狹義相對論“尺縮效應(yīng)”下電場力和洛倫茲力的等效性

摘? ?要：“尺縮效應(yīng)”是愛因斯坦狹義相對論的重要結(jié)論之一。在無限長直導(dǎo)線電流模型中應(yīng)用“尺縮效應(yīng)”可以把地面系下導(dǎo)線外的移動電荷受到的洛倫茲力轉(zhuǎn)化為移動電荷參照系下電荷受到的電場力，且轉(zhuǎn)化后兩種力大小相等，符合慣性系轉(zhuǎn)換中受力不變的原則。

關(guān)鍵詞：尺縮效應(yīng)；電場力，洛倫茲力；狹義相對論；無限長直導(dǎo)線

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）9-0060-3

收稿日期：2023-01-24

作者簡介：王磊（1988-），男，中學(xué)一級教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)工作及研究。

1? ? 慣性系轉(zhuǎn)換中出現(xiàn)的電場或磁場消失問題

1.1? ? 電場的消失和出現(xiàn)

在火車上放一個導(dǎo)體線圈，地面上放一塊磁鐵（圖1）?；疖囬_動后，火車上的導(dǎo)體就會切割地面磁鐵產(chǎn)生的磁場的磁感線，從而在回路里產(chǎn)生電流。這是一個非常簡單的電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)，但是，當(dāng)我們分別站在地面和火車上不同視角看問題時，奇怪的事情發(fā)生了。

在地面上，我們看到的是：磁鐵在地面上靜止不動，磁感應(yīng)強(qiáng)度沒有變化?；疖嚱?jīng)過這里時，火車上運(yùn)動的導(dǎo)體會切割磁感線，導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷在洛倫茲力作用下定向移動產(chǎn)生電流。而在火車上，我們看到：眼前的導(dǎo)體和回路都沒動，當(dāng)火車經(jīng)過磁鐵那里時，回路里的磁場突然增強(qiáng)了，進(jìn)而產(chǎn)生了感應(yīng)電場，感應(yīng)電場推動電荷運(yùn)動產(chǎn)生電流。也就是說，地面系下是洛倫茲力推動電荷，火車系下是電場力推動電荷?；疖嚿系娜擞X得是變化的磁場產(chǎn)生了電場，磁鐵附近有電場；地面上的人覺得是運(yùn)動電子在磁場中受到了洛倫茲力，磁鐵附近沒有電場。電場，這么實(shí)實(shí)在在的東西，怎么能在一個參考系里有，在另一個參考系里又沒有了呢？

1.2? ? 磁場的消失和出現(xiàn)

假設(shè)勻速前進(jìn)的火車中有一靜止電荷，火車上看，電荷靜止，電荷周圍只存在電場，而在地面上看電荷勻速前進(jìn)形成電流，進(jìn)而產(chǎn)生磁場。故地面系下電荷既有電場又有磁場，而火車系下只有電場。火車系下磁場消失了，而地面系下磁場出現(xiàn)了。

2? ? 狹義相對論“尺縮效應(yīng)”

愛因斯坦狹義相對論的核心在于把電磁理論融入相對性原理中。慣性系轉(zhuǎn)換中出現(xiàn)的電磁消失問題可以用狹義相對論“尺縮效應(yīng)”來解釋。

在火車上放置一兩邊帶豎直鏡面平板的AB標(biāo)尺（圖2）。采用激光測距的方法測量標(biāo)尺長度。讓A處的光源發(fā)出的光射到平面鏡B上，經(jīng)B反射后被A接收，測量光從A發(fā)出到再被A接收所用的時間來測量標(biāo)尺長度。

在火車參考系中，觀察者測得的長度為相對自己靜止的長度l0，使用的時間為固有時間間隔t0，兩者滿足關(guān)系2l0=ct0。在地面參考系（圖3）中，觀察者測得的長度為標(biāo)尺相對自己運(yùn)動時的長度l，在激光向右到達(dá)平面鏡B的過程中滿足l+uΔt1=cΔt1；向左回到A的過程中滿足l-uΔt2=cΔt2；Δt1+Δt2=t。根據(jù)鐘慢效應(yīng)t=，可得l=l0，該式顯示了在地面參照系下觀察運(yùn)動的車廂內(nèi)物理尺寸在運(yùn)動方向上會變短。根據(jù)運(yùn)動的相對性可知，以車廂為參照系，地面向后運(yùn)動，在車廂上觀察地面上物體在運(yùn)動方向上尺寸也會縮短。故狹義相對論的尺縮效應(yīng)可以解釋為在非本征參照系觀察某一物體的長度比本征參照系長度要短，或者說本征參照系下測量物體的尺寸最長［1］。

