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    緊扣計數(shù)單位,感悟運算的一致性

    2023-09-12 02:47:24施婭林
    關鍵詞:數(shù)的運算總復習小學數(shù)學

    施婭林

    摘要:《數(shù)的運算總復習》一課,是小學階段數(shù)的運算學習的收官之作。站在總復習的節(jié)點,學生需要的不是運算訓練,而是從整體上厘清各個算法之間的聯(lián)系、理解算理的本質(zhì)以及感悟算理的一致性,建構(gòu)完整的、聯(lián)系的、發(fā)展的認知結(jié)構(gòu)?;诖?,立足“計數(shù)單位”,溝通運算的本質(zhì);凸顯“計數(shù)單位”,感悟算理的一致性;緊扣“計數(shù)單位”,建構(gòu)完整的結(jié)構(gòu)。

    關鍵詞:小學數(shù)學;計數(shù)單位;運算一致性;數(shù)的運算;總復習

    一、課前思考

    《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》在第二學段、第三學段的“教學提示”中分別指出,“通過數(shù)的認識與數(shù)的運算有機結(jié)合,感悟計數(shù)單位的意義,了解運算的一致性”[1],“通過整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的運算,進一步感悟計數(shù)單位在運算中的作用,感悟運算的一致性”[2]。

    有關數(shù)的運算,蘇教版小學數(shù)學教材是分階段編排推進的。有關加、減法,第一學段教學整數(shù)的加、減法,結(jié)合數(shù)的概念,當計數(shù)單位相同時,計數(shù)單位的個數(shù)直接相加、減;當計數(shù)單位不相同時,先“滿十進一”或“退一作十”,使計數(shù)單位相同,再相加、減。第二學段教學分數(shù)的加、減法,當分數(shù)單位不相同時,先通分,使分數(shù)單位相同,再相加、減。第三學段教學小數(shù)的加、減法,借助計數(shù)器、方格圖等易區(qū)分計數(shù)單位的計數(shù)工具,理解小數(shù)點對齊才能相加、減。有關乘法,第一學段、第二學段教學整數(shù)乘法,由乘法是加法的簡便運算推導出乘法口訣,再結(jié)合具體情境將運算過程拆分成加法,最后借助豎式計算整數(shù)乘法。第三學段教學小數(shù)乘小數(shù),先通過具體問題情境,將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法算出積;再根據(jù)“積的變化規(guī)律”推算出小數(shù)乘法的積;最后,運用不完全歸納法概括出一般算法。第三學段教學分數(shù)乘分數(shù),先借助圖示寫出結(jié)果,再觀察多個分數(shù)乘法的算式中積的分子、分母與兩個因數(shù)的分子、分母之間的關系,運用不完全歸納法得出一般算法。有關除法,由乘法推導出除法的商,再借助豎式計算整數(shù)除法;運用“商不變的規(guī)律”將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法;借助真實情境,利用數(shù)形結(jié)合思想,從分數(shù)除以整數(shù)到整數(shù)除以分數(shù),逐步歸納出分數(shù)除法的一般算法。

    基于教材的編排和教學的階段性,學生能充分地體會到轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想,掌握算法。但是,較難感悟分數(shù)與小數(shù)乘、除法在算法上的聯(lián)系和算理上的一致性,更無法感悟數(shù)的四則運算的一致性。因此,站在小學數(shù)學總復習的節(jié)點,學生需要的不是運算訓練,而是從整體上厘清各個算法之間的聯(lián)系、理解算理的本質(zhì)以及感悟算理的一致性,建構(gòu)完整的、聯(lián)系的、發(fā)展的認知結(jié)構(gòu)。筆者以為,《數(shù)的運算總復習》一課教學,可以緊扣計數(shù)單位,統(tǒng)整數(shù)的運算,幫助學生感悟運算的一致性,也為第四學段(初中)學習無理數(shù)、代數(shù)式的運算打下堅實的基礎。

    二、課堂實施

    (一)立足計數(shù)單位,溝通數(shù)的認識與運算的一致性

    1.追本溯源,溝通意義

    師我們學習過哪些數(shù)?

    生整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)。

    師上節(jié)課,我們復習了“數(shù)的認識”,知道所有的數(shù)之間是有聯(lián)系的,都表示“多少個計數(shù)單位”。比如,8表示什么?

    生8個一。

    師4呢?12呢?

