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    K5;5; p 的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色(p ?2 028)

    2022-03-31 05:53:19閆瑞敏陳祥恩
    關(guān)鍵詞:斷言全色子集

    閆瑞敏 陳祥恩

    摘要: 圖 G 的 IE-全染色 f 是指對(duì)?u; v ∈ V(G) , 使得 f (u)? f (v)的一個(gè)一般全染色 , 其中 u; v 相鄰 , V(G)是圖 G 的頂點(diǎn)集.設(shè) f 是圖 G 的 IE-全染色 , 圖 G 的一個(gè)頂點(diǎn) x 在 f 下的色集合C(x)是指由x 及 x 的關(guān)聯(lián)邊的顏色所構(gòu)成的集合(非多重集).若圖 G 的任意兩個(gè)不同頂點(diǎn)的色集合不同 , 則 f 稱(chēng)為圖 G 的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色(簡(jiǎn)記為VDIETC).利用色集合事先分配法、構(gòu)造染色法及反證法探討了完全三部圖 K5;5;p (p ?2 028)的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色問(wèn)題 , 確定了 K5;5;p?? (p ?2 028)的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全色數(shù).

    關(guān)鍵詞:完全三部圖;? IE-全染色;? 點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色;? 點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全色數(shù)

    中圖分類(lèi)號(hào): O157.5??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼: A??? DOI: 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.003

    Vertex-distinguishing IE-total coloring of K5; 5; p?? (p ?2 028)

    YAN Ruimin,? CHEN Xiangen

    (College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou? 730070, China)

    Abstract: Let G? be a simple graph. A total coloring f? of G? is called an IE-total coloring if f (u)? f (v) for any two adjacent vertices u? and v , where V(G) denotes the set of vertices of G . For an IE-total coloring f? of G , the set of colors C(x) (non-multiple sets) of vertex x? under f? of G? is the set of colors of vertex x? and of the edges incident with x . If any two distinct vertices of G? have distinct color sets, then f? is called a vertex-distinguishing IE-total coloring of G . We explore the vertex distinguishing IE-total coloringof complete tripartite graphs K5;5;p (p ?2 028) through the use of multiple methods, including distributing the color sets in advance, constructing the colorings, and contradiction. The vertex-distinguishing IE-total chromatic number of K5;5;p (p ?2 028) is determined.

    Keywords: complete tripartite graph;?? IE-total coloring;?? vertex-distinguishing IE-total coloring;?? vertex- distinguishing IE-total chromatic number

    0? 引言

    點(diǎn)可區(qū)別一般邊染色在文獻(xiàn)[1-6]中均有研究 .近年來(lái) , 點(diǎn)可區(qū)別的未必正常的全染色也被研究. 在文獻(xiàn)[7]中提出了點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色. 文獻(xiàn)[8]對(duì)點(diǎn)可區(qū)別一般全染色進(jìn)行了討論 , 文獻(xiàn) [9-11]對(duì)圖的優(yōu)美性、線性代數(shù)理論以及圖和星的合成的點(diǎn)可區(qū)別正常邊染色給出了相關(guān)結(jié)果.文獻(xiàn)[12]研究了完全三部圖 K2;n;p?? (2? n ?5)的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色和一般全染色 , 并確定了它們的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全色數(shù)和一般全色數(shù).

    圖G 的 IE-全染色f 是指對(duì)圖G 的任意2個(gè)相鄰頂點(diǎn)u; v , 使得f (u)? f (v)的一個(gè)一般全染色;圖G 的 k-IE-全染色是指使用了k 種顏色的圖G 的 IE-全染色;圖G 的 k-點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色是指使用了 k 種顏色的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色(簡(jiǎn)記為k-VDIETC).點(diǎn)可區(qū)別是指圖G 中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)的色集合不同. 圖G 的 IE-全色數(shù)是指對(duì)圖G 進(jìn)行 IE-全染色所需要的最少顏色數(shù);圖G的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全色數(shù)是指對(duì)圖G進(jìn)行點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色所需要的最少顏色數(shù) , 記為vt(ie)(G).

