讓知識自然生長

王梅英

［摘 要］以“找次品”同課異構(gòu)教學(xué)研討中產(chǎn)生的困惑為源頭，從教材中找到原型，關(guān)注教材中的數(shù)形結(jié)合、拓展板塊，把它們作為重新設(shè)計(jì)教學(xué)的突破口，在課堂重構(gòu)中研究出關(guān)于“找次品”教學(xué)的策略。

［關(guān)鍵詞］結(jié)構(gòu)化教學(xué)；教材分析；策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0062-04

筆者近期參加了“縉云—富陽”兩地名師課堂研訓(xùn)活動，研修內(nèi)容是人教版教材五年級下冊的“找次品”，活動形式為同課異構(gòu)。在活動中，學(xué)生對“三分法”的理解引起了筆者的思考。

鏡頭一： 甲教師先以在81個(gè)乒乓球中找次品導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡，即從3個(gè)乒乓球開始研究。學(xué)生通過擺小圓片以及用“如果……就……”句式表示推理過程。接著甲教師引導(dǎo)學(xué)生研究8個(gè)乒乓球，學(xué)生得出多種分法：8（4，4）、8（3，3，2）、8（6，1，1）。隨即甲教師組織學(xué)生討論。

師：從8個(gè)乒乓球中找次品，怎樣分，找的次數(shù)最少？

生：把8個(gè)乒乓球分成3個(gè)、3個(gè)、2個(gè)，每份的數(shù)量均為質(zhì)數(shù)。

鏡頭二：乙教師先直接以在3個(gè)零件中找次品導(dǎo)入，讓學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動下，通過操作初步感悟“三分法”。接著研究在5個(gè)、8個(gè)零件中找次品。最后用問題“你覺得至少稱的次數(shù)可能與什么有關(guān)？你知道怎么找了嗎？”引導(dǎo)學(xué)生討論。學(xué)生一致認(rèn)為與分成的質(zhì)數(shù)有關(guān)。

不同的教師、學(xué)生研究在8個(gè)物品中找次品的過程都比較順利，且學(xué)生對“三分法”的體會如此相似，都認(rèn)為至少稱的次數(shù)與分成的每份的數(shù)量為質(zhì)數(shù)有關(guān)。那么，到底是什么影響了學(xué)生的思維？難道僅僅是因?yàn)槭軇倢W(xué)習(xí)的“質(zhì)數(shù)”“合數(shù)”干擾嗎？還是有其他深層次原因呢？對盡量均分成三份的策略，學(xué)生怎樣才能理解更深刻？到底選擇怎樣的教學(xué)素材才更有探究價(jià)值？帶著這些困惑，筆者開展了“找次品”第一課時(shí)的教學(xué)實(shí)踐。

一、走進(jìn)教材看本質(zhì)——審讀原型

1.梳理教材，尋教學(xué)“邏輯序”

（1）整體把握

“找次品”是“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，而“數(shù)學(xué)廣角”屬于“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域?！熬C合與實(shí)踐”是基于解決一些實(shí)際問題或經(jīng)典題來獲得思想方法的特色板塊，旨在拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的視角，強(qiáng)調(diào)思想方法與問題解決?！皵?shù)學(xué)廣角”注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透（見表1），與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的符號意識、推理意識、數(shù)據(jù)意識和模型意識高度關(guān)聯(lián)。

（2）內(nèi)容梳理

找次品就是優(yōu)化思想的體現(xiàn)。教材是這樣編排的：先通過找3個(gè)物品中的1個(gè)次品，讓學(xué)生初步認(rèn)識找次品問題的含義，明確解決的基本方法；接著從8個(gè)零件中找1個(gè)次品，從各種解決方案中總結(jié)規(guī)律，再將規(guī)律應(yīng)用到9個(gè)、10個(gè)、11個(gè)零件上加以驗(yàn)證，由此歸納概括找次品的最優(yōu)方法?？梢钥闯?，教材是以操作為載體，綜合了觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納、推理等活動，讓學(xué)生理解“盡可能將待測物品平均分成3份”的合理性。

2.把握學(xué)情，診學(xué)生“前經(jīng)驗(yàn)”

五年級的學(xué)生已經(jīng)具有一定的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，但對于在生活中找次品的問題，學(xué)生之前很少接觸，沒有相關(guān)的學(xué)習(xí)與生活經(jīng)驗(yàn)，再加上找次品內(nèi)在規(guī)律的隱蔽性，一堂課下來，學(xué)生仍是一頭霧水。筆者結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，猜測學(xué)生在找次品中可能存在以下困難，并在后續(xù)教學(xué)中也證實(shí)了一些推斷。