    生4是4個一,12是1個十和2個一。

    師看到這三個數(shù),你想到了哪些算式?

    生4+8=12,8+4=12,12-4=8,12-8=4。

    師有加法和減法。如果把這里的8再分成4和4呢?

    生4+4+4=12。

    生3×4=12。

    師既然想到了乘法,還有嗎?

    生12÷4=3。

    師加、減、乘、除陪伴了我們六年,你真的了解它們嗎?它們的本質(zhì)是什么?它們分別在什么情況下運用呢?先想一想,然后在小組里交流。

    (學生交流。教師巡視,發(fā)現(xiàn)很多學生都按照各算式的形式割裂地理解算式的本質(zhì)。)

    生加法就是兩個數(shù)相加,減法就是被減數(shù)減減數(shù);乘法就是兩個數(shù)相乘,除法就是被除數(shù)除以除數(shù)。

    生乘法就是把相同的數(shù)加起來,除法就是平均分。

    師其實,把若干個部分合成一個整體用加法,從一個整體中去掉部分就是減法。那乘法和除法呢?

    生幾個相同的部分合起來就是乘法。

    生剛才說除法是平均分。其實,從一個整體中不斷地減掉相同的部分也是除法。

    師是的,其實這四種運算都和整體與部分有關。

    數(shù)的認識是數(shù)的運算的基礎,數(shù)的運算是對數(shù)的認識的“再應用”,它們都是基于計數(shù)單位進行的。因此,復習課伊始,立足“計數(shù)單位”這個核心概念,充分利用學生數(shù)的認識的學習經(jīng)驗復習四則運算的意義,追本溯源,幫助學生深刻理解數(shù)的四則運算。

    2.尋找關聯(lián),融會貫通

    師(同步板貼)現(xiàn)在有“+”“-”“×”“÷”四張卡片。你覺得四種運算中誰和誰有關系?有怎樣的關系?上臺來移一移,說一說。

    生(上臺移動卡片,把“+”和“-”放在一起)減法和加法有關:加法是把部分合成整體;相反,減法是把整體分成部分。

    生(上臺移動卡片,把“+”和“×”放在一起)乘法和加法也有關,乘法就是加法的簡便計算。

    生(上臺移動卡片,把“÷”和“-”“×”放在一起)除法和減法有關,除法是減法的簡便計算;除法和乘法也有關系,它們是相反的。

    師原來它們彼此都有關系,減法是加法的逆運算,除法是乘法的逆運算,乘法是加法的簡便運算,除法是減法的簡便運算。通過理一理,我們溝通了加、減、乘、除之間的聯(lián)系。今天,我們就來復習“數(shù)的運算”。

    學生很容易理解加法和減法運算的算理,但是對乘法和除法運算的算理理解起來比較困難,很難將加法和減法運算的算理遷移到乘法和除法的運算中。究其原因,學生對四則運算之間的聯(lián)系缺乏溝通,對運算的意義缺乏深度理解。因此,教學中引導學生通過“移卡片”活動主動比較四則運算,在不斷地完善中感悟四則運算之間的關聯(lián),為深入理解四則運算算理的一致性打下基礎。

    (二)凸顯計數(shù)單位,統(tǒng)整四則運算的一致性

    1.圖式明理,把握本質(zhì)

    師四種運算是互相關聯(lián)的,而每一種運算都可分為整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的運算。比如,同樣是加法,整數(shù)加法、小數(shù)加法和分數(shù)加法之間的算法和算理一樣嗎?想弄清楚它們的異同點,你打算怎么辦?

    生舉例子。

    師特別好!舉例子是數(shù)學研究的一種重要方法。我們先通過舉例的方法來研究整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加法。

    (學生思考。教師巡視,發(fā)現(xiàn)一部分學生列舉了一些較簡單的口算,一部分學生寫了豎式。)

    師(板書,如圖1所示)這個同學的例子很有特點,看出特別在哪里了嗎?

    生整數(shù)和小數(shù)中的數(shù)字是一樣的。

    師為什么在整數(shù)加法中,3和9對齊,但在小數(shù)加法中卻不對齊計算呢?