    本文研究 K5;5;p 的點(diǎn)可區(qū)別的 IE-全染色 , 并給出了它們的點(diǎn)可區(qū)別 IE-全色數(shù). 文中述及的完全三部圖 Km;n;p 的頂點(diǎn)集合為 V = X ∪ Y ∪ Z , 其中 X ={x1; x2; ·· ·; xm}; Y ={y1; y2; ·· ·; yn}; Z ={z1; z2; ·· ·; zp} , 邊集合為{xiyj |i =1;2;· ·· ; m; j =1;2;· ·· ; n}∪ {yjzt|j =1;2;· ·· ; n; t =1;2;· ·· ; p}∪{xizt |i =1;2;· ·· ; m; t =1;2;· ·· ; p}.FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

    本文約定:當(dāng)考慮圖 G 的 l-VDIETC 時(shí) , 用 C(x)表示點(diǎn) x 的色集合在全體顏色構(gòu)成的集合 {1;2;· ·· ; l}中的補(bǔ)集 , 即 C(x)= {1;2;· ·· ; l}\C(x). {1;2;· ·· ; l}的含有i 個(gè)元素的子集叫i -子集.

    1? 準(zhǔn)備工作

    引理1當(dāng) k ?14且p >? (k i 1)? 10時(shí) , K5;5;p 不存在(k ?1)-VDIETC.

    證明用反證法. 假設(shè) K5;5;p 存在(k?1)-VDIETC, 設(shè)為 g.

    斷言1? ?a ∈{1;2;· ·· ; k ?1} , {a}不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè)a =1 且C(x1)= {1} , 則 Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1, 故p ? ∑(k i2) , 與p >∑ (k i 1)?10矛盾.

    斷言2? 任意2 -子集均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè)C(x1)= {1;2}且g(x1)= 1. 此時(shí) Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1 或2.在{1;2;· ·· ; k ?1}中, 含1 不含2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 (k i3);含 2不含1 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (k i3);同時(shí)含1 和2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (k i3) , 故p ? ∑(k i3)+∑(k i3)+∑ (k i3) , 這與p >∑ (k i 1)? 10矛盾.

    斷言3? 任意3-子集均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè) C(x1)= {1;2;3}且 g(x1)= 1. 此時(shí) Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1, 2或 3.在 {1;2;· ·· ;k ?1}中 , 含1 不含2 和3 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 (k i4);含 2不含1 和3 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (k i4);含 3不含1 和2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (k i4);含1 和2但不含3 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 (k i4);含 1和 3但不含2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (k i4);含 2和 3但不含1 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (k i4);同時(shí)含1,2,3, 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 , 故,矛盾.

    (1)當(dāng) {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}里互不相同的顏色至少有 3種時(shí) , 不妨設(shè) {1;2;3}? {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5} , 那么{1}; {2}; {3}; {1;2}; {1;3};{2;3};{1;2;3}均不能作為 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 由斷言1—3可知 , {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}也均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合 ,? C(xi)? {1;2;3} ,? C(yj)? {1;2;3} , i; j =1;2;3;4;5 , 且 C(xi)和 C(yj)(i; j =1;2;3;4;5)中最多有6 個(gè)集合屬于{{1}; {2}; {3}; {1;2}; {1;3}; {2;3}}. 因此 , 這10個(gè)集合中至少還有4 個(gè)集合均不屬于{{1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}} , 不妨設(shè)為 C(x1) , C(y1) , C(y2) ,C(y3) , 其中至少有1 個(gè)是? , 不妨設(shè) C(x1)= ? , C(yj)? ?; j =1;2;3 .

    當(dāng) |C(y1)|? 11 , |C(y2)|? 11 , |C(y3)|? 11時(shí) , {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3} ,? C(y1) ,C(y2) , C(y3)均不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 故p ? ∑(k i 1)? 10 , 與p >∑ (k i 1)? 10矛盾.

    當(dāng) |C(y1)|? 11 , |C(y2)|? 11 , |C(y3)|? 12時(shí) , {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3} ,? C(y1) ,C(y2)及? C(y3)的 1-子集 , 2 -子集 , · ·· ;? 11-子集均不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 故p ? ∑(k i 1)? 9? ∑(1i2)= ∑(k i 1)? 4103 , 與p >∑ (k i 1)? 10矛盾.

