集合的概念及運算中的易錯點剖析

■何 敏

集合的概念與運算比較抽象,同學們初學很容易犯錯。下面對集合中的易錯點進行剖析,希望對同學們的學習有所幫助。

易錯點1：忽視集合元素的互異性與題設條件

例1若集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},A∩B={9},則a的 值 是( )。

A.-3,3,5 B.-3,5

C.3,5 D.-3

錯解：由A∩B={9},可得2a-1=9或a2=9,即a=±3或a=5。應選A。

剖析：上述解法忽視了集合元素的互異性和已知條件。

正解：由題意得a=±3或a=5。當a=3時,A={-4,5,9},B={9,-2,-2},與集合中元素的互異性矛盾;當a=5時,A∩B={9,-4},與已知條件矛盾。所以a=-3,應選D。

提醒：解決含參數的集合問題時,不能忽視元素的互異性與題設條件,以免出現增解。

易錯點2：集合關系中忽略空集的討論

例2已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求實數m的取值范圍。

錯解：由題意得A={1,2}。由A∩B=B,可得B?A,所以1,2 是方程x2-mx+2=0的根,所以m=3。

剖析：上述解法認為集合B={x|x2-mx+2=0}中有兩個元素,忽略了B為空集和兩等根的情況。

正解：由B?A,可對集合B進行分類討論,即B=?,B={1}或B={2},B={1,2}。

提醒：解決有關A∩B=?,A∪B=?,A?B等問題時,容易忽視空集的情況而出現漏解,這就需要注意特殊情況下的探究。

易錯點3：忽視集合轉化的等價性

例3已知集合A={x|ax2+2x+1=0}為一元集,求a的值。

錯解：集合A為一元集,即方程ax2+2x+1=0有兩個等根,由Δ=4-4a=0,可得a=1。

剖析：上述解法認為所給方程為一元二次方程,忽視了對二次項系數的討論。

正解：當a≠0時,由Δ=4-4a=0,可得a=1;當a=0 時,可得,符合題意。故a=1或a=0。

提醒：在進行集合轉化時,要注意轉化的等價性,否則就會產生增解或漏解。

易錯點4：忽視補集思想的應用

例4設集合,3?P,那么實數a的取值范圍是_____。

錯解：初看本題,往往會感覺無從下手,不知道從其反面逆向思維,導致無法解決。

剖析：從反面入手,利用元素和集合之間的關系切入,構建不等式求解。

正解：由P= {x|ax+2＞a},可得?RP={x|ax+2≤a}。因為3?P,所以3∈?RP,所以3a+2≤a,所以a≤-1。故實數a的取值范圍是(-∞,-1]。

提醒：這種在正向思維受阻后改用逆向思維的思想,就是數學上的補集思想。