究加速度，且研究問題2的“加速度等效法”在小船做變速運動時并不適用，所以對于問題3小船的加速度不妨換一個思路進行研究?？紤]到小船在向岸邊運動過程中與岸距離越來越小，因此可嘗試找出小船的加速度與離岸距離s的關(guān)系，從而得出加速度的變化情況，下面給出兩種求解a-s關(guān)系的方法。

方法一 根據(jù)加速度定義對小船速度方程求導(dǎo)函數(shù)。

顯然，隨著離岸距離的減小，小船的加速度不斷增大。

方法二 用微元法求解。

如圖9所示，在小船運動過程中取一小段時間Δt→0，此過程輕繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度Δθ→0，在A'點小船速度為v'A=，則Δt內(nèi)小船速度增量Δv=v'A-vA=v1［-］?？烧J為，在Δt內(nèi)船速在垂直繩方向的分量v=v1tanθ大小恒定，因此

對于問題3我們同樣可以像問題2一樣求解小船速度和加速度與運動時間的關(guān)系，只需根據(jù)滑輪右側(cè)輕繩的初始長度和變化量表示出含有時間t的幾何關(guān)系及三角函數(shù)關(guān)系即可。

3? ? 對繩轉(zhuǎn)動的角速度與船的切向加速度的分析

我們知道，小船在靠岸過程中有繞滑輪做圓周運動的效果，即滑輪右側(cè)的輕繩在轉(zhuǎn)動。為能判斷其轉(zhuǎn)動的快慢，我們不妨探究一下繩轉(zhuǎn)動的角速度和小船在垂直繩方向的加速度如何變化。

當(dāng)船速恒定時（問題2），小船在垂直繩方向的速度分量v=v0sinθ。根據(jù)v與角速度ω的關(guān)系可得ω===，所以隨著小船的運動角速度在不斷增大，即輕繩轉(zhuǎn)動得越來越快。

小船在垂直繩方向的加速度at==·=v0cosθ·，根據(jù)角速度定義式=ω，因此

at的效果是使得v不斷增大，這與v的變化情況是相符合的。根據(jù)問題2中“加速度等效法”的分析，我們知道應(yīng)存在一個時刻與at等大反向的加速度a't，從而使得小船在垂直繩方向的實際加速度為零。如圖10所示，可將小船的實際加速度a=0等效為四個分加速度an，a'n，at，a't，由于小船速度在兩個方向的分量的大小和方向均在發(fā)生改變，所以不難看出各個分加速度的效果：at和an分別改變v的大小和方向，a'n和a't分別改變v的大小和方向［3］。

進一步分析at的變化情況。

令（6）式中sin2θcosθ=f（θ），可通過換元或均值不等式來求解f（θ）的變化情況，筆者給出一種不等式解法。（

首先，構(gòu)造出多個和為定值的變量

根據(jù)均值不等式有（1-cos2θ）（1-cos2θ）·2cos2θ≤［］3=，于是得f? 2（θ）≤，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=時取等，所以隨著角度的增大切向加速度at先增大后減小，并在cosθ=處達到最大值。

當(dāng)人收繩速率恒定時（問題3），相關(guān)分析與船速恒定類似，同理可得繩轉(zhuǎn)動的角速度ω1==，結(jié)論與船速恒定時相同，即角速度在不斷增大。小船在垂直繩方向的加速度at1=·=v1sec2θ·ω1=，因此當(dāng)人收繩速率恒定時，小船在運動過程中切向加速度大小始終在增大。

綜上所述，我們從多個角度、采用多種方法對繩船模型中的相關(guān)問題進行了分析，由淺入深，由易到難，既體會到了數(shù)學(xué)作為工具解決物理問題的重要性，也提升了分析問題的物理思維素養(yǎng)。

參考文獻：

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［2］漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程 力學(xué)（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2012：31-32.

［3］李柏濤.等效法在自主招生考題中的應(yīng)用［J］.物理教師，2013，34（12）：90-92.

（欄目編輯? ? 蔣小平）