    當(dāng)|C(y1)|? 11 , |C(y2)|? 12 , |C(y3)|? 12時(shí) , {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3} ,? C(y1)及 C(yj) ,? j =2;3 , 的 1-子集 , 2 -子集 , · ·· ;? 11-子集均不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 故p ? ∑(k i 1)? 8? 2∑ (1i2)= ∑(k i 1)? 8196 , 與p >∑ (k i 1)? 10矛盾.

    當(dāng)|C(y1)|? 12 , |C(y2)|? 12 , |C(y3)|? 12時(shí) , C(yj) (j =1;2;3 )的 1-子集 , 2-子集 , ·· ·; 11-子集均不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 故p ? ∑(k i 1)? 3∑ (1i2)= ∑(k i 1)? 12282 , 與p >∑ (k i 1)? 10矛盾.FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

    (2)當(dāng) {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}里互不相同的顏色僅有2 種時(shí) , 設(shè) g(xi)= 1; g(yj)= 2(i; j =1;2;3;4;5).

    斷言4? 在(2)下, {1};{2};{1;2}均不能作為 Z 中任一點(diǎn)的色集合.

    斷言5? 在(2)下, {3};{4};{5};· ·· ;{k ?1}中至少有2 個(gè)集合不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 至多有1 個(gè)集合不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合, 不妨設(shè){4};{5};· ·· ;{k ?1}均是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 則 C(xi)∩ C(yj)? {4;5;· ·· ; k ?1}; i; j =1;2;3;4;5 , 此時(shí) C(xi); C(yj); i; j =1;2;3;4;5 , 這10個(gè)集合只能被分配{1;4;5;· ·· ; k ?1};{2;4;5;· ·· ; k ?1};{1;2;4;5;· ·· ; k ?1};{1;3;4;5;· ·· ; k ?1};{2;3;4;5;· ·· ; k ?1};{1;2;3;4;5;· ·· ; k ?1}這 6個(gè)集合 , 不能區(qū)分xi; yj(i; j =1;2;3;4;5)這 10個(gè)頂點(diǎn) , 矛盾.

    由斷言5, 不妨設(shè){3};{4}不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 由斷言1、2、4可知 , {1};{2};{3};{4};{1;2}均不是任一點(diǎn)的色集合.下面考慮 C(xi) , C(yj) , i; j =1;2;3;4;5 , 這10個(gè)集合互不相同 , 且其中至少有 5個(gè)集合不屬于{?;{1};{2};{3};{4}} , 不妨設(shè) C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)都不屬于{?;{1};{2};{3};{4}}. C(x1)不含1, 且不是 X 中任一點(diǎn)的色集合 , C(yj); j =1;2;3;4 , 不含2, 且不是 Y 中任一點(diǎn)的色集合 .由于相鄰2 點(diǎn)的色集合之交非空 , 故 C(x1)不是 Y ∪ Z 中任一點(diǎn)的色集合 ,? C(yj); j =1;2;3;4 , 不是 X ∪ Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 則 C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)均不是任一點(diǎn)的色集合. 因此{(lán)1};{2};{3};{4};{1;2} , C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)這 10個(gè)集合互不相同 , 且均不是任一點(diǎn)的色集合, 故p ?? (k i 1)? 10 , 矛盾.

    引理2? 當(dāng)k ?14且 ∑(k i 1)? 10< p ? ∑(i(k))? 10時(shí) , K5;5;p 存在 k -VDIETC.

    證明為了給出 K5;5;p 的 k-IE-全染色 , 先對(duì) K5;5;p 的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng) {1;2;· ·· ; k}的一個(gè)子集 ,令 D(x1)= {1;2;· ·· ; k}; D(x2)=D(x1)\ {2}; D(x3)=D(x1)\ {3}; D(x4)= D(x1)\ {4}; D(x5)=D(x1)\{5}; D(y1)=D(x1)\{1}; D(y2)=D(x1)\{6} , D(y3)= D(x1)\ {7} , D(y4)=D(x1)\ {8} , D(y5)= D(x1)\{9} , D(zi)= {i +9} , i=1;2;· ·· ; k ?9 , D(zk? 8)= {1;10} , D(zk? 7)= {2;10} , D(zk? 6)= {3;10} , D(zk? 5)= {4;10} , D(zk? 4)= {5;10} , D(zk? 3)= {6;10} , D(zk? 2)= {7;10} , D(zk? 1)= {8;10} , D(zk)= {9;10}.