    生因為要數(shù)位對齊。在整數(shù)計算中,3和9都是個位上的數(shù),分別表示3個一和9個一,可以直接相加;而在小數(shù)計算中,小數(shù)點對齊,數(shù)位才能對齊。

    生3和9不在同一個數(shù)位上,3在十分位上,表示3個0.1;9在百分位上,表示9個0.01。

    師原來,不管是整數(shù)的末尾對齊還是小數(shù)的小數(shù)點對齊,都是為了相同數(shù)位對齊。數(shù)位對齊就是計數(shù)單位相同,計數(shù)單位相同的數(shù)才能直接相加。那分數(shù)加法呢?好像和剛才的整數(shù)、小數(shù)不太一樣。

    生分母不一樣,要先通分。分母相同,才能相加。

    師其實,通分是為了統(tǒng)一分數(shù)單位,也就是統(tǒng)一計數(shù)單位??匆豢茨銈冏约号e的例子,也是這樣的道理嗎?

    生(齊)是的。

    師在加法中,我們發(fā)現(xiàn)不同數(shù)的運算方法不同,但道理是一致的。其他運算的道理是不是也一樣呢?四人小組內(nèi)商量一下,你們打算研究哪一個?怎樣研究?請將你的研究過程記錄在學習單上。

    (學生合作研究。教師巡視,發(fā)現(xiàn)很多小組選擇研究乘法和除法。)

    師很意外,沒有小組研究減法,能說說原因嗎?

    生減法的道理和加法是一樣的,太簡單了。

    (其他學生紛紛點頭表示贊同。)

    師你們真會學習,能夠舉一反三,發(fā)現(xiàn)減法中整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)也是計數(shù)單位相同時才能直接相減。第三小組研究的是乘法,請帶著你們的學習單上臺展示、匯報。

    (學生列豎式,將豎式的過程表達出來。)

    生小數(shù)乘法可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法。分數(shù)乘法就是分子乘分子,分母乘分母,與整數(shù)、小數(shù)的乘法有點不一樣。

    師確實,乘法運算不像加法和減法運算那樣容易看出計數(shù)單位。(出示圖2)老師也帶來了一些例子,一起看一看。

    師看明白了嗎?說說你的感受!

    生原來乘法運算中,不管是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù),都跟計數(shù)單位有關。

    生原來分數(shù)的乘法也跟計數(shù)單位有關。

    師研究除法的同學發(fā)現(xiàn)了什么?

    生小數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法,分數(shù)除法就是乘它的倒數(shù)。

    師那它們有什么相通之處嗎?

    (學生沉默。)

    師要想講清楚分數(shù)除法的運算道理,還可以請圖形來幫忙。(出示圖3)分數(shù)除法,誰看明白了?

    生12除以18就是求48里有多少個18。

    師所以,除法其實也是計數(shù)單位的個數(shù)的運算。

    加法運算的原理很容易遷移到減法運算,而乘、除法的算理本質(zhì)學生很難一下子發(fā)現(xiàn)。教學時,教師通過橫式的分解過程,凸顯計數(shù)單位,向?qū)W生呈現(xiàn)小數(shù)的乘、除法計算過程;借助直觀圖,幫助學生理解分數(shù)乘、除法本質(zhì)上也是基于分數(shù)單位(計數(shù)單位)的運算。通過圖式,將抽象的認識變直觀,讓算理“看得見”,有效幫助學生理解四則運算算理的本質(zhì)。

    2.反思比較,建立結(jié)構(gòu)

    師關于整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算,你有什么感受?

    生原來這些計算都是有聯(lián)系的。之前,我認為分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)的計算不一樣,其實,它們也有聯(lián)系的地方。

    生都和計數(shù)單位有關。

    生原來除法也跟計數(shù)單位有關。

    生加、減、乘、除的運算都是一樣的。

    師看來大家都已經(jīng)看到了計算的本質(zhì),就是計數(shù)單位個數(shù)的運算。整數(shù)的加、減法計算時末尾對齊,小數(shù)的加、減法計算時數(shù)位對齊,異分母分數(shù)先通分再加、減,本質(zhì)上都是使計數(shù)單位一樣;乘、除法的計算也是一樣的。

    比較是重要的數(shù)學思想,是學生感悟運算算理一致性的重要手段。教師有意識地引導學生從不同中找出共性,從變化中找出規(guī)律。其中,學生感觸最深的是分數(shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法的異同,雖然數(shù)的形式不同,計算方法不同,但在算理本質(zhì)上是相通的,都是計數(shù)單位個數(shù)的運算。學生的頭腦中自然而然地形成了對四則運算的結(jié)構(gòu)化認知。

    (三)應用計數(shù)單位,深化四則運算的一致性

    師(出示圖4)這些計算對嗎?如果不對,請說出錯誤的原因并改正。

    生第一道算式,個位滿十要進到十位,而不是百位。

    生第二道算式,其實就是85個0.1乘16個0.1,應該是1360個0.01。

    生第三道算式,小數(shù)點沒有對齊,不能直接減。

    生第四道算式,商的位置是錯的。

    師總結(jié)這些題目的錯誤原因,你有什么想提醒大家的?

