說(shuō)三道四話“空集”

裘家英 虞關(guān)壽

進(jìn)入高中學(xué)習(xí)，高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)內(nèi)容是集合，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，集合中“空集” 是較難理解的概念.在解決集合中有關(guān)問(wèn)題時(shí)，特別是求參數(shù)范圍時(shí)，常常由于少考慮到“空集”這個(gè)因素，使得問(wèn)題的求解變得不完整，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤.可以這樣說(shuō)這類(lèi)問(wèn)題的求解錯(cuò)誤都是“空集”惹的禍 .

鑒于此筆者想對(duì)“空集”進(jìn)行一番“說(shuō)三道四”，望能起到“拋磚引玉”之功效.

一、“說(shuō)三”：說(shuō)一說(shuō)空集概念的三個(gè)方面

一說(shuō)空集的定義

教材上空集的定義是這樣給的：我們把不含任何元素的集合叫做空集.按這個(gè)定義的意思，我們可以這樣去理解：空集不是無(wú)，它是客觀存在的，例如{x∈R|x2+x+1=0}是空集，{（x，y）|x2+y2<0}是空集，但它們的內(nèi)部沒(méi)有元素.這對(duì)我們初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).我們可將集合想象成一個(gè)裝有元素的袋子，袋子可能是空的，但袋子本身確實(shí)是存在的.這種想法或許對(duì)我們理解空集有所幫助.

二說(shuō)空集中的一個(gè)規(guī)定（性質(zhì)）

在教材中有這樣的一個(gè)規(guī)定：空集是任何集合的子集，即A，A為任一集合.按子集的定義，這個(gè)規(guī)定是說(shuō)集合 的每個(gè)元素都得屬于A.對(duì)這個(gè)規(guī)定的理解，可從反證的角度去解釋?zhuān)暨@個(gè)規(guī)定不真，那中至少有一個(gè)元素不在A中，由于中沒(méi)有元素，也就是沒(méi)有的元素不屬于A了，從而得到的每個(gè)元素都屬于A，即是A的子集.

三說(shuō)空集的符號(hào)

我們用一個(gè)特定的符號(hào)來(lái)表示空集，這可要區(qū)別于{}、{0}、{空集}等符號(hào).一般地，{}不是一個(gè)空集，它表示一個(gè)集合構(gòu)成的集合;{0}不是一個(gè)空集，它表示一個(gè)數(shù)0的集合;{空集}也不是一個(gè)空集，它表示一句話“空集”的集合.表示空集的形式可以是數(shù)集的形式，也可以是點(diǎn)集的形式，也可以其它形式的集合給出，但本質(zhì)都是空集.任何兩個(gè)以不同特點(diǎn)形式給出的空集應(yīng)認(rèn)為是相等的.例如{x∈R|x2+1<0}={（x，y）|x2+y2+1<0}=.

例1 你認(rèn)為下面兩個(gè)集合有可能相等嗎？若有可能請(qǐng)給出理由，并求實(shí)數(shù)a的值：

A={x|ax+1<0}， B={（x，y）|x2+y2<0}.

分析 集合A是以數(shù)集的形式給出，集合B是以點(diǎn)集的形式給出，一般情況下它們是不可能相等的，只當(dāng)這兩個(gè)都是空集的情況下才能相等.觀察到集合B是空集，所以當(dāng)A=時(shí)才成立.容易知道當(dāng)a=0時(shí)，A=B=.

例2 用符號(hào)“=、、”填空：

（1）{x|x+1=x-1}______{};

（2）{x∈R|x2+1=0}______

{（x，y）|x2+y2+2<0};

（3）______{};

（4）______{{1}，{2}，{1，2}，}.

解 （1）因?yàn)閧x|x+1=x-1}為空集，{}不是空集，所以應(yīng)填.

（2）因?yàn)閧x∈R|x2+1=0}是空集，{（x，y）|x2+y2+2<0}也是空集，所以應(yīng)填=.

（3）因?yàn)閧}不是空集，所以應(yīng)填.

（4）因?yàn)閧{1}，{2}，{1，2}，}不是空集，所以應(yīng)填.

注 若填上去的符號(hào)沒(méi)有限制，在第（3）、（4）題中，把看作一個(gè)元素，則還可以填符號(hào)∈.

二、“道四”：道一道在解決問(wèn)題時(shí)要考慮到“空集”這個(gè)因素的四個(gè)方面

1.在要你寫(xiě)出某個(gè)集合的子集或要你求出某個(gè)集合的子集個(gè)數(shù)時(shí)不要漏掉空集.

例3 （1）設(shè)集合A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，則滿足C（A∩B）的集合C的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

（2）設(shè)集合A={直線}，B={圓}，設(shè)C=A∩B，則集合C的子集個(gè)數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.4

解 （1）解方程組4x+y=6，

3x+2y=7x=1，

y=2.所以C=或C={（1，2）}.故選C.

（2） 因?yàn)锳∩B=，所以C=， 故選B.

2.當(dāng)碰到“AB”這個(gè)符號(hào)時(shí)，要考慮到A有可能是.

例4 已知集合A={0，1}，B={x|xA}，則下列關(guān)于集合A與B關(guān)系正確的是（ ）.

A.AB B.AB C.BA D.A∈B

解 因?yàn)閤A，所以B={，{0}，{1}，{0，1}}.則集合A={0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故選D.

3.當(dāng)碰到“A∪B=B”這個(gè)符號(hào)時(shí)，要考慮到A有可能是.

例5 設(shè)A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}.

（1）若a=15，試判定集合A與B的關(guān)系;

（2）若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.

解 （1）由x2-8x+15=0，得x=3或x=5，所以A={3，5}.當(dāng)a=15時(shí)，由ax-1=0，得x=5，所以B={5}，所以BA.

（2）因?yàn)锳={3，5}，又A∪B=A，所以分二種情況：①若B=，則方程ax-1=0無(wú)解，有a=0;②若B≠，則a≠0，由ax-1=0，得x=1a，所以1a=3或5，即a=13 或15.故C={0，13，15}.

4.當(dāng)碰到“A∩B=A”這個(gè)符號(hào)時(shí)，要考慮到A有可能是.

例6 已知A={x∈R|x2-2x-8<0}，B={x∈R|x2+2x-3>0}，集合C為C={x∈R|x2-3ax+2a2<0}.試求實(shí)數(shù)a的取值范圍使得（A∩B）∩C=C.

解 ∵A={x∈R|x2-2x-8<0}={x|-21}，

∴A∩B={x|1

∵（A∩B）∩C=C，

∴分二種情況：①若C=，∵集合C={x∈R|x2-3ax+2a2<0}={x|（x-a）（x-2a）<0}，

∴a=0;②若C≠，設(shè)f（x）=x2-3ax+2a2，

∵（A∩B）∩C=C，

∴C{x|1

∴可由二次函數(shù)圖象得：f（1）≥0，

f（4）≥0，即1-3a+2a2≥0，

16-12a+2a2≥0，

解得1≤a≤2.綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2或a=0.