反推分析尋突破　深度挖掘探本質(zhì)

【摘 要】以一道幾何壓軸題為例，分析低分率的原因并通過分析法尋找解題突破點(diǎn)，嘗試找到解法間的聯(lián)系，為學(xué)生提供解題方向.然后對試題研究后拓展原題結(jié)論并進(jìn)行變式研究，開拓學(xué)生解題思路的同時(shí)并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】分析法;變式;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1 原題呈現(xiàn)

題目 如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，點(diǎn)D是邊BC

上的任意一點(diǎn)，以AD為邊在其右側(cè)作等邊三角形ADE，并連結(jié)EC.

（1）當(dāng)點(diǎn)D與頂點(diǎn)B重合時(shí)，求證：點(diǎn)E恰好是BC的中點(diǎn);

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（不含B，C兩端點(diǎn)），求證：AE=EC.

2 試題剖析

本題來源于一道中考模擬題，第（1）問較常規(guī)，得分率較高.而第（2）問的得分率只有11%，原因其一：大多數(shù)學(xué)生想從等角對等邊入手，要證明AE=EC，即證明∠EAC=∠ACE.因此嘗試把這些角表示出來，如圖2，設(shè)∠BAD=α，則∠EAC=30°－α，∠EDC=α，但是始終無法表示∠ACE.如果繞進(jìn)了想去表示∠ACE的這個(gè)圈子出不來，那就會(huì)消耗大量時(shí)間，也就影響了問題的解決.

其二：學(xué)生缺乏對含30°角的特殊直角三角形性質(zhì)的充分認(rèn)知，無法充分利用各邊的比例關(guān)系獲取相應(yīng)線段的等量關(guān)系，也缺乏幾何中證明兩線段相等的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，因此無法找到解決問題的有效路徑.

如何引導(dǎo)學(xué)生去分析圖形特征？如何發(fā)現(xiàn)解題的思路？因此本文嘗試從分析法入手找到解題的突破點(diǎn)，讓解題思路更加流暢，同時(shí)進(jìn)一步挖掘題目的本質(zhì)內(nèi)涵.通過對試題的深度研究，拓展原題的結(jié)論并進(jìn)一步變式改編從而激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的思考，最終提升學(xué)生的解題能力和綜合分析能力.

3 解法探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出：“在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯，形成幾何直觀和推理能力.”^［1］因此，在日常解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生嘗試挖掘圖形隱藏的信息，培養(yǎng)學(xué)生化繁為簡、化難為易的轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯地去思考，促進(jìn)學(xué)生自然生成解題思路.

本題要證明兩條線段相等，常用方法有：全等三角形、線段垂直平分線、等角對等邊、直角三角形斜中線、平行四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等.基于圖形中有兩個(gè)特殊三角形，分別是含30°角的直角三角形和等邊三角形.本文引導(dǎo)學(xué)生分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，嘗試通過分析法尋找解題的突破點(diǎn).

3.1 反推分析明思路

原題中要證明AE=EC，通過反推分析當(dāng)AE=EC時(shí)，必然點(diǎn)E在線段AC的中垂線上.如圖3，直線NM為AC的中垂線，那么必然有與AC的交點(diǎn)N和與BC的交點(diǎn)M，這兩個(gè)點(diǎn)的位置其實(shí)很特殊，分別是AC和BC的中點(diǎn).因此也就有了解題的思路，如果以點(diǎn)N的角度出發(fā)，那么作EN⊥AC，只需證明AN=NC；而若以M點(diǎn)的角度出發(fā)，那就找到BC的中點(diǎn)，也許利用直角三角形斜中線會(huì)產(chǎn)生新的解題思路.

3.2 轉(zhuǎn)化思想造全等

上述3.1中根據(jù)反推分析，若作一條高EN⊥AC，則需證明AN=NC.經(jīng)過分析直接找全等三角形證明AN和NC相等有點(diǎn)困難，而含30°角的直角三角形成為解題的關(guān)鍵.因?yàn)锳C=2AN，若作一條高AM，則AC=2AM，所以此題轉(zhuǎn)化成證明AN=AM，只需證明△ADM≌△AEN即可.

證明1 如圖4，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N.

因?yàn)椤螪AM+∠BAD=30°，∠EAN+∠BAD=30°，所以∠DAM=∠EAN.因?yàn)椤螦MD=∠ANE=90°且AD=AE，所以△ADM≌△AEN，即AM=AN.因?yàn)樵赗t△AMC中，∠ACM=30°，所以AC=2AM.又因?yàn)锳M=AN，所以AC=2AN，從而EN垂直平分AC，所以AE=EC.