（1）價(jià)值理解難。為什么盡可能平均分成3份，找的次數(shù)最少？天平明明只有2個(gè)盤，為什么要分成3份？

（2）清晰表達(dá)難。找次品需要借助天平平衡原理來推理，一旦數(shù)據(jù)稍微大一點(diǎn)，步驟就會比較多。天平平衡代表著什么？天平不平衡又代表著什么？學(xué)生難以清晰、有條理地表述。

（3）過程記錄難。教材呈現(xiàn)的直觀圖、流程圖、表格對學(xué)生來說稍顯復(fù)雜，不易記錄。

3.研讀課標(biāo)，思目標(biāo)“精定位”

任何一個(gè)問題的解決過程都是一次極富挑戰(zhàn)、極具魅力的數(shù)學(xué)探究之旅。在這一過程中，數(shù)學(xué)知識的獲得、數(shù)學(xué)技能的提高、數(shù)學(xué)思想的熏陶、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累都在悄悄發(fā)生。筆者時(shí)常思考一個(gè)問題：僅僅是讓學(xué)生被動地接受一種被前人證明是便捷的解法，然后通過反復(fù)操練，就能解決所有同類問題了嗎？

仔細(xì)研讀2022年版的課標(biāo)后，筆者認(rèn)為，找次品問題就為落實(shí)“四基”這一多維目標(biāo)提供了很好的載體。在解決找次品這一問題的過程中，學(xué)生能清晰表達(dá)數(shù)學(xué)思維的過程，理解和掌握基本的邏輯推理和化歸思想方法，通過“比較—猜想—驗(yàn)證”發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，從而全方位提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、另辟蹊徑找突破——探尋關(guān)鍵

通過系統(tǒng)解讀教材、預(yù)估學(xué)情、學(xué)習(xí)課標(biāo)，對于研討活動中出現(xiàn)的問題筆者已有了心理準(zhǔn)備。教材的編排層層遞進(jìn)，以學(xué)生原有知識為起點(diǎn)，但落實(shí)到課堂教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)不足之處：一是忽視了學(xué)生認(rèn)知水平的差異；二是忽視了數(shù)學(xué)語言符號的簡潔性。這兩個(gè)不足，并不是說教材完全沒有考慮到，而是教師會忽略有關(guān)情況。如果教師能夠充分關(guān)注，并加以挖掘，便能使找次品最優(yōu)策略的教學(xué)更加流暢。

1.關(guān)注教材中的數(shù)形結(jié)合

雖說“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，但是如果“形”的運(yùn)用反而讓學(xué)生感覺復(fù)雜，那么對于這個(gè)“形”，教師就需要斟酌。教材給出直觀圖加以引導(dǎo)，讓學(xué)生記錄找次品的思維過程（如圖1），再讓學(xué)生把不同的方案記錄在表格中（如圖2）。研讀教材后會發(fā)現(xiàn)，這樣的表達(dá)并不簡潔，的確需要教師進(jìn)行再加工，幫助學(xué)生在找次品過程中建立清晰的路徑。

2.關(guān)注教材中的拓展板塊

每一堂課都有其核心知識，若承載的東西太多，反而會影響學(xué)生思維的發(fā)展。教材第一課時(shí)的內(nèi)容包括關(guān)于“所測物品數(shù)目”與“保證能找出次品至少需要稱的次數(shù)”之間的關(guān)系以及探究規(guī)律（如圖3），無形當(dāng)中會讓教師難以取舍：都取會使課堂超負(fù)荷，舍會讓學(xué)生學(xué)得不完整。對此，筆者認(rèn)為將探究規(guī)律放在第二課時(shí)會更好。

三、關(guān)聯(lián)視角構(gòu)體系——形成策略

找到了上述這些可突破的關(guān)鍵之處，對于找次品的教學(xué)，重新設(shè)計(jì)就有了策略——由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，讓學(xué)生在比較、猜想、驗(yàn)證的活動中逐步感悟“三分法”的價(jià)值，并總結(jié)提煉出找次品的一般方法。

1.巧用素材，分層推進(jìn)

情境的延續(xù)性可以更好地喚起學(xué)生的舊知，激發(fā)他們用所學(xué)知識解決新問題的需求。為此，筆者對例題做了改進(jìn)和優(yōu)化，整節(jié)課均以在木糖醇中找次品為情境，研究數(shù)量按照“3—4—9—其他”路徑推進(jìn)（見表2），精心選取數(shù)據(jù)，明確選擇每一個(gè)數(shù)據(jù)的意圖，堅(jiān)持從直觀到抽象的探究之路，并將“三分法”一以貫之，從而實(shí)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)地教、有關(guān)聯(lián)地學(xué)。