    將除{1;2};{1;10}; {2;10}; {3;10}; {4;10}; {5;10}; {6;10}; {7;10}; {8;10}; {9;10}外的{1;2;· ·· ;k}的 2-子集 , 3-子集 , ·· ·; 11-子集排成一個(gè)序列 1. 令 D(zk+1) , D(zk+2) , ·· ·;? D(zp)依次是 1中的第1;2;· ·· ; p ? k 項(xiàng). 這一點(diǎn)是可以做到的 , 因?yàn)?中含有()+()+· ·· +() ?10項(xiàng) , 而p ? k ?( )+()+· ·· +() ?10 , 即p ?? (i(k))? 10.

    下面給出 K5;5;p 的k -IE-全染色 g .令g(xi)= 1; g(yj)= 2(i; j =1;2;3;4;5). 用max{D(zi)}染點(diǎn) zi ,i =1;2;· ·· ; p .

    當(dāng)|D(zi)|= 2時(shí) , g(uzi)= min{D(u)∩ D(zi)} , u ∈ X ∪ Y , i =1;2;· ·· ; p .

    當(dāng)|D(zi)|= 3時(shí) , g(uzi)= min{D(u)∩ D(zi)} , u ∈{x2; x3; x4; x5; yj} , g(x1zi)= min{D(x1)∩D(zi)\{g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .

    當(dāng)|D(zi)|= 4時(shí) , g(uzi)= min{D(u)∩ D(zi)} , u ∈{x3; x4; x5; yj} , g(x2zi)= min{D(x2)∩ D(zi)\{g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)? =g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

    當(dāng)|D(zi)|=5時(shí) , g(uzi)= min{D(u)∩ D(zi)} ,min{D(x1)∩D(zi)\{g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi);u ∈{x4; x5; yj} , g(x3zi)= min{D(x3)∩ D(zi)\ {g(x4zi);g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x2zi)= j(i)n{D(x2)∩ D(zi)\{g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)= j(i)n{D(x1)∩ D(zi)\ {g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .

    當(dāng)|D(zi)|=6 時(shí) , g(uzi)=? min{D(u)∩ D(zi)} ,g(yjzi)}} , g(x3zi) = j(i)n{D(x3)∩ D(zi)\ {g(x4zi);u ∈{x5; yj} , g(x4zi)= min{D(x4)∩ D(zi)\ {g(x5zi);g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x2zi) = min{D (x2)∩ D(zi)\{g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)= j(i)n{D(x1)∩ D(zi)\ {g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .

    當(dāng)|D(zi)|=7 時(shí) , g(uzi)=? min{D(u)∩ D(zi)} , u ∈{y1; y2; y3; y4; y5} , g(x5zi)= min{D(x5)∩ D(zi)\{g(yjzi)}} , g(x4zi)= j(i)n{D(x4)∩D(zi)\{g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x3zi)= j(i)n{D(x3)∩D(zi)\{g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x2zi)=? j(i)n{D(x2)∩ D(zi)\{g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)=? j(i)n{D(x1)∩D(zi)\{g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .

    當(dāng)|D(zi)|=8時(shí) , g(uzi)=min{D(u)∩D(zi)} , u ∈{y2; y3; y4; y5} , g(y1zi)=min{D(y1)∩ D(zi)\{g(y2zi);g(y3zi); g(y4zi); g(y5zi)}} , g(x5zi)= j(i)n{D(x5)∩D(zi)\{g(yjzi)}} , g(x4zi)= j(i)n{D(x4)∩D(zi)\{g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x3zi)= j(i)n{D(x3)∩D(zi)\{g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x2zi)= j(i)n{D(x2)∩D(zi)\{g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)=? j(i)n{D(x1)∩D(zi)\{g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .

