等腰三角形中新定義題選析

滿高珍

新定義題型是各地中考熱點題型，是指在問題中定義了初中數(shù)學未涉及的一些新概念、新運算、新符號，要求同學們讀懂題意并結合已有知識和能力進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型. 下面選取兩道關于等腰三角形的新定義題，供同學們賞析.

一、倍長三角形

例1 （2022·江蘇·蘇州）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”. 若等腰三角形ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為_________.

解析：由等腰三角形ABC是“倍長三角形”，可知AB = 2BC或BC = 2AB. 若AB = 2BC = 6，可得AB的長為6；若BC = 3 = 2AB，則三邊分別是1.5，1.5，3. 因為1.5 + 1.5 = 3，不能構成三角形，所以這種情況不存在. 故應填6.

二、倍角三角形

例2 定義：一個內角等于另一個內角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有_________（只填寫序號）. ①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個角是30°的直角三角形.

（2）如圖1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC ≥ 90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點E，連接BE. ①若BC = BE，求證：△ABE是“倍角三角形”. ②點P在線段AE上，連接BP. 若∠C = 30°，BP將△ABE分成的兩個三角形中，一個是等腰三角形，一個是“倍角三角形”，請直接寫出∠E的度數(shù).

解析：（1）利用“倍角三角形”的定義依次判斷，易得答案：②③.

（2）①由折疊的性質和等腰三角形的性質可得∠BAE = 2∠D，由等腰三角形的性質可得∠D = ∠E，易證∠BAE = 2∠E，則△ABE是“倍角三角形”.

②分兩種情況討論.

由①可得∠BAE = 2∠D = 2∠C = 60°，如圖2.

若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，

∴△ABP是等邊三角形，∴∠APB = 60°，∴∠BPE = 120°.

∵△BPE是“倍角三角形”，

∴∠E = 2∠EBP或∠PBE = 2∠E，∴∠E = 20°或40°.

若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，

∴∠ABP = ?∠BAP = 30°或∠APB = ?∠BAE = 30°或∠ABP = 2∠APB或∠APB = 2∠ABP，

∴∠APB = 90°或30°或40°或80°，∴∠BPE = 90°或150°或140°或100°.

∵△BPE是等腰三角形，∴∠E = 45°或15°或20°或40°.

綜上所述，∠E為45°或15°或20°或40°.

反思：解答這類問題的關鍵是要讀懂題目提供的新知識，理解其本質，把它與已學的知識聯(lián)系起來，把新的問題轉化為已學的知識進行解決，即：（1）深刻理解“新定義”，明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論. （2）重視舉例，利用舉例檢驗是否理解和正確運用“新定義”，歸納舉例提供的解題方法，歸納舉例提供的分類情況. （3）依據(jù)新定義，運用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法解決題目中需要解決的問題.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：5分鐘

【概念學習】規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”. 從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

【理解概念】（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，請寫出圖3中兩對“等角三角形”.

【概念應用】（2）如圖4，在△ABC中，CD為角平分線，∠A = 40°，∠B = 60°. 求證：CD為△ABC的等角分割線.

【動手操作】（3）在△ABC中，若∠A = 50°，CD是△ABC的等角分割線，請求出所有可能的∠ACB的度數(shù). （答案見第39頁）

（作者單位：山東省棗莊市臺兒莊區(qū)馬蘭屯鎮(zhèn)插花學校）