北師大兩版教材“倍數(shù)與因數(shù)”單元內(nèi)容比較研究

盧世峰

［摘 要］以五年級上冊“倍數(shù)與因數(shù)”單元為例，選取北師大的“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”數(shù)學(xué)教材，從單元內(nèi)容編排、導(dǎo)入情境、習(xí)題設(shè)計(jì)和滲透數(shù)學(xué)文化等角度進(jìn)行了教材內(nèi)容的比較研究，得出教學(xué)啟示與建議，為教師提高課堂教學(xué)效益提供參考。

［關(guān)鍵詞］教材比較；倍數(shù)與因數(shù)；北師大版教材

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0087-03

“倍數(shù)與因數(shù)”屬于數(shù)論的內(nèi)容，這個(gè)單元包含因數(shù)和倍數(shù)的含義、2、5和3的倍數(shù)的特征、認(rèn)識(shí)奇數(shù)和偶數(shù)、認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)等內(nèi)容。本單元學(xué)習(xí)主線是從倍數(shù)和因數(shù)這兩個(gè)核心關(guān)鍵詞出發(fā)，在找倍數(shù)這一條支線上學(xué)習(xí)2、5和3的倍數(shù)特征、認(rèn)識(shí)奇數(shù)和偶數(shù)；在找因數(shù)這一條支線上認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)。為此，筆者以根據(jù)2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》編寫的《北師大版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱“實(shí)驗(yàn)版”）和根據(jù)2011年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》編寫的《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡稱“2011年版”）兩個(gè)不同時(shí)期的北師大教材版本為例，對教材中“倍數(shù)與因數(shù)”的內(nèi)容進(jìn)行了比較研究，為一線教師備課提供素材和資源。

一、單元內(nèi)容編排

由上表可知，從編排單元的角度看，“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”都將“倍數(shù)與因數(shù)”編排于五年級上冊教材，但順序有所不同。從單元整體內(nèi)容視角看，“2011年版”刪除了“數(shù)的奇偶性”內(nèi)容，把原來第1課時(shí)的課題“數(shù)的世界”更改為“倍數(shù)與因數(shù)”，這樣就讓教學(xué)任務(wù)一目了然。

這兩個(gè)版本教材關(guān)于“倍數(shù)與因數(shù)”單元編排的相同點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下四個(gè)方面：

1.課題開門見山，直接揭示教學(xué)內(nèi)容

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在“倍數(shù)與因數(shù)”單元中的標(biāo)題都以數(shù)學(xué)名詞或探究活動(dòng)為主，能讓教師和學(xué)生比較清楚地了解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，為教師在備課時(shí)確定教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)提供了便利。

2.以“問題串”引領(lǐng)教與學(xué)的過程

無論是“實(shí)驗(yàn)版”還是“2011年版”，教材內(nèi)容都是圍繞教學(xué)目標(biāo)來設(shè)計(jì)的“問題串”，使數(shù)學(xué)問題具有目標(biāo)性。

3.注重幫助學(xué)生積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

北師大兩版教科書在“倍數(shù)與因數(shù)”單元中都提供了大量的探究和交流活動(dòng)，使學(xué)生在猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用和拓展等過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思想方法。如“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在“探究5的倍數(shù)的特征”一課中都安排了讓學(xué)生在百數(shù)表中找5的倍數(shù)后做上記號再觀察等活動(dòng)。

4.關(guān)注學(xué)生知識(shí)和方法的發(fā)展

除了設(shè)計(jì)豐富的問題和活動(dòng)，北師大兩版教材在內(nèi)容呈現(xiàn)上體現(xiàn)過程性，關(guān)注學(xué)生的知識(shí)和方法的發(fā)展。如“探索活動(dòng)：3的倍數(shù)的特征”一課中，“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”均編排了三個(gè)問題：第一個(gè)問題“我們研究了2、5的倍數(shù)的特征，說一說3的倍數(shù)有什么特征？”，一方面幫助學(xué)生回憶2和5的倍數(shù)的特征，另一方面通過3個(gè)卡通人物的對話啟發(fā)學(xué)生從不同角度來思考3的倍數(shù)的特征；第二個(gè)問題“請你在百數(shù)表中接著圈出3的倍數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？”，引導(dǎo)學(xué)生在圈數(shù)中總結(jié)3的倍數(shù)的特征；第三個(gè)問題“根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，在下面的數(shù)中圈出3的倍數(shù)，并與同伴交流”，引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識(shí)3的倍數(shù)之后驗(yàn)證。

