小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化：內(nèi)在機(jī)理、教育價(jià)值及實(shí)踐指要

林俊

結(jié)構(gòu)化雖然不是一個(gè)新名詞，但是隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的頒布，引起了大家的高度關(guān)注，這確是前所未有的。那么，什么是結(jié)構(gòu)化？為什么要對(duì)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合？小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合？本文將圍繞這些問(wèn)題展開(kāi)。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的內(nèi)在機(jī)理

（一）結(jié)構(gòu)化的內(nèi)涵特征

結(jié)構(gòu)，是指事物自身各種要素之間的相互關(guān)聯(lián)和相互作用的方式，包括構(gòu)成事物要素的數(shù)量比例、排列次序、結(jié)合方式和因發(fā)展而引起的變化，這是事物的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)的屬性，是元素及關(guān)系的整體關(guān)聯(lián)，是具有能動(dòng)性功能的完整體系。結(jié)構(gòu)化即系統(tǒng)化，是結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過(guò)程，可以理解為作用于主體并促進(jìn)對(duì)事物的元素及關(guān)系的整體關(guān)聯(lián)而形成自主認(rèn)知建構(gòu)的過(guò)程。

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化即教師用系統(tǒng)論的方法，對(duì)教材相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化加工、重組、創(chuàng)生，通過(guò)確定結(jié)構(gòu)化目標(biāo)、安排結(jié)構(gòu)化內(nèi)容、提供結(jié)構(gòu)化素材、組織結(jié)構(gòu)化活動(dòng)、實(shí)施結(jié)構(gòu)化評(píng)價(jià)等途徑，形成整體關(guān)聯(lián)的理解設(shè)計(jì)，實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)心智轉(zhuǎn)換，從而把教材具有內(nèi)在邏輯的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生可以表征、理解、內(nèi)化、運(yùn)用的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化具有以下三個(gè)特征。

1.結(jié)構(gòu)化的自主性。皮亞杰認(rèn)為，人的認(rèn)知和學(xué)習(xí)不是單純地“復(fù)寫(xiě)”外部的事實(shí)，也不是簡(jiǎn)單地留下“痕跡”。學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程并不是對(duì)外界信息被動(dòng)復(fù)制，而是在有選擇的感知后，大腦對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行重組和轉(zhuǎn)換，以做出適合學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的深度加工。也就是說(shuō)，每個(gè)人認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立既具有自主性，又具有自洽性。因而，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成不是依靠教師的灌輸、說(shuō)教所能奏效的，必須要在教師設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)自主探索、小組合作、師生互動(dòng)，逐步建構(gòu)、內(nèi)化而成的。

2.結(jié)構(gòu)化的階段性。根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論，不同發(fā)展階段的學(xué)生具有不同的認(rèn)知形式和認(rèn)知模式。一方面，結(jié)構(gòu)化的程度呈現(xiàn)階段性。學(xué)生在不同學(xué)段結(jié)構(gòu)化程度是不相同的，一般會(huì)按照動(dòng)作表征、圖像表征、符號(hào)表征的進(jìn)階順序發(fā)展。另一方面，結(jié)構(gòu)化的范圍呈現(xiàn)階段性。比如，學(xué)生對(duì)于數(shù)位順序表的建構(gòu)，就是隨著學(xué)生認(rèn)數(shù)范圍擴(kuò)大和數(shù)域擴(kuò)展而不斷完善的。從認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)、100以內(nèi)的數(shù)到萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)，再到萬(wàn)以上的數(shù)，逐步形成整數(shù)的數(shù)位順序表；學(xué)習(xí)小數(shù)后，又把小數(shù)的數(shù)位順序表與整數(shù)的數(shù)位順序表鏈接，形成完整的數(shù)位順序表。