    當(dāng)|D(zi)|=9時(shí) , g(uzi)=min{D(u)∩ D(zi)} , u ∈{y3; y4; y5} , g(y2zi)= min{D(y2)∩ D(zi)\ {g(y3zi);g(y4zi); g(y5zi)}} , D(zi)\{g(yjzi)}} , g(x5zi); g(yjzi)}} ,g(y1zi)= min{D(y1)∩D(zi)\{g(y2zi); g(y3zi); g(y4zi); g(y5zi)}} , g(x5zi)= min{D(x5)∩g(x4zi)= min{D(x4)∩D(zi)\{g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x3zi)=min{D(x3)∩D(zi)\{g(x4zi);g(x2zi)= min{D(x2)∩D(zi)\{g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)= min{D(x1)∩D(zi)\ {g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .

    當(dāng)|D(zi)|=10時(shí) , g(uzi)= min{D(u)∩ D(zi)} , u ∈{y4; y5} , g(y3zi)= min{D(y3)∩ D(zi)\ {g(y4zi);g(y5zi)}} , g(y2zi)= ?????? i(mi)n{D(y2)∩D(zi)\{g(y3zi); g(y4zi); g(y5zi)}} , g(y1zi)=????? i(mi)n{D(y1)∩D(zi)\{g(y2zi);g(y3zi); g(y4zi); g(y5zi)}} , g(x5zi)= j(i)n{D(x5)∩D(zi)\{g(yjzi)}} , g(x4zi)= j(i)n{D(x4)∩D(zi)\{g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x3zi)= j(i)n{D(x3)∩D(zi)\{g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x2zi)= j(i)n{D(x2)∩D(zi)\{g(x3zi);g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)= j(i)n{D(x1)∩ D(zi)\{g(x2zi); g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

    當(dāng)|D(zi)|=11時(shí) , g(y5zi)= min{D(y5)∩ D(zi)} , g(y4zi)= min{D(y4)∩D(zi)\ {g(y5zi)}} , g(y3zi)=min{D(y3)∩D(zi)\{g(y4zi); g(y5zi)}} , g(y2zi)= min{D(y2)∩D(zi)\{g(y3zi); g(y4zi); g(y5zi)}} , g(y1zi)=min{D(y1)∩D(zi)\{g(y2zi); g(y3zi); g(y4zi); g(y5zi)}} , g(x5zi)= min{D(x5)∩D(zi)\{g(yjzi)}} , g(x4zi)=min{D(x4)∩D(zi)\{g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x3zi)= min{D(x3)∩D(zi)\{g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x2zi)=min{D(x2)∩ D(zi)\ {g(x3zi); g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , g(x1zi)= min{D(x1)∩ D(zi)\ {g(x2zi); g(x3zi);g(x4zi); g(x5zi); g(yjzi)}} , i =1;2;· ·· ; p , j =1;2;3;4;5 .

    用min{D(x)∩ D(y)}染邊xy , ?x ∈ X;?y ∈ Y .

    最后得到 K5;5;p 的k -IE-全染色g 是點(diǎn)可區(qū)別的 , 因?yàn)?v ∈ V(K5;5;p) , K5;5;p 均有C(v)= D(v).

    2? 主要結(jié)果及其證明

    定理1

    證明分以下幾種情況進(jìn)行討論.

    情形1? 當(dāng)k ?14且 ∑(k i 1)? 10< p ? ∑(i(k))? 10時(shí)vt(ie)(K5;5;p)= k .

    由引理1、引理2 可得結(jié)論成立.

    情形2? 當(dāng)4 076? p ?8 167時(shí)vt(ie)(K5;5;p)= 13.

    第1 步 , 用反證法證明 K5;5;p 不存在12-VDIETC;第 2步具體構(gòu)造出13-VDIETC.假設(shè) K5;5;p 存在 12-VDIETC.

    斷言1? ?a ∈{1;2;· ·· ;12} , {a}不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè)a =1 且C(x1)= {1} , 則 Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1, 故p ?, 矛盾.

    斷言2任意2 -子集均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè) C(x1)= {1;2}且 g(x1)= 1. 此時(shí) Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1 或2.在 {1;2;· ·· ;12}中 , 含1 不含2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 (1i0);含 2不含1 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (1i0);同時(shí)含1 和2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ (1i0) , 故p ?2 ∑(1i0)+ (1i0)+ 1= 3069 , 矛盾.