二、導(dǎo)入情境

1.倍數(shù)與因數(shù)的含義及找倍數(shù)的方法

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”都是通過生活情境引出倍數(shù)和因數(shù)的含義，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系；都是用“下面哪些數(shù)是7的倍數(shù)”這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生借助乘法或除法探究求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法?！皩?shí)驗(yàn)版”在編排倍數(shù)與因數(shù)的含義這個(gè)內(nèi)容時(shí)，首先出示水果超市中各種水果的價(jià)格和相關(guān)的問題串，促使學(xué)生感受到生活是個(gè)充滿數(shù)的世界；然后讓學(xué)生對一些學(xué)過的數(shù)進(jìn)行分類；最后在“買5千克梨需要多少元”這個(gè)問題中告訴學(xué)生倍數(shù)和因數(shù)的定義，以及倍數(shù)和因數(shù)的研究范圍。而“2011年版”首先出示了點(diǎn)子圖和問題串，引導(dǎo)學(xué)生寫出乘法算式；然后通過乘法算式告知學(xué)生倍數(shù)和因數(shù)的定義；最后引導(dǎo)學(xué)生理解乘法算式中哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)。

2.探索活動(dòng)：2、5的倍數(shù)的特征

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在本課的導(dǎo)入情境基本相同，都安排了一張百數(shù)表，通過問題串引導(dǎo)學(xué)生探究2和5的倍數(shù)的特征；都是先讓學(xué)生在百數(shù)表中圈出5的倍數(shù)，在探究中發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)的特征，再讓學(xué)生在百數(shù)表中找出2的倍數(shù)，在探究中發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)的特征，同時(shí)揭示偶數(shù)和奇數(shù)的含義。

3.探索活動(dòng)：3的倍數(shù)的特征

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在本課的導(dǎo)入情境雖然都安排了一張百數(shù)表，但是探究活動(dòng)的先后順序不同?！皩?shí)驗(yàn)版”直接出示百數(shù)表，先引導(dǎo)學(xué)生觀察3的倍數(shù)并初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再讓學(xué)生利用更大的數(shù)檢驗(yàn)規(guī)律是否成立，最后得出3的倍數(shù)的特征。而“2011年版”先讓學(xué)生根據(jù)2和5的倍數(shù)的特征，猜測3的倍數(shù)可能有什么特征；再讓學(xué)生在百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，在觀察中發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征；最后讓學(xué)生根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)在一組數(shù)中圈出3的倍數(shù)。

4.找因數(shù)

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在本課的導(dǎo)入情境大同小異，都是先讓學(xué)生用12個(gè)小正方形拼成一個(gè)長方形，想一想有幾種不同的拼法；再讓學(xué)生找出12的全部因數(shù)。

5.找質(zhì)數(shù)

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在本課的導(dǎo)入情境基本相同，都是先讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用12個(gè)小正方形可以拼成三種長方形，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)一個(gè)數(shù)的因數(shù)與拼成的長方形的長、寬之間的關(guān)系；再讓學(xué)生探索用2、3……11個(gè)小正方形分別可以拼成幾種長方形，并用表格的方式記錄能拼成的幾種長方形的面積和一個(gè)數(shù)的因數(shù)；最后引導(dǎo)學(xué)生觀察表格發(fā)現(xiàn)有的數(shù)只有2個(gè)因數(shù)，有的數(shù)有2個(gè)以上的因數(shù)，從而揭示質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，同時(shí)說明1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

三、習(xí)題設(shè)計(jì)

1.習(xí)題編排

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在新課教學(xué)后都安排了一定的習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)和技能?！皩?shí)驗(yàn)版”的習(xí)題設(shè)置了“試一試”“說一說”“找一找”“練一練”“你說我答”“數(shù)學(xué)游戲”“探究活動(dòng)”“你知道嗎”等欄目。而“2011年版”的習(xí)題設(shè)置了“練一練”“你知道嗎”“我學(xué)到了什么” “我的成長足跡”“我提出的問題”“我的數(shù)學(xué)日記”和“鞏固應(yīng)用”等欄目，在單元復(fù)習(xí)時(shí)安排了“整理與復(fù)習(xí)”，編排了14道習(xí)題幫助學(xué)生鞏固本單元的知識(shí)。

2.習(xí)題類型

對比分析北師大兩版教材后發(fā)現(xiàn)，本單元的習(xí)題類型主要是填空題、解決問題和拓展題，統(tǒng)計(jì)時(shí)按大題計(jì)算，具體數(shù)量見表2：

為了更加清楚地看到每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題數(shù)量，筆者對北師大兩版教材“倍數(shù)與因數(shù)”單元進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。

從表中可以看出，除了“找因數(shù)”這節(jié)課中的習(xí)題數(shù)量保持不變，其他知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題數(shù)量都有增加，“整理與復(fù)習(xí)”中還增加了3道題?？梢姟?011年版”對“倍數(shù)與因數(shù)”這一單元的重視程度。

3.習(xí)題的特點(diǎn)