3.結(jié)構(gòu)化的差異性。學(xué)生一方面按照自己的認(rèn)知模式來(lái)把握外界事物，另一方面通過(guò)認(rèn)知活動(dòng)，也會(huì)使自己的認(rèn)知模式得到重新改造。學(xué)生習(xí)慣于從他們?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)去組織、接納、理解知識(shí)。這樣，不同學(xué)生會(huì)形成不同的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即各個(gè)概念和規(guī)則之間的聯(lián)系呈現(xiàn)不同的狀況。知識(shí)結(jié)構(gòu)的不同必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思考的角度、表征方式、理解程度、作業(yè)水平不同。在課堂教學(xué)中，教師要及時(shí)捕捉、了解不同水平學(xué)生的知識(shí)組織狀況，利用生成的差異性資源，助力學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)過(guò)程，促進(jìn)不同層次學(xué)生的發(fā)展。

（二）結(jié)構(gòu)化蘊(yùn)含的心理機(jī)制

教育心理學(xué)家十分強(qiáng)調(diào)要把新知識(shí)學(xué)習(xí)與原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)接，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。布魯納認(rèn)為：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以使許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來(lái)的方式去理解它。簡(jiǎn)單地說(shuō)，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！眾W蘇伯爾說(shuō)：“影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已有的內(nèi)容。弄清了這一點(diǎn)后，才能進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)?！笨梢?jiàn)，學(xué)習(xí)就是建立知識(shí)之間的聯(lián)系，掌握事物的結(jié)構(gòu)。那么，其中蘊(yùn)含的心理機(jī)制是什么呢？

認(rèn)知心理學(xué)指出，學(xué)習(xí)意味著對(duì)混沌凌亂的刺激進(jìn)行知覺(jué)重組。經(jīng)過(guò)知覺(jué)重組，本來(lái)無(wú)意義的模糊刺激之間便有了一定的聯(lián)系，使本來(lái)難以學(xué)習(xí)、難以記憶的刺激變得容易掌握。這種有意義聯(lián)系的刺激就是結(jié)構(gòu)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)指的就是具有一定形式的意義聯(lián)系的認(rèn)知組織，既包括對(duì)結(jié)構(gòu)中元素之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，也包括對(duì)結(jié)構(gòu)中元素意義的理解。

將內(nèi)容結(jié)構(gòu)化不僅利于學(xué)習(xí)，而且便于提取。因?yàn)槿说亩虝r(shí)儲(chǔ)存廣度有限，但將長(zhǎng)時(shí)記憶的信息和新接收的信息結(jié)合起來(lái)加工，就會(huì)使編碼有比較合理的結(jié)構(gòu)，短時(shí)儲(chǔ)存的信息單位會(huì)擴(kuò)大，短時(shí)儲(chǔ)存的信息量因此會(huì)增加，工作記憶的速度和準(zhǔn)確程度也會(huì)提高。凱斯認(rèn)為，工作記憶中操作空間效率的提高是導(dǎo)致認(rèn)知發(fā)展的重要原因。研究表明，學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以釋放操作空間，減輕大腦認(rèn)知負(fù)荷，提高腦力勞動(dòng)效率，促進(jìn)智力發(fā)展。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的教育價(jià)值

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化是發(fā)展核心素養(yǎng)的需要

“新課標(biāo)”把“設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”作為重要的課程理念，指出關(guān)于“課程內(nèi)容組織”重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。在“教學(xué)建議”中也要求“注重教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系”。結(jié)構(gòu)化整合，就是為了改變學(xué)科內(nèi)容孤立散裝、學(xué)科內(nèi)容割裂等不利于學(xué)生核心素養(yǎng)形成的方式。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合，有利于學(xué)生從整體的、關(guān)聯(lián)的、系統(tǒng)的高度，把握數(shù)學(xué)概念、公式、法則、規(guī)律及原理之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立起有關(guān)聯(lián)、有意義的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化是促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移的需要

面對(duì)“人生有涯而知無(wú)涯”的現(xiàn)實(shí)矛盾，布魯納提出這樣的問(wèn)題：“學(xué)生對(duì)所學(xué)材料的接受，必然是有限的。怎樣能使這種接受在他們以后一生的思想中有價(jià)值？”他認(rèn)為，理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)最有價(jià)值，因?yàn)檎莆战Y(jié)構(gòu)有利于遷移！“不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。這是知識(shí)運(yùn)用的最低要求，這樣才有助于學(xué)生解決在課堂外遇到的問(wèn)題和事件，或者日后課堂訓(xùn)練中所遇到的問(wèn)題。經(jīng)典的遷移問(wèn)題的中心，與其說(shuō)是單純地掌握事實(shí)和技巧，不如說(shuō)是教授和學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)?！?/p>

