一道拋物線檢測題的解法與推廣探究

湖南省長沙市南雅中學 (410027) 朱 彬

1 試題呈現(xiàn)

2 試題解答

首先來看第(1)小題的解法.

分析：求曲線標準方程的基本方法是待定系數(shù)法,依據(jù)l1的斜率設出l1的點斜式方程,與E的方程聯(lián)立,消去x后得到關于y的一元二次方程,利用弦長公式得到關于參數(shù)p的等式,求解得到p的值,從而得到E的標準方程.

本小題考查待定系數(shù)法求拋物線的標準方程和直線與拋物線的位置關系,熟練運用弦長公式是求解的關鍵.下面重點來研究第(2)小題的解法.

分析：該小題是圓錐曲線的重點題型——定線問題.定線問題是指無論動點如何變化,始終在某條定直線上,問題的本質就是求動點的軌跡(方程).

因為點(-2,0)在拋物線E的對稱軸上,所以由拋物線的對稱性可知,直線AD與直線BC的交點G必定在垂直與x軸的直線上,因此要證明點G必在定直線上,只要證明點G的橫坐標為定值.這樣,分別設出A、B、C、D的坐標,表示直線AD與BC的方程后聯(lián)立,得到用A、B、C、D的坐標表示的點G的橫坐標,而整體消去與A、B、C、D坐標有關的部分成為解題的關鍵.因此,需要首先從直線AB和直線CD的方程著手尋找聯(lián)系.

思路1 先根據(jù)A、B在E上,設出兩點的坐標,利用點差法求得斜率式子,表示出直線AB的方程后,將點(-2,0)代入,從而得到A、B兩點縱坐標關系;同理得到C、D兩點縱坐標關系,進而利用這些關系證得點G的橫坐標為定值.這一思路的程序是:設點——表示直線方程——代點(-2,0)——縱坐標關系——結論證明.

思路2 根據(jù)直線AB過點(-2,0),設出點斜式方程,與拋物線方程聯(lián)立,消元轉化,設出點A、B兩點縱坐標,由韋達定理得到縱坐標關系,利用點差法求得斜率式子,表示出直線AB的方程后,將點(-2,0)代入,從而得到A、B兩點縱坐標關系;同理得到C、D兩點縱坐標關系,進而利用這些關系證得點G的橫坐標為定值. 這一思路的程序是:設直線點斜式方程——聯(lián)立方程組——利用韋達定理——縱坐標關系——結論證明.

解法2:因為直線AB過點(-2,0),所以設AB的方程為y=k1(x+2),聯(lián)立方程組

以下同解法1.

思路3 根據(jù)直線AB過點(-2,0),設出橫斜截式方程,后面的過程同思路2.

以下同解法1.

點評：解法1是先設點,得到直線方程后將點(-2,0)代入,而解法2和解法3則是直接利用點(-2,0)設出直線的方程,不同之處在于解法2設出直線的點斜式方程,而解法3是設出直線的橫截距式方程.設而不求和整體思想則是解決該小題的主要方法和手段.

3 試題變式

探究1 試題中的拋物線E:y2=4x開口向右,點(-2,0)是對稱軸上位于y軸左側的一個已知點,那么,對應于拋物線E另外三種開口方向和已知點的相應位置,是否也有類同于第(2)小題的結論呢?于是有以下三個變式題.

變式1 已知拋物線E:y2=-4x,過點(2,0)的兩條直線l2,l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點,則點G必在定直線上. (答:定直線為x=-2)

變式2已知拋物線E:x2=4y,過點(0,-2)的兩條直線l1,l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點,則點G必在定直線上. (答:定直線為y=2)

變式3 已知拋物線E:y2=-4y,過點(0,2)的兩條直線l1,l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點,則點G必在定直線上. (答:定直線為y=-2)

4 結論推廣

探究2 我們根據(jù)試題中拋物線方程x的的系數(shù)和已知點橫坐標的關系,能否將試題結論推廣為一般情形?于是有了下面的結論1.

結論1 已知拋物線E:y2=2px(p>0),過點(-p,0)的兩條直線l1,l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點,則點G必在定直線x=p上.

結論1的證明可按試題的解法過程來完成,這里從略;若變換拋物線的開口方向和已知點的坐標,可得到另外三個類同結論,這里也從略.

探究3 若將結論1中拋物線E的方程不變,將點(-p,0)變?yōu)楦话闱樾?能否得到類同的結論?于是有下面的結論2.

結論2已知拋物線E:y2=2px(p>0),過點(-m,0)(m>0)的兩條直線l1,l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點,則點G必在定直線x=m上.

若變換拋物線的開口方向和已知點的坐標,可得到另外類同的三個結論,這里從略.