    斷言3? 任意3 -子集均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè) C(x1)= {1;2;3}且 g(x1)= 1. 此時(shí) Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1,2或 3.在{1;2;· ·· ;12}中 , 含1 不含2,3且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 ();含 2不含1,3且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含 3不含1,2且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含 1,2不含3 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含 1,3不含2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含2,3不含1 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 ();同時(shí)含1,2,3且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ () , 故p ? ∑( )+ 5∑ () +∑ () =3 581 , 矛盾.

    (1)當(dāng){g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}里互不相同的顏色至少有3 種時(shí) , 不妨設(shè){1;2;3}? {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}. 那么 {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}均不能作為 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 由斷言1—3可知 , {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}也均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合, C(xi){1;2;3} , C(yj){1;2;3} , i; j =1;2;3;4;5 , 且其中至少有3 個(gè)集合不屬于{{1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};?} , 不妨設(shè)為 C(x1) , C(y1) , C(y2).

    1) C(x1)不是X 中任一點(diǎn)的色集合且 C(y1) , C(y2)不是 Y 中任一點(diǎn)的色集合, 則10+p ?? (1i2)?10 , 即p ?4 075 , 矛盾.

    2) C(x1)是 X 中點(diǎn)的色集合且 C(y1) , C(y2)不是 Y 中任一點(diǎn)的色集合 , 則{4};{5};· ·· ;{12}均不是任一點(diǎn)的色集合, 故10+p ?? (1i2)? 18 , 即p ?4 067 , 矛盾.

    3) C(x1)是 X 中點(diǎn)的色集合且 C(y1) , C(y2)中有1 個(gè)是 Y 中點(diǎn)的色集合 , 則{4};{5};· ·· ;{12}均不是任一點(diǎn)的色集合, 故10+p ?? (1i2)? 17 , 即p ?4 068 , 矛盾.

    4) C(x1) , C(y1) , C(y2)都是 X ∪ Y 中點(diǎn)的色集合 , 則{4};{5};· ·· ;{12}均不是任一點(diǎn)的色集合 ,故10+p ?? (1i2)? 16 , 即p ?4 069 , 矛盾.FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

    (2)當(dāng) {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}里互不相同的顏色僅有2 種時(shí) , 設(shè) g(xi)= 1; g(yj)= 2(i; j =1;2;3;4;5).

    斷言4? 在(2)下, {1};{2};{1;2}均不能作為 Z 中任一點(diǎn)的色集合.

    斷言5? 在(2)下, {3};{4};{5};· ·· ;{12}中至少有2 個(gè)集合不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 至多有1 個(gè)集合不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 不妨設(shè){4};{5};· ·· ;{12}均是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 則 C(xi)∩ C(yj)? {4;5;· ·· ;12}; i; j =1;2;3;4;5 , 此時(shí) C(xi); C(yj); i; j =1;2;3;4;5 , 這10個(gè)集合只能被分配{1;4;5;· ·· ;12}; {2;4;5;· ·· ;12}; {1;2;4;5;· ·· ;12}; {1;3;4;5;· ·· ;12};{2;3;4;5;· ·· ;12};{1;2;3;4;5;· ·· ;12}這 6個(gè)集合 , 不能區(qū)分xi; yj(i; j =1;2;3;4;5)這 10個(gè)頂點(diǎn) , 矛盾.

    由斷言5, 不妨設(shè){3};{4}不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 由斷言1、2、4可知{1};{2};{3};{4};{1;2}均不是任一點(diǎn)的色集合.下面考慮 C(xi) , C(yj) , i; j =1;2;3;4;5 , 這10個(gè)集合互不相同 , 且至少有5 個(gè)不屬于 {?;{1};{2};{3};{4}} , 不妨設(shè) C(x1) ,? C(y1) ,? C(y2) ,? C(y3) ,? C(y4)都不屬于{?;{1};{2};{3};{4}}. C(x1)不含1 且不是 X 中任一點(diǎn)的色集合 , C(yj); j =1;2;3;4 , 不含2, 不是 Y 中任一點(diǎn)的色集合 , 由于相鄰 2點(diǎn)的色集合之交非空 , 故 C(x1)不是 Y ∪ Z 中任一點(diǎn)的色集合 ,? C(yj); j =1;2;3;4 , 不是 X ∪ Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 則 C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)均不是任一點(diǎn)的色集合 , 因此{(lán)1};{2};{3};{4};{1;2} , C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)這 10個(gè)集合互不相同 , 且均不是任一點(diǎn)的色集合, 故10+p ?? (1i2)? 10 , 即p ?4 075 , 矛盾.