把教材中具有較高概括性、統(tǒng)攝性和具有廣泛解釋效應(yīng)的基本概念、基本原理、基本思想和基本觀念，放在教材的中心是促進(jìn)遷移的必由之路。布魯納認(rèn)為：“領(lǐng)會(huì)基本的原理和觀念，看來(lái)是通向適當(dāng)‘訓(xùn)練遷移的大道?！边@和心理學(xué)家的觀點(diǎn)一致，已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)概括水平越高，就越能揭示沒(méi)有認(rèn)識(shí)過(guò)的某些同類新事物的實(shí)質(zhì)，并把新事物納入已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中去，因而也越能順利遷移。

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化是照顧學(xué)生差異的需要

學(xué)生之間是存在差異的，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生的發(fā)展是我們的教育目標(biāo)?！叭巳耸艿搅己玫臄?shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！边@是新世紀(jì)數(shù)學(xué)課程改革始終堅(jiān)持不變的課程理念。數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，特別有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。布魯納認(rèn)為：“不僅要教育成績(jī)優(yōu)良的學(xué)生，而且也要幫助每個(gè)學(xué)生獲得最好的智力發(fā)展。強(qiáng)調(diào)學(xué)科結(jié)構(gòu)的良好教學(xué)，對(duì)智力一般的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能更為寶貴，因?yàn)樽钊菀妆毁|(zhì)量差的教學(xué)拋棄的，正是前者而不是后者。”

心理學(xué)研究表明，學(xué)生有不同的認(rèn)知風(fēng)格，不同認(rèn)知風(fēng)格的學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和教師提供的教學(xué)支架需求是不同的。比如，場(chǎng)獨(dú)立性學(xué)生（喜歡獨(dú)立思考）和場(chǎng)依存性學(xué)生（喜歡合作交流）對(duì)教學(xué)方法有不同的偏好。場(chǎng)獨(dú)立性學(xué)生易于給無(wú)結(jié)構(gòu)的材料提供結(jié)構(gòu)，他們對(duì)教師的教學(xué)方法要求不高。場(chǎng)依存性學(xué)生則完全相反，他們喜歡有嚴(yán)密結(jié)構(gòu)的教學(xué)，需要教師提供外來(lái)結(jié)構(gòu)和明確的指導(dǎo)與講解。他們對(duì)教師的依賴性較大，教師提供的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、任務(wù)支架、活動(dòng)提示等直接影響他們的學(xué)習(xí)效率?？梢?jiàn)，對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，教師可以提供結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題導(dǎo)引；對(duì)于挑戰(zhàn)性的任務(wù)，教師可以提供結(jié)構(gòu)化的操作材料，從而為場(chǎng)依存性學(xué)生思考助力。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的實(shí)踐指要

（一）吃透“新課標(biāo)”精神，把握主題的整體性

“新課標(biāo)”已經(jīng)對(duì)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的課程內(nèi)容主題進(jìn)行了頂層設(shè)計(jì)、系統(tǒng)整合（如表1）。其改變了知識(shí)技能孤立、零散的呈現(xiàn)方式，強(qiáng)調(diào)教學(xué)的系統(tǒng)性、邏輯性、整體性，溝通了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯出學(xué)科的本質(zhì)內(nèi)涵，使內(nèi)在的知識(shí)邏輯和內(nèi)隱的思想方法更加清晰。

課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化通過(guò)主題整合的方式呈現(xiàn)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性。如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，小學(xué)三個(gè)學(xué)段的主題由原來(lái)的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”“數(shù)的運(yùn)算”“常見(jiàn)的量”“探索規(guī)律”“式與方程”“正比例、反比例”六個(gè)整合為“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)。這樣整合之后，不僅小學(xué)三個(gè)學(xué)段的主題表述完全一致，而且與第四學(xué)段的三個(gè)主題（數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)）本質(zhì)保持不變。因?yàn)殡S著數(shù)域的擴(kuò)大，“數(shù)與式”研究的對(duì)象是有理數(shù)與代數(shù)式及其運(yùn)算，本質(zhì)上還是“數(shù)與運(yùn)算”；“方程與不等式、函數(shù)”本質(zhì)上還是研究“數(shù)量關(guān)系”，方程研究的是已知數(shù)與未知數(shù)之間的相等關(guān)系，不等式研究的是已知數(shù)與未知數(shù)之間的不等關(guān)系；而函數(shù)研究的是變量之間的數(shù)量關(guān)系。

