一道解析幾何分點弦問題的深入探究

安徽省合肥市肥東縣城關中學 (231600) 王東海

在解析幾何研究中,直線與圓錐曲線相交問題一直是高考及各地?？嫉臒狳c和難點,這其中分點弦定值問題頗受命題專家的青睞. 事實上,分點弦定值問題就是在撲朔迷離的變化中去尋找分點弦比值之和、差的不變性. 正如張冀宙教授所言: 數(shù)學中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一,數(shù)學研究變化,卻以找到其中的不變性作為歸宿. 尋找并欣賞數(shù)學中無處不在的不變性質(zhì),是把握數(shù)學的鑰匙之一.

1 考題呈現(xiàn)

題目(2023 年江蘇省高三二模)已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過焦點F的直線l交拋物線于M,N兩點,交y軸于E點,當點M的橫坐標為1 時,|MF|=2.

(1)若直線l的斜率為1,求弦長|MN|.

易得第(1)問C:y2=4x,|MN|=8. 第(2)問可以利用同構方程、直線參數(shù)方程、極坐標方程解答,得λ1+λ2=-1.試題平中見奇,內(nèi)涵豐富,是具有研究性學習價值的好題.

2 背景探究

近年來,命題者開始挖掘高等幾何中一些素材來命制高考和?？贾械膱A錐曲線試題. 本文探討的?？碱}的命題背景是高等幾何中的極點和極線這塊內(nèi)容. 為了能夠闡述清楚,先來探討一下本題涉及到的概念和性質(zhì):

定義1給出線段AB的內(nèi)分點C和外分點D, 若, 則稱C,D調(diào)和分割線段AB(或線段AB被C,D調(diào)和分割),也稱點列A,B,C,D為調(diào)和點列.

定義2設兩點C,D的連線與圓錐曲線Γ 相交于A,B,若線段AB被C,D調(diào)和分割,則稱C,D是關于圓錐曲線Γ的一對調(diào)和共軛點.

定義3一點P關于圓錐曲線Γ的所有調(diào)和共軛點的軌跡為一條直線p,此時稱直線p為點P(關于Γ)的極線,點P稱為直線p(關于Γ)的極點.

如圖1, 此題中焦點F對應的極線恰為準線直線l交準線于S點,則由上述極點極線知識可知,M,N,F,S成調(diào)和點列,即有

圖1

再化簡此式得-2λ1-1=2λ2+1,從而解得λ1+λ2=-1.故而本題的命題背景實際上是極點極線理論的進一步推導.

事實上,掌握了以上命題背景,還可命制類似于考題的試題,比如將y軸換成其它直線,或?qū)佄锞€換成其它圓錐曲線等.

3 一般性探究

能否將試題第(2)問中的拋物線推廣至一般的拋物線?能否將焦點與準線推廣至一般的極點和極線呢?

4 類比探究

5 拓展探究

6 高考溯源

題1(2018 年高考北京卷第19 題)如圖2,已知拋物線C:y2=2px(p＞0) 經(jīng)過點P(1,2), 過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y于N,設O為原點,求證:為定值.

圖2

證明設點A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=kx+1. 聯(lián)立直線l和C方程并消去y整理得:k2x2+(2k-4)x+1=0. 則