北師大版兩版教材關(guān)于“倍數(shù)與因數(shù)”單元有以下四個(gè)特點(diǎn)：

第一，習(xí)題情境聯(lián)系生活，體現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。雖然這個(gè)單元中有較多抽象的數(shù)學(xué)概念，但是北師大兩版教材還是努力讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。如“實(shí)驗(yàn)版”在“找因數(shù)”一課中設(shè)計(jì)了題目“把48個(gè)球裝在盒子里，每個(gè)盒子裝得同樣多，需要幾個(gè)盒子？有幾種裝法？如果有37個(gè)球呢？”?！?011年版”在“整理與復(fù)習(xí)”中設(shè)計(jì)了題目“尋找能開4把鎖的萬能鑰匙。它是一個(gè)奇數(shù)，所有因數(shù)的和是48，是5的倍數(shù)，是一個(gè)兩位數(shù)，萬能鑰匙上的數(shù)是幾？”。

第二，習(xí)題兼顧圖片和文字，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提取有效信息。為了美化教材版面和提高學(xué)生提取信息的能力，北師大兩版教材中都編排了圖文并茂的習(xí)題。

第三，習(xí)題凸顯知識(shí)重點(diǎn)，做到“學(xué)—教—評”一致性。無論是教材的編寫還是教師的教學(xué)活動(dòng)，都要做到教學(xué)與評價(jià)的互相匹配。如“實(shí)驗(yàn)版”在“探索活動(dòng)（二）3的倍數(shù)的特征”一課中的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生探究3的倍數(shù)的特征，運(yùn)用3的倍數(shù)的特征解決問題，因此課后習(xí)題安排了4道題，其中3題與這節(jié)課所學(xué)的知識(shí)一致。第1題是讓學(xué)生在下面的數(shù)中圈出3的倍數(shù)；第2題是讓學(xué)生將編號是3的倍數(shù)的氣球涂上顏色；第3題是讓學(xué)生選出兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，要分別滿足4個(gè)條件。前兩題引導(dǎo)學(xué)生理解3的倍數(shù)，第3題是幫助學(xué)生靈活地綜合運(yùn)用2、5和3的倍數(shù)的特征。

第四，習(xí)題具有拓展應(yīng)用，滿足不同層次學(xué)生的需求。教師要關(guān)注學(xué)生個(gè)性化、多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展要求，北師大兩版教材在“倍數(shù)與因數(shù)”單元的習(xí)題編排中都有所體現(xiàn)。如“2011年版”中提供了較多的探究活動(dòng)，讓學(xué)生在觀察、思考、比較和分析中發(fā)現(xiàn)更多倍數(shù)與因數(shù)的奧秘，幫助學(xué)生完整地建立數(shù)的概念。

四、滲透數(shù)學(xué)文化

北師大兩版教材在“倍數(shù)與因數(shù)”單元中都融入了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)視野?！皩?shí)驗(yàn)版”和“2011年版”都提到了這兩個(gè)內(nèi)容：其一是介紹尋找質(zhì)數(shù)的方法是希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼發(fā)明的；其二是介紹哥德巴赫猜想的偶數(shù)情形和奇數(shù)情形。

五、教學(xué)啟示與建議

筆者通過對北師大兩版教材的比較和分析，不僅對一線教師在備課中能有指導(dǎo)作用，也向教材編寫者更加清楚地展示不同時(shí)期教材內(nèi)容編排的變化。

1.倍數(shù)和因數(shù)適用在乘除法中

學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是“乘法中有因數(shù)，除法中有倍數(shù)”，而這個(gè)單元中教師要幫助學(xué)生意識(shí)到倍數(shù)和因數(shù)是成對出現(xiàn)的，適用在乘除法中。但是，“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”都是在乘法中揭示倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系，這會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生“除法中沒有因數(shù)和倍數(shù)”的錯(cuò)誤觀念，不利于倍數(shù)和因數(shù)概念的建構(gòu)。

2.要讓學(xué)生在活動(dòng)中建立模型

“實(shí)驗(yàn)版”和“2011年版”在編排“2和5的倍數(shù)的特征”和“3的倍數(shù)的特征”內(nèi)容時(shí)，都讓學(xué)生經(jīng)歷圈一圈、觀察、猜想、驗(yàn)證、得出結(jié)論和運(yùn)用結(jié)論解決問題等過程，不僅有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)2、5和3的倍數(shù)的特征，還幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

3.習(xí)題的數(shù)量要因人而異

與“實(shí)驗(yàn)版”相比，“2011年版”的習(xí)題數(shù)量有所增加，但是教師在實(shí)際教學(xué)中面對不同的學(xué)生個(gè)體，學(xué)生需要的習(xí)題數(shù)量各不相同，因此教師要為不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)不同數(shù)量和難度的題目，讓好學(xué)生“有營養(yǎng)”，讓學(xué)困生“能吃飽”。

綜上所述，教師在備課時(shí)可以根據(jù)班級中學(xué)生的實(shí)際需求重新組合教材素材和習(xí)題設(shè)計(jì)，不僅培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”和核心素養(yǎng)，還實(shí)現(xiàn)提質(zhì)減負(fù)的最佳教學(xué)效果。

（責(zé)編 梁桂廣）