    生數(shù)位一定要對齊,小數(shù)的小數(shù)點要對齊,這樣計數(shù)單位才相同,才能相加、減。

    生小數(shù)的乘、除法可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)的乘、除法,要特別注意小數(shù)點的位置對齊,剛才我們研究過了,就是跟計數(shù)單位有關。

    師在加、減法中相同數(shù)位對齊,也就是計數(shù)單位相同,才能相加、減;小數(shù)的乘、除法要關注小數(shù)點的位置。通過復習數(shù)的運算,你有什么收獲?

    生之前覺得計算很簡單,沒想到藏著這么深奧的道理。

    生看不同的四則運算,它們之間其實都是有聯(lián)系的,都跟計數(shù)單位有關。

    生之前覺得分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)沒有什么聯(lián)系,沒想到都是相通的。

    師看來大家對數(shù)的運算有了更深層次的理解,學習了六年的運算知識全都打通了,運用也更加靈活了!

    算理是指“為什么這樣算”,算法是指“怎樣算”,算理是算法的依據(jù),算法是對算理的總結(jié)與提煉。課尾,教師出示了一些錯例,考查學生對計數(shù)單位的靈活應用,促進學生從本質(zhì)上理解四則運算的算理,從而打通算法形式不同的四則運算,靈活運用算法,形成計算技能,提升運算能力。

    三、課后反思

    (一)立足“計數(shù)單位”,溝通運算的本質(zhì)

    數(shù)概念的一致性是數(shù)的運算一致性的基礎。課始,教師帶領學生立足計數(shù)單位復習數(shù)概念,再通過4、8、12三個數(shù)組成的算式溝通四則運算的意義。接著,通過“移卡片”活動,引導學生深入思考四則運算之間的關系,理解四則運算的基礎都是加法運算,為后續(xù)深入理解四則運算算理的一致性打下基礎。

    (二)凸顯“計數(shù)單位”,感悟算理的一致性

    算理是算法的依據(jù),算法是對算理的總結(jié)與提煉。因此,學生只有理解并打通四則運算的算理,才能真正地靈活運用算法。教學中,教師先通過對比兩道數(shù)字相同的豎式,引導學生溝通整數(shù)和小數(shù)加法運算的算理;接著,基于學生對加法運算算理一致性的理解,引導他們自主完成對整數(shù)、小數(shù)乘法豎式的解構(gòu)和建構(gòu)。然而,學生無法從豎式中直觀感受乘法運算算理的一致性,尤其是分數(shù)乘法。因此,教師相機呈現(xiàn)整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)乘法運算的橫式,展示算理的分解過程,促進學生直觀感悟整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘法運算算理的一致性。再運用數(shù)形結(jié)合的方法,促進學生理解整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)除法運算算理的一致性。最后,引導學生通過對比反思,進一步感悟整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算的本質(zhì)都是將計數(shù)單位的個數(shù)進行分與合。

    (三)緊扣“計數(shù)單位”,建構(gòu)完整的結(jié)構(gòu)

    學生對數(shù)的運算的掌握是通過一冊一冊教材、一個一個單元以及一個一個課時的學習逐步累積形成。因此,四則運算的算法和算理在學生的頭腦中大多呈疊加狀態(tài)。總復習課上的梳理和練習,是促進學生形成完整的、關聯(lián)的認知結(jié)構(gòu)的契機。教師緊扣“計數(shù)單位”這一核心概念,引導學生橫向勾連加、減、乘、除四則運算之間的關系,縱向勾連整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算之間的關系。從整體上厘清各個算法之間的內(nèi)在聯(lián)系和算理的本質(zhì),實現(xiàn)了算理結(jié)構(gòu)化,形成了整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的認知結(jié)構(gòu)。

    參考文獻:

    [1][2] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)[S].北京:北京師范大學出版社,2022:22,25.

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