3? ? 無限長直導(dǎo)線模型下狹義相對論“尺縮效應(yīng)”對“電磁消失”的解釋

麥克斯韋在提出麥克斯韋方程組時雖然沒有選擇任何參照系，但是通過火車線圈實(shí)驗(yàn)我們可以了解，在不同的參照系下同一組電場和磁場是以不同的形式呈現(xiàn)的。在第一個例子中，地面系下只有磁場，而火車系下卻是磁場與電場共存。那么，愛因斯坦的狹義相對論對于以上現(xiàn)象能給出合理的解釋嗎？

為了計算簡單，繼續(xù)簡化模型，考慮無限長直導(dǎo)線問題（圖4）。我們知道，導(dǎo)線中有自由移動的電荷，通常只有負(fù)電荷可以自由移動。為了簡化問題，假設(shè)導(dǎo)線中正負(fù)電荷均可自由移動，正負(fù)電荷的帶電量大小都是e。導(dǎo)線中電荷是雜亂無章分布的，為了簡化問題，讓正電荷和負(fù)電荷在導(dǎo)線中整齊上下分開排列。假設(shè)導(dǎo)線中所有負(fù)電荷相對地面靜止，而所有正電荷向右速度均為v，該無限長直導(dǎo)線形成了水平向右的電流I。在地面參考系下，導(dǎo)線中正負(fù)電荷的線密度均為ρ0。這樣，在地面系下，導(dǎo)線正負(fù)電荷因密度相同故在外界產(chǎn)生的電場相互抵消，在導(dǎo)線外部只存在磁場。根據(jù)畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理可知，距導(dǎo)線垂直距離為r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

假設(shè)距導(dǎo)線r處有一正電荷q水平向右運(yùn)動速度也為v，則它受到豎直向上的電場力

在地面系下，電荷q只受到洛倫茲力。

現(xiàn)改變參照系，以水平向右運(yùn)動的電荷q或?qū)Ь€中水平向右移動的自由正電荷為參照系（圖5）。則正電荷均靜止，而負(fù)電荷向左移動速度大小也為v，根據(jù)愛因斯坦相對論“尺縮”結(jié)論l=l0。導(dǎo)線中正負(fù)電荷的總電荷量Q不因參照系改變而變化。再根據(jù)電荷線密度ρ=可知，以水平向右運(yùn)動的電荷q為參照系時，導(dǎo)線中正電荷所在空間將延長，正電荷密度將變小為ρ+=ρ0；負(fù)電荷所在空間將變短，負(fù)電荷密度將變大為ρ-=，則導(dǎo)線上的凈電荷密度

常規(guī)導(dǎo)線中電荷的定向移動速度量級為10-5 m/s，正負(fù)電荷的定向移動速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速，故對（5）式應(yīng)用泰勒展開到一階小量，舍掉二階以上小量可知

ρ為負(fù)電荷。故在導(dǎo)線周圍存在指向?qū)Ь€的電場，設(shè)距導(dǎo)線距離為r處的電場強(qiáng)度為E，取任意長為l的導(dǎo)線，根據(jù)高斯定理有E·2πrl=，得到

根據(jù)電場力公式F=Eq，結(jié)合（6）式可得

根據(jù)伽利略相對性原理，在不同慣性系間轉(zhuǎn)換時不會影響物體的受力情況，故（4）（8）式結(jié)果應(yīng)該相等［2］，即地面系下電荷q受到的洛倫茲力F=應(yīng)與運(yùn)動電荷q參照系下電荷q受到的電場力F=相等。根據(jù)麥克斯韋方程組結(jié)論［3］可知

將（9）式代入（8）式可得

本文構(gòu)建了無限長直導(dǎo)線模型，利用狹義相對論“尺縮效應(yīng)”解釋了不同慣性參照系下電磁場的“消失”現(xiàn)象。電場、磁場的物質(zhì)性在參照系的轉(zhuǎn)換中顯示了它們和一般物體的不同，在不同慣性系下電磁場以不同的形式存在。通過論證地面系下電荷受到的洛倫茲力與電荷系下電荷受到的電場力相同，反過來印證了狹義相對論的正確性。狹義相對論的提出目的在于融合電磁理論，在狹義相對論的物理教學(xué)中通過對不同慣性系下電磁理論的說明可以更好地向?qū)W生展示狹義相對論原理，同時讓學(xué)生更好地理解電磁理論。

參考文獻(xiàn)：

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［2］王磊，張?zhí)旌?轉(zhuǎn)動參考系下的慣性力［J］.物理教學(xué)探討，2020，38（11）：55-57，60.

［3］董廣宇.從麥克斯韋方程組到電磁波方程［J］.現(xiàn)代物理知識，2017，29（3）：51-54.（欄目編輯? ? 蔣小平）