一道導(dǎo)數(shù)?？?jí)狠S題的探究

林國(guó)紅

(廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué),廣東 佛山 528315)

由于問(wèn)題(1)較為簡(jiǎn)單,本文不作討論,下面從不同視角,對(duì)問(wèn)題(2)進(jìn)行解答與探究.

1 解法探究

視角1 放縮法.

由ex≥1+x(x=0時(shí)取等號(hào)),得

故g(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)≥g(-1)≥0.

視角2 主元法.

證法3①當(dāng)a=1時(shí),由證法1,可得

將a看作主元,令

證法4①當(dāng)a=1時(shí),由證法1,可得

將a看作主元,令

將a看作主元,令

評(píng)注在處理不等式有關(guān)問(wèn)題時(shí),若題目中有多個(gè)變量,且以x為主元解答較困難時(shí),可以嘗試改變分析問(wèn)題的角度,重新確立主元,排除參數(shù)的干擾.這樣往往會(huì)有“山窮水盡疑無(wú)路,柳暗花明又一村”的豁然開(kāi)朗之感,從而可化繁為簡(jiǎn),化難為易[2].

視角3 配方法.

證法6當(dāng)00.

由ex≥1+x,可得

當(dāng)且僅當(dāng)x=0,a=1時(shí),等號(hào)成立.

證法7當(dāng)00.

由ex≥1+x,可得

評(píng)注證法6與證法7先利用常見(jiàn)函數(shù)不等式ex≥x+1進(jìn)行放縮,并結(jié)合二次函數(shù)的配方法來(lái)證明,證法巧妙,簡(jiǎn)便,極大簡(jiǎn)化了證明過(guò)程.兩個(gè)證法本質(zhì)上是一樣的,但證法7換元后更容易看出是二次函數(shù)的形式.

視角4 換元法.

證法8當(dāng)0

當(dāng)t>a時(shí),g′(t)>0,故g(t)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

于是g(t)≥g(a)=-alna≥0.

評(píng)注本證法利用常見(jiàn)函數(shù)不等式ex≥x+1進(jìn)行放縮,消去式子中的根式,然后換元構(gòu)造新函數(shù),通過(guò)求新函數(shù)的最值來(lái)證明,證法的運(yùn)算量較少,過(guò)程也較為簡(jiǎn)潔.

2 試題的思考與變式

試題分步設(shè)問(wèn),逐步推進(jìn),由淺入深,重點(diǎn)突出,較好地達(dá)到了考查目的,其思維過(guò)程較好地體現(xiàn)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

數(shù)學(xué)的魅力在于“變化”,有“變”才能“活”,恰當(dāng)?shù)摹白兪健蹦鼙苊鈱W(xué)生在低層次重復(fù),能使學(xué)生多角度、全方位地理解知識(shí),思維能力得到拓寬和加強(qiáng).所以數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要解決問(wèn)題,還要注重問(wèn)題的變式拓展,引導(dǎo)學(xué)生積極探索一題多變、一題多用,達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的.

由原題及其證法,可得題目的變式:

3 鏈接高考

含參的函數(shù)不等式的證明問(wèn)題,特別是以ex或lnx為背景的函數(shù)不等式證明,是高考中的重要考點(diǎn),倍受命題者青睞,常作為壓軸題頻頻亮相.例如:

例1 (2018年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在(0,-1)處的切線(xiàn)方程;

(2)證明:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥0.

學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題,遇到一道經(jīng)典試題,要從多角度、深層次探尋其解法,通法也好,巧法也罷,不單要比較其優(yōu)劣,還要清楚其中的方法內(nèi)涵,知曉其中的來(lái)龍去脈,方能實(shí)現(xiàn)試題研究?jī)r(jià)值的最大化.另外,不要只滿(mǎn)足于問(wèn)題的解決,要通過(guò)變式、類(lèi)比進(jìn)行研究,尋求問(wèn)題的增長(zhǎng)點(diǎn),從而達(dá)到做一題會(huì)一類(lèi),甚至?xí)黄哪康?積累良好的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),最終在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展.