“三新”背景下基于核心素養(yǎng)的數(shù)學課堂教學設計

屈菲

［摘 要］在“三新”背景下，教師應轉變教學觀念，有效設計課堂教學，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。文章以“正弦定理”（第一課時）為例，從教學內容、教學目標、學生學情、教學策略、教學過程五個方面來闡述“三新”背景下基于核心素養(yǎng)的數(shù)學課堂教學設計。

［關鍵詞］“三新”；核心素養(yǎng)；教學設計

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）08-0019-04

“三新”指新高考、新教材、新課標。在“三新”背景下，教師如何轉變教學觀念，在新一輪教學改革中搶占先機？“三新”背景下基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學課堂教學該如何設計？本文以“正弦定理”（第一課時）為例，從教學內容、教學目標、學生學情、教學策略、教學過程五個方面來闡述“三新”背景下基于核心素養(yǎng)的數(shù)學課堂教學設計。

一、教學內容

“正弦定理”是北師大版教材必修第二冊第二章第六節(jié)的內容。正弦定理給出了任意三角形的邊、角關系的定量刻畫，揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關系，正弦定理其實是對“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關系的解析化。

正弦定理屬于三角學知識，運用正弦定理能處理可轉化為三角形計算的數(shù)學問題。作為用于解決生產、生活實際問題的重要工具，它體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值。本節(jié)課的教學重點是正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及其簡單應用。

在直角三角形中發(fā)現(xiàn)正弦定理的過程，能引發(fā)學生的觀察思維；把一般三角形轉化為直角三角形，從而證明正弦定理，可訓練學生的化歸思維。在直角三角形中發(fā)現(xiàn)正弦定理、利用幾何畫板直觀驗證正弦定理，再到在一般三角形中證明正弦定理的過程，是由特殊到一般、從感性到理性、先猜想后證明的思維訓練過程，能很好地培養(yǎng)學生的思維能力。

二、教學目標

本節(jié)課的教學以《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“標準”）為基本依據(jù)，以“立德樹人”作為根本目標。

“標準”主題三模塊對本單元的學業(yè)要求是：能夠從多種角度理解向量概念和運算法則，掌握向量基本定理；能夠運用向量運算解決簡單的幾何和物理問題，知道數(shù)學運算和邏輯推理的關系；重點提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學抽象素養(yǎng)。

“標準”對本節(jié)課教學內容要求是：探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理。

為了達到以上要求，結合學生實際，設定本節(jié)課的教學目標如下。

（一）目標

1.經歷觀察、發(fā)現(xiàn)正弦定理的過程，能用“作高法”和“外接圓法”證明正弦定理，體會“從特殊到一般”的研究方法和分類討論思想、化歸思想、數(shù)形結合思想等數(shù)學思想，提高邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

2.學會賞析正弦定理和應用正弦定理，感悟正弦定理的審美價值和應用價值。

（二）達成目標的標志

達成目標1的標志是學生通過獨立思考、討論交流、合作探究后，能發(fā)現(xiàn)、歸納出正弦定理，并用“作高法”“外接圓法”證明正弦定理。

達成目標2的標志是學生能用文字語言和符號語言描述正弦定理的內容；概括出正弦定理符號表達式的結構對稱美與和諧美；能清楚應用正弦定理解三角形的題目類型；能獨自完成課堂的引例和例1。

三、學生學情

（一）學生已有基礎

學生在初中已學過平面幾何的相關知識，能夠熟練地解直角三角形，懂得作輔助線解決幾何問題，且也剛剛學過三角函數(shù)和平面向量，因此對正弦定理的理解不會有太大問題。本節(jié)內容是緊跟在余弦定理之后學習的，為探索新的邊、角數(shù)量關系打下基礎，學習余弦定理時用到的數(shù)學思想可以遷移到正弦定理的學習中，余弦定理的證明方法為正弦定理提供借助向量進行證明的思路。

經過小學、初中和高中階段的學習，學生已經熟悉數(shù)形結合思想、分類討論思想，也接觸過化歸思想以及“從特殊到一般”的研究方法，具備了觀察發(fā)現(xiàn)、邏輯推理、自主探究的基本能力，培養(yǎng)了一定的數(shù)學學習興趣。