說明1 該解法利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，將證明AN=NC轉(zhuǎn)化成證明AN=AM，充分利用了含30°角直角三角形的特殊性質(zhì).當(dāng)然也可以過點(diǎn)E往BC作垂線段，過點(diǎn)D往AC作垂線段，輔助線的構(gòu)造不一樣而解法是類似的.

3.3 巧用中點(diǎn)破困局

上述3.1中根據(jù)反推法，可以知道BC的中點(diǎn)M是個(gè)特殊的位置，若利用好這個(gè)點(diǎn)可以達(dá)到事半功倍之效.因此可以往直角三角形的斜邊中點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)然也可以利用輔助圓來用好這個(gè)中點(diǎn).

證明2 如圖5，取BC的中點(diǎn)M，并連結(jié)AM和ME.

因?yàn)镸是斜邊BC的中點(diǎn)，所以AM=BM=CM.因?yàn)椤螧=60°，所以△ABM是等邊三角形.因?yàn)锳B=AM，∠BAD=60°－∠DAM=∠MAE，AD=AE，所以△ABD≌△AME，所以∠AME=60°，∠EMC=180°-∠AMD-∠AME=60°.因?yàn)锳M=MC，∠EMC=∠AME，EM=EM，所以△AEM≌△CEM，即AE=EC.

證明3 如圖6，過點(diǎn)A，D，E作圓O交BC于點(diǎn)M，分別連結(jié)AM和EM.

因?yàn)锳，D，M，E四點(diǎn)共圓，所以∠AMD=∠AED=60°，∠AME=∠ADE=60°.因?yàn)椤螦MD=60°且∠MCA=30°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠CAM=30°，所以AM=MC.因?yàn)锳M=MC，∠EMC=∠AME=60°，EM=EM，所以△AEM≌△CEM，即AE=EC.

說明2 證明3其實(shí)是在證明2的基礎(chǔ)上改進(jìn)，證明2通過斜中線來構(gòu)造全等三角形從而找到對應(yīng)等量關(guān)系，而證明3通過作圓直接找到中點(diǎn)，利用圓周角性質(zhì)獲得角的等量關(guān)系.輔助圓的添加，讓解題變得更加簡潔，提高了解題速度，也可以更好的凸顯題目的本質(zhì)，一切變得非常明了簡單^［2］.

3.4 以數(shù)助形新思路

由上述3.1分析，要證明AE=EC，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，證明AM=MC即可.在試題剖析中只考慮角度無法解決問題，因此嘗試將角度和長度兩個(gè)量相互結(jié)合，用三角函數(shù)法進(jìn)行解題.

證明4 如圖7，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)∠BAD=α，則∠EAM=30°－α，設(shè)AD=AE=r.在△ABD中，AN=rcosα，DN=rsinα，BN=DNcotB=33rsinα，則AB=AN+BN=rcosα+33rsinα.又因?yàn)樵?/p>

Rt△ABC中，∠ACB=30°，所以AC=3AB=3rcosα+rsinα.在Rt△AEM中，因?yàn)锳M=rcos（30°－α）=32rcosα+12rsinα，所以AC=2AM，即ME垂直平分AC，從而AE=EC.

說明3 解法用三角函數(shù)充分利用了角和邊的關(guān)系，以數(shù)助形，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，當(dāng)然如果能利用正弦定理來表示AB會(huì)更加快捷.三角函數(shù)法在思維上更加直接，最終也轉(zhuǎn)化成純粹的代數(shù)計(jì)算.當(dāng)然三角函數(shù)法更多的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)，對初中生來說還是有一定的難度，也打通了初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的聯(lián)系.

4 深度研究

研究一道題，多解是一種追求，但更重要的是挖掘問題的本質(zhì)，目標(biāo)是“做一題，會(huì)一類，通一片”^［3］.在學(xué)生研題解題過程中，不僅是知識技能的學(xué)習(xí)過程，更是融入觀察、閱讀、思考，體現(xiàn)幾何直觀和推理能力的過程.有助于學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)類比遷移，達(dá)到“授人以漁”的教學(xué)目的.

好的題目需要回味，題目的原型是什么？有沒有更加一般的情形？能否再提出更深層次的問題？^［4］帶著這樣的思考，本文嘗試將原題的結(jié)論進(jìn)一步拓展，

最后完成對試題的再改編.

