一道三角最值問(wèn)題的多解及拓展

廣東省佛山市羅定邦中學(xué) (528300) 范光玉

解三角形問(wèn)題的常用解題思路是利用正余弦定理,實(shí)現(xiàn)邊角的互化后進(jìn)行求解;其次三角形作為平面圖形,其自身具有豐富的幾何性質(zhì),我們還可通過(guò)幾何的視角來(lái)進(jìn)行求解.本文對(duì)2022年新課標(biāo)Ⅰ卷第18題的多解進(jìn)行分析并將問(wèn)題拓展到一般結(jié)論.

一、題目呈現(xiàn)

本題的主題干較為簡(jiǎn)單,考察二倍角等三角恒等變換的相關(guān)公式獲得△ABC三個(gè)內(nèi)角間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上求解第(1)問(wèn)就較為簡(jiǎn)單;本題的難點(diǎn)主要集中在第(2)問(wèn),所求式考察了三個(gè)變量間的關(guān)系,觀察其結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)其為齊次式,我們可以通過(guò)構(gòu)造邊與邊之間的比例進(jìn)行消元;其次,也可通過(guò)邊化角后構(gòu)成比例關(guān)系進(jìn)行消元.

二、多解分析

對(duì)于第(2)問(wèn),主題干是關(guān)于角的關(guān)系,為此自然想到利用邊化角來(lái)進(jìn)行求解.

評(píng)注：上述解法將所有變量都用cosB來(lái)表示,實(shí)現(xiàn)了化簡(jiǎn)的目的,再利用基本不等式或利用“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)即可求解.

圖1

評(píng)注：本題的核心是發(fā)現(xiàn)三角形相似,從而獲得邊之間的關(guān)系,再利用勾股定理實(shí)現(xiàn)了消元,再利用齊次化的思想求解.

解法三：(利用幾何性質(zhì)及邊化角求解)

如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)A作BC延長(zhǎng)線的垂線,垂足為E.在解法二的基礎(chǔ)上可知在ΔAEC中,∠EAC=B,故可得AE=bcosB,CE=bsinB.在ΔAEB中,AE=csinB,CE+a=ccosB.結(jié)合正弦定理即得sin2C=cos2B,sin2A=cos22B成立,后續(xù)解法同解法一.

圖2

三、問(wèn)題拓展

通過(guò)對(duì)上述解答過(guò)程的分析,我們可將原問(wèn)題進(jìn)行拓展.

圖3