（二）面臨的挑戰(zhàn)

正弦定理的證明過程需要學生對所學知識有比較強的運用能力，并且能熟練運用化歸思想解決問題；需要具備把一般三角形轉化為直角三角形的知識、思想和方法；需要具有良好的數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)，能夠知道數(shù)學運算和邏輯推理的關系，能把數(shù)學運算和邏輯推理有效結合起來解決問題。

（三）學習難點

難點1：用“作高法”在銳角三角形中證明正弦定理。

學生對運用化歸思想解決問題還不夠熟練，需要先在銳角三角形中通過“作高”的方法構建直角三角形來證明正弦定理。

學生漫無目的地計算也可能恰巧得到正弦定理，但這不是通過分析目標式，在邏輯推理的指引下有方向地去進行數(shù)學運算。這時教師需要進行點撥，讓學生知道正弦定理是通過兩個直角三角形的公共邊建立等式完成證明的，進而為在鈍角三角形中證明正弦定理打下基礎。

難點2：用“作高法”在鈍角三角形中證明正弦定理。（高線落在三角形外部）

讓對知識掌握熟練，綜合運用能力較強的學生通過獨立思考自主破解學習難點。

難點3：用“外接圓法”在銳角三角形中證明正弦定理。

學生不清楚整個證明過程中用到的知識、思想和方法，這時教師需要通過采用獨立思考、組內或組間分享交流的方式讓學生突破學習難點。

難點4：用“外接圓法”在鈍角三角形中證明正弦定理。

學生沒有想到利用“圓的內接四邊形對角互補”把鈍角轉化為銳角再進行證明，并且對圓的性質和三角函數(shù)誘導公式的綜合運用能力較弱，教師需要設置有效教學環(huán)節(jié)幫助學生破解難點。

四、教學策略

（一）教學材料選擇

以人教版必修五教材中提到的在1671年兩位法國天文學家利用正弦定理計算出地月距離作為現(xiàn)實依據(jù)，播放我國2022年9月成功發(fā)射的遙感三十六號衛(wèi)星新聞視頻，激發(fā)學生的愛國熱情和民族自豪感，同時提出估算一個低軌道衛(wèi)星距離觀測者的距離作為情境導入，進而引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生的學習興趣。為了加深學生對正弦定理的理解，得到其比值，也為接下來用“外接圓”法證明正弦定理做鋪墊，教師應創(chuàng)造性地應用教材，合理調整教材內容順序，既保持了知識的連貫性又分散難度。為了加強學生對正弦定理的應用，教師可以遞進式地設置了引例和例1。

（二）教學方法分析

本節(jié)課的教學重點是正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及其簡單應用，要求學生有較高的知識綜合運用能力，教師可以借助幻燈片、投影、幾何畫板、微課等多媒體技術手段，采用觀察發(fā)現(xiàn)式、問題啟發(fā)式、合作討究式的教學方法。

五、教學過程

（一）創(chuàng)設情境，設問導學

教師播放衛(wèi)星發(fā)射升空的新聞視頻，并進行簡要介紹：2022年9月26日21時38分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將遙感三十六號衛(wèi)星發(fā)射升空。提問：看到這里，我們不禁為我們的祖國感到自豪。同學們，你們有沒有想過衛(wèi)星距離我們有多遠呢？能用我們所學的知識進行估算嗎？下面是測量某低軌道衛(wèi)星獲取的一些數(shù)據(jù)：[B]、[C]兩地相距[1200 km]，兩位觀測者在[B]、C兩地同時觀測同一顆衛(wèi)星A，在B處記錄的仰角是60°，在C處記錄的仰角是75°，請問衛(wèi)星距離C地大概有多遠？如圖1建立數(shù)學模型，如何求AC的距離？

設疑：這里已知三角形的兩角及夾邊，能用余弦定理直接求解嗎？

學生觀看視頻，獨立思考，集體回答。

設計意圖：讓學生產生認知沖突，感受學習正弦定理的必要性，激發(fā)學生的學習興趣，提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模素養(yǎng)。

（二）特例探尋，提出猜想

問題1：在直角三角形（見圖2）中，通過對角的正弦觀察，你能發(fā)現(xiàn)邊、角新的數(shù)量關系嗎？

問題2：這是在直角三角形中得到的關系式（見圖3），那么在任意三角形中這個關系式是否仍然成立呢？

[兩等式間有聯(lián)系嗎？]