    下面給出 K5;5;8167的 13-VDIETC.令 D(x1)= {1;2;· ·· ;13}; D(x2)= D(x1)\ {2}; D(x3)= D(x1)\{3}; D(x4)= D(x1)\ {4}; D(x5)=D(x1)\ {5}; D(y1)= D(x1)\ {1}; D(y2)=D(x1)\ {6} , D(y3)= D(x1)\{7} , D(y4)= D(x1)\ {8}; D(y5)= D(x1)\ {9} , 將除 {1;2};{1};{2};{3};{4};{5};{6};{7};{8};{9}外的{1;2;· ·· ;13}的其余1 -子集 , 2-子集; ·· ·; 11-子集作為 Z 中點(diǎn)的色集合.據(jù)此可參照引理2 的證明過(guò)程中所述的染法給出 K5;5;8167的 13-VDIETC.當(dāng) 4076?p ?8 166時(shí) ,? K5;5;p 的13-VDIETC 可由? K5;5;8167的13-VDIETC 在 X ∪ Y ∪{z1; z2; ·· ·; zp}所導(dǎo)出的子圖上的限制給出.

    情形3? 當(dāng)2 028? p ?4 075時(shí) , vt(ie)(K5;5;p)= 12.

    先用反證法證明 K5;5;p 不存在11-VDIETC.假如 K5;5;p 存在11-VDIETC.

    斷言1? ?a ∈{1;2;· ·· ;11} , {a}不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè)a =1 且C(x1)= {1} , 則 Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1, 故p ? (1i0)= 1023 , 矛盾.

    斷言2? 任意2 -子集均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè) C(x1)= {1;2}且 g(x1)= 1. 此時(shí) Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1 或2.在 {1;2;· ·· ;11}中 , 含1 不含2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為( );含 2不含1 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();同時(shí)含 1和 2且最多含有 11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ () , 故p ?2 ∑( )+ () =1 534 , 矛盾.

    斷言3? 任意3 -子集均不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 不妨設(shè) C(x1)= {1;2;3}且 g(x1)= 1. 此時(shí) Z 中每個(gè)點(diǎn)的色集合必含1,2或 3.在 {1;2;· ·· ;11}中 , 含1 不含2,3且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 ();含 2不含1,3且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含 3不含1,2且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含 1,2不含3 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含 1,3不含2 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ ();含2,3不含1 且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 ();同時(shí)含1,2,3且最多含有11個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為∑ () , 故p ?2 ∑( )+ 5∑ () =1 790 , 矛盾.FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

    (1)當(dāng) {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}里互不相同的顏色至少有 3種時(shí) , 不妨設(shè){1;2;3}? {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}. 那么 {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}均不能作為 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 由斷言1—3可知 , {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}也均不是X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合, C(xi)? {1;2;3} , C(yj)? {1;2;3} , i; j =1;2;3;4;5 , 且至少有3 個(gè)不屬于{{1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};?}. 不妨設(shè)為 C(x1) , C(y1) , C(y2).

    1)當(dāng)? C(x1) ,? C(y1) ,? C(y2)都不是 X ∪ Y 中任一點(diǎn)的色集合時(shí) , 有10+p ?? (1i1)? 10 , 即p ?2 027 , 矛盾.

    2)當(dāng) C(x1) , C(y1) , C(y2)中只有1 個(gè)是 X ∪ Y 中點(diǎn)的色集合時(shí) , 此時(shí){4};{5};· ·· ;{11}均不是任一點(diǎn)的色集合, 故10+p ?? (1i1)? 17 , 即p ?2 020 , 矛盾.

    3)當(dāng) C(x1) , C(y1) , C(y2)中只有2 個(gè)是 X ∪ Y 中點(diǎn)的色集合時(shí) , 此時(shí){4};{5};· ·· ;{11}均不是任一點(diǎn)的色集合, 故10+p ?? (1i1)? 16 , 即p ?2 021 , 矛盾.