（二）領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握內(nèi)涵的一致性

眾所周知，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是從教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來(lái)的。雖然按照“新課標(biāo)”編寫(xiě)的新教材還沒(méi)有面世，但是我們完全可以發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性，按照“新課標(biāo)”理念，對(duì)現(xiàn)行教材進(jìn)行深度分析。通過(guò)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握不同學(xué)習(xí)內(nèi)容內(nèi)涵的一致性。

比如，整數(shù)加減法計(jì)算，要求“末位對(duì)齊”；小數(shù)加減法計(jì)算，要求“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”；同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算，要求“分母不變，只要把分子相加減”；異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算，要求“先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算”。這樣看來(lái)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法各不相同，如果孤立地教學(xué)這些內(nèi)容，容易加重學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)和理解負(fù)擔(dān)，造成學(xué)生學(xué)習(xí)的淺表化、碎片化。如果透過(guò)表面現(xiàn)象，看到“末位對(duì)齊”“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，其實(shí)就是保證相同數(shù)位對(duì)齊，從而使相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減?！胺帜覆蛔儯灰逊肿酉嗉訙p”實(shí)質(zhì)也是相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減，異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算要求先通分是為了保證分母相同，也就是計(jì)數(shù)單位相同?？梢?jiàn)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法本質(zhì)上具有一致性，都是把相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減。

（三）梳理縱橫聯(lián)系，把握知識(shí)的關(guān)聯(lián)性

嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)的顯著特征。這種嚴(yán)密的邏輯性既能給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來(lái)方便，也能給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來(lái)麻煩。教學(xué)中教師要充分發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，在打好后續(xù)學(xué)習(xí)必備的知識(shí)技能基礎(chǔ)的同時(shí)，把握知識(shí)之間的聯(lián)系，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生學(xué)得越來(lái)越輕松、越來(lái)越通透。特別是學(xué)習(xí)到一定階段，很有必要把相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行梳理、貫通。華羅庚先生說(shuō)過(guò)，讀書(shū)先要“由薄到厚”，還要“由厚到薄”。梳理、溝通的過(guò)程就是“由厚到薄”的轉(zhuǎn)換過(guò)程，從而讓點(diǎn)狀的知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)，變得組塊化、集群化。這樣構(gòu)建的結(jié)構(gòu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)不僅減輕學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，利于學(xué)生理解知識(shí)，而且便于信息提取與運(yùn)用。

比如，加、減、乘、除法，在學(xué)生看來(lái)，它們是四種不同的運(yùn)算，意義也不相同，對(duì)它們關(guān)系的認(rèn)知停留在“減法是加法的逆運(yùn)算”“除法是乘法的逆運(yùn)算”“乘法是求相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”的層面。這樣建構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是有殘缺的，因?yàn)檫€沒(méi)有建立減法與除法的聯(lián)系。事實(shí)上，除法也可以看作是遞減相同減數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

再如，多邊形面積計(jì)算，教材一般是按照長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的順序教學(xué)的，后面學(xué)習(xí)的圖形都是轉(zhuǎn)化成前面已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形推導(dǎo)出來(lái)的，得到的面積公式各不相同。如何讓學(xué)生感悟到其中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)呢？可以在梯形面積公式學(xué)習(xí)之后，利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生清楚地看出：梯形的上底等于0（縮為一點(diǎn)）時(shí)，就變成三角形；梯形的上底等于下底時(shí)，就變成平行四邊形；把平行四邊形的一個(gè)角拉成直角，就變成長(zhǎng)方形；把長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)邊縮成與短邊相等，就變成正方形。在變化中，學(xué)生能夠感悟到梯形面積公式可以作為這幾個(gè)圖形面積的通用公式，打通了知識(shí)之間的壁壘，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。