圖3 直角三角形的關系式

設計意圖：通過問題1和問題2，使學生感受“從特殊到一般”的研究方法。

（三）幾何畫板，直觀驗證

驗證：利用幾何畫板驗證結論（見圖4）。

提問：幾何畫板驗證過就算證明了嗎？

設計意圖：引導學生由感性認識過渡到理性思維。

（四）邏輯推理，證明猜想

問題3：你能理性證明得到的猜想嗎？

設疑1：直角三角形中等式已經成立，能否把銳角三角形轉化為直角三角形來完成證明？如何轉化？

展示證明（見圖5）：

設疑2：類比在銳角三角形中的證明過程，你能給出在鈍角三角形中的證明嗎？

展示證明（見圖6）：

設計意圖：讓學生感悟分類討論思想、化歸思想，提升學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。

（五）形成定理，理解賞析

設疑：你能用符號語言描述它嗎？

展示：[asinA=bsinB=csinC]

引導：你覺得正弦定理美嗎？正弦定理體現(xiàn)了哪些美？

問題4：利用正弦定理可以解決哪類三角形問題呢？

設計意圖：使學生加深對正弦定理的理解，領悟方程思想，感悟數(shù)學的美及其應用價值。

（六）應用定理，解決問題

［例1］在[△ABC]中，已知[a=2]，[b=23]，[A=30°]，解三角形。

設計意圖：使學生在應用正弦定理解決問題的過程中提升數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)。

（七）挖掘定理，拓展深化

引導：至此，大家對正弦定理的學習滿意嗎？想揭秘這個“比值”是什么嗎？

設疑：下面我們繼續(xù)探究，來揭曉正弦定理中神秘的“比值”，請看課本例5，如何證明？

［例2］求證：如圖7所示，以[Rt△ABC]斜邊[AB]為直徑作外接圓，設這外接圓的半徑為[R]，則[asinA=bsinB=csinC=2R]。

問題5：對于銳角三角形、鈍角三角形，上述結論還成立嗎？

探究：請同學們先獨立思考，然后先組內后組間交流，完成表1中的探究任務1和探究任務2。

展示：學生填好的探究任務表（見表2）。

易得：[asinA=bsinB=csinC=2R] 突破問題的知識：

1.直徑所對圓周角是90°；

2.等弧所對的圓周角都相等。 突破問題的思想：化歸思想、數(shù)形結合思想。 突破問題的方法：外接圓法。 探究2：

[△ABC]為鈍角三角形

[=sin∠ADB=c2R]，∴[csinC=2R]

易得：[asinA=bsinB=csinC=2R] 突破問題的知識：

1.圓內接四邊形的對角互補；

2.三角函數(shù)誘導公式。 突破問題的思想：化歸思想、數(shù)形結合思想。 突破問題的方法：外接圓法。 ]

歸納：對比正弦定理的兩種證明方法，你有什么感悟？

引導：通過學習，同學們了解到了正弦定理及其證明過程，你們還想了解正弦定理的發(fā)展簡史嗎？

設計意圖：培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；利用微課介紹正弦定理的發(fā)展簡史，滲透數(shù)學文化，點燃學生用其他方法證明正弦定理的熱情。

（八）課堂小結，回顧總結

引導：請你從知識、思想和方法等角度談談本節(jié)課的收獲。

設計意圖：培養(yǎng)學生的歸納概括及反思能力，提升學生的學習境界。

六、總結

目前，新一輪課程改革正在全國各地如火如荼地展開，數(shù)學一線教師應加強“三新”的深入研究，在教學設計中精心選材、巧妙布局，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，樹立以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的教學意識，把發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)、提高學生數(shù)學學習能力作為教學設計的起點與終點，促使更多的學生熱愛數(shù)學。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：2017年版［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ ?歐陽群壯.在教學中培養(yǎng)數(shù)學思維能力的幾種途徑［J］.數(shù)學學習與研究，2016（13）：126-127.

［3］ ?易斌.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學課堂教學設計：以《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》為例［J］.廣西教育，2020（6）：102-105.

（責任編輯 黃桂堅）