    4)當(dāng) C(x1) , C(y1) , C(y2)都是 X ∪ Y 中點(diǎn)的色集合時(shí) , 此時(shí){4};{5};· ·· ;{11}均不是任一點(diǎn)的色集合, 故10+p ?? (1i1)? 15 , 即p ?2 022 , 矛盾.

    (2)當(dāng) {g(xi)|i =1;2;3;4;5}∪ {g(yj)|j =1;2;3;4;5}里互不相同的顏色僅有2 種時(shí) , 設(shè) g(xi)= 1; g(yj)= 2(i; j =1;2;3;4;5).

    斷言4? 在(2)下, {1};{2};{1;2}均不能作為 Z 中任一點(diǎn)的色集合.

    斷言5? 在(2)下, {3};{4};{5};· ·· ;{11}中至少有2 個(gè)集合不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合.

    否則 , 至多有1 個(gè)集合不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合, 不妨設(shè){4};{5};· ·· ;{11}均是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 則 C(xi)∩ C(yj)? {4;5;· ·· ;11}; i; j =1;2;3;4;5 , 此時(shí) C(xi); C(yj); i; j =1;2;3;4;5 , 這10個(gè)集合只能被分配{1;4;5;· ·· ;11}; {2;4;5;· ·· ;11}; {1;2;4;5;· ·· ;11}; {1;3;4;5;· ·· ;11};{2;3;4;5;· ·· ;11};{1;2;3;4;5;· ·· ;11}這 6個(gè)集合 , 不能區(qū)分xi; yj(i; j =1;2;3;4;5)這 10個(gè)頂點(diǎn) , 矛盾.

    由斷言5, 不妨設(shè){3};{4}不是 Z 中任一點(diǎn)的色集合 , 由斷言1、2、4可知{1};{2};{3};{4};{1;2}均不是任一點(diǎn)的色集合.下面考慮 C(xi) , C(yj) , i; j =1;2;3;4;5 , 這10個(gè)集合互不相同 , 且至少有5 個(gè)不屬于{?;{1};{2};{3};{4}} , 不妨設(shè) C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)都不屬于{?;{1};{2};{3};{4}}. C(x1)不含1, 不是 X 中任一點(diǎn)的色集合, C(yj); j =1;2;3;4 , 不含2, 不是 Y 中任一點(diǎn)的色集合.由于相鄰2 點(diǎn)的色集合之交非空 , 故 C(x1)不是 Y ∪ Z 中任一點(diǎn)的色集合 , C(yj); j =1;2;3;4 , 不是 X ∪ Z 中任一點(diǎn)的色集合, 則 C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)均不是任一點(diǎn)的色集合, 因此{(lán)1};{2};{3};{4};{1;2} , C(x1) , C(y1) , C(y2) , C(y3) , C(y4)這 10個(gè)集合互不相同 , 且均不是任一點(diǎn)的色集合, 故10+p ?? (1i1)? 10 , 即p ?2 027 , 矛盾.

    下面給出 K5;5;4075的 12-VDIETC.令 D(x1)= {1;2;· ·· ;12}; D(x2)= D(x1)\ {2}; D(x3)= D(x1)\{3}; D(x4)= D(x1)\ {4}; D(x5)=D(x1)\ {5}; D(y1)= D(x1)\ {1}; D(y2)= D(x1)\ {6} , D(y3)=D(x1)\{7} , D(y4)=D(x1)\{8}; D(y5)= D(x1)\{9} , 將除{1;2};{1};{2};{3};{4};{5};{6};{7};{8};{9}外的{1;2;· ·· ;12}的其余1 -子集 , 2-子集 , ·· ·; 11-子集作為 Z 中任一點(diǎn)的色集合. 據(jù)此可參照引理2 的證明過(guò)程中所述的染法給出 K5;5;4075的 12-VDIETC.當(dāng) 2028?p ?4 074時(shí) , K5;5;p 的12-VDIETC 可由 K5;5;4075的 12-VDIETC 在 X ∪ Y ∪{z1; z2; ·· ·; zp}所導(dǎo)出的子圖上的限制給出. 證畢.FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

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    (責(zé)任編輯:陳麗貞)FCD86179-7F39-4C2E-AD6D-ACE81DE4BD3A

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