①點(diǎn)D的位置由線段BC拓展到直線BC上

原題中點(diǎn)D的位置是邊BC上的一點(diǎn)，考慮到特殊情況，如果點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，如圖8（1），就是典型直角三角形斜中線問題了，顯然有AE=EC，這就是題目的原型.繼續(xù)探究點(diǎn)D的位置從線段BC拓展到直線BC上，那么就出現(xiàn)圖8（2）和圖8（3）的情形，此時(shí)原題的結(jié)論依舊成立，原題的解題方法也同樣適用于其他情形，具體證明略.通過對原題的拓展，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分類討論的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生融會(huì)貫通的能力，提升學(xué)生的深度思考能力.

結(jié)論推廣1 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，點(diǎn)D是邊BC所在直線上任意一點(diǎn)，以AD為邊在其右側(cè)作等邊三角形ADE，并連結(jié)EC，均有AE=EC.即點(diǎn)E剛好在AC的中垂線上，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好是一條直線.

②拓展以AD為邊在其左側(cè)作等邊三角形

原題中是以AD為邊在其右側(cè)作等邊三角形ADE，如圖9，試想在AD邊的左側(cè)作等邊三角形是否還有類似的結(jié)論，很顯然AE≠EC.如圖9（2），通過幾何畫板嘗試，當(dāng)點(diǎn)D在BC所在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好是BE所在直線，因此必然可以找到一個(gè)點(diǎn)C′，使得AE=EC′.

如圖9（3），嘗試?yán)幂S對稱視角解決此問題，在△ABC中作BC邊上的高AF，將△ABC以AF為對稱軸作對稱圖形△AB′C′.此時(shí)把等邊三角形ADE和Rt△AB′C′結(jié)合起來看就和原題一致了，此時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡自然是一條直線，也有AE=EC′.

結(jié)論推廣2 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，以AD為邊作等邊三

角形ADE.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在邊BC所在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線.

③基于原題的再改編

通過上述的探究，將本題動(dòng)點(diǎn)D位置的研究從線段拓展到直線，同時(shí)也進(jìn)一步研究了動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡.因此，將原題模型與圓進(jìn)一步結(jié)合，同時(shí)加入動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡探究，通過潤色改編得到以下變式.

變式 如圖10，點(diǎn)A，B，C在以BE為直徑的⊙O上，且有AB=BC，分別連結(jié)AB，BC，AO和EC.

（1）求證：∠BAO+∠BEC=90°.

（2）F是直徑BE上的任意一點(diǎn)，連結(jié)CF，以CF為邊在其右側(cè)作等邊三角形CFG，并連結(jié)GE，若AB=2，∠BAO=60°.

①求證：CG=GE.

②點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E的過程中，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)軌跡的長度.

命制說明 本題主要考查圓的基本性質(zhì)、三角形知識初步、特殊三角形、全等三角形、中垂線定理，和學(xué)生幾何直觀、推理能力的素養(yǎng).掌握圓背景下的角度計(jì)算、基于圓構(gòu)造輔助線，以及利用全等三角形或者輔助圓等方法證明兩線段相等是解題的關(guān)鍵，輔助線的添加方法較多，多解歸一，同時(shí)也將靜止圖形動(dòng)態(tài)化，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.

5 啟示總結(jié)

好的幾何試題往往一題多解，入口較寬，思考的角度是多樣的，其中隱含的信息和潛在的價(jià)值有待教師在使用中進(jìn)一步挖掘.以這樣類型的幾何試題作為素材，能讓學(xué)生通曉圖形的基本特點(diǎn)和背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想、方法，讓學(xué)生的思維在多解中拓展.

當(dāng)然解題不是終點(diǎn)，應(yīng)該從更高層次去挖掘問題、探索問題、解決問題．題目是需要研究的，教師解題研究能力的高低直接影響著學(xué)生對問題理解的深度．凡事多問幾個(gè)為什么，只有想得多，才能看得透問題背后的本質(zhì);只有站得高，才能看得到問題背后的立意．

有了解題和研題的基礎(chǔ)，教師可以更好的理解變式，設(shè)計(jì)更多有深度、可以促進(jìn)學(xué)生思考并且提高學(xué)生推理能力的好題目，讓學(xué)生的能力在變式中提升.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］傅華英，何訓(xùn)光.添圓搭梯解難題［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（11）：53-58.

［3］應(yīng)佳成，李馨.初中數(shù)學(xué)平面幾何30講［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2019：114-117.

［4］張湘君.一道幾何題的變式研究［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（11）：36-41.

作者簡介 俞黎卿（1990-），男，浙江杭州人，碩士;主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.