在本課核心環(huán)節(jié)中，筆者先放手讓學(xué)生在9瓶木糖醇中找次品，探索出四種稱法，即9（1，1，7）、9（2，2，5）、9（3，3，3）、9（4，4，1）。接著引導(dǎo)學(xué)生對比四種稱法，結(jié)合前面在3瓶木糖醇中找次品的經(jīng)驗(yàn)，討論“為什么平均分成3份稱的次數(shù)最少”這一核心問題，但不急于揭曉“三分法”的本質(zhì)內(nèi)涵，而是引導(dǎo)學(xué)生用更大的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證：“是不是任何數(shù)量都是平均分成3份稱的次數(shù)最少呢？”最終順?biāo)浦墼俅畏攀肿寣W(xué)生自主選擇瓶數(shù)加以驗(yàn)證。學(xué)生選的瓶數(shù)有能平均分成3份的，也有不能平均分的。在對比多組材料后，學(xué)生討論總結(jié)出找次品的最優(yōu)策略，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。物品數(shù)從3的二次方到不是3的次方數(shù)，從特殊到一般，引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)探究欲望，激活了學(xué)生的深度思維，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

回顧鏡頭一、二中的教學(xué)場景，筆者認(rèn)為學(xué)生之所以出現(xiàn)認(rèn)知偏差，是學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)太少。學(xué)生僅僅研究了3個(gè)、5個(gè)、8個(gè)物品，教師就馬上組織討論，試圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律，卻忽視了此時(shí)的學(xué)生還沒能真正體會“三分法”的內(nèi)涵，而且3個(gè)、5個(gè)、8個(gè)這些數(shù)量較小，不足以發(fā)現(xiàn)“三分法”的內(nèi)涵，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知偏差。

2.提供支架，助力探究

邏輯推理是貫穿本節(jié)課始終的重要思想方法。在找次品過程中，前后步驟之間緊密相關(guān)，表述冗長且煩瑣，那么，要怎樣清晰、有條理地表示出邏輯推理過程？筆者提供了以下3個(gè)支架。

【支架1】小正方體

為避免學(xué)生形成思維定式，同時(shí)借助多元表征探索解決問題的策略，筆者讓學(xué)生借助小正方體模擬找次品的過程，滿足不同學(xué)生的思維需求，引導(dǎo)學(xué)生把操作與思維聯(lián)系起來。

【支架2】記錄表

在借助操作的基礎(chǔ)上，教師需要提供給學(xué)生一塊生長的基石，這樣才能讓學(xué)生找次品的經(jīng)驗(yàn)真正生長。學(xué)生通過記錄表的方式，從初級思維（見表3）躍升到高層次思維（見表4）。筆者尊重學(xué)生的個(gè)體差異，讓學(xué)生自己嘗試用直觀圖、流程圖、文字或符號表示推理過程，讓數(shù)學(xué)思維可視化。另外，通過集體交流，統(tǒng)一符號記錄方式，使不同層次的學(xué)生以符號語言為依托，為研究更為復(fù)雜的找次品問題提供了保證。

【支架3】簡易天平

學(xué)生在完成“想—做—寫—說”的合作探究后，開展匯報(bào)交流環(huán)節(jié)。為強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維過程的表達(dá)，筆者給學(xué)生提供了簡易天平的教具（如圖4）。

3.對比聯(lián)結(jié)，厘清本質(zhì)

無論待測物品能平均分成3份還是不能平均分成3份，找次品的內(nèi)在規(guī)律是一樣的。為了讓學(xué)生深入理解“為什么盡量平均分成3份，稱的次數(shù)最少”，筆者讓學(xué)生先自主操作，再組織多次對比，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“比較—猜測—驗(yàn)證”的探究過程。如在16個(gè)物品中找次品，分成（8，8）與分成（5，5，6）對比，分成（5，5，6）與分成（1，1，14）或其他三份對比，學(xué)生的思維在一次次對比中相互碰撞，消除了生活原型對數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的干擾。最終，學(xué)生在沖突中逐漸明白“最大限度排除，讓次品所在的范圍最小，稱的次數(shù)就最少”，從分率上幫助學(xué)生

知識是長出來的，知識生長的過程是方法的習(xí)得、思維的培養(yǎng)、學(xué)科素養(yǎng)的落地生根。知識的生長必須借助教師對學(xué)情的把握和對教材的創(chuàng)造性使用。為未知而教，為未來而學(xué)。找次品教學(xué)如此，其他亦如此。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 斯苗兒.好課多磨[M].北京：人民教育出版社，2021.

[3] 吳亞萍.中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課型研究[M].福州：福